河南省名校学术联盟2025届高三下学期模拟冲刺数学试题（二）（解析版）

这是一份河南省名校学术联盟2025届高三下学期模拟冲刺数学试题（二）（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，，，则（ ）
A. B. 8C. D. 4
【答案】A
【解析】由向量，，得，而，
所以.
故选：A
2. 已知，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得，故，其虚部为．
故选：C．
3. 已知集合，，若，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得，又，，
所以，解得.
故选：B.
4. 已知点在椭圆上，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】将点的坐标代入椭圆方程，得:
，
因为，所以，所以椭圆方程，
其中，故离心率.
故选：C.
5. 已知，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得，
由知，，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
则的最大值为.
故选：B．
6. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】构建函数，则，
令，得；令，得；
可知在上单调递减，在上单调递增，则，
可得，当且仅当时取等号，
则，
由正弦函数的有界性可知，则，
又因为，则，所以．
故选：C．
7. 鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层空心球．若鬼工球最内层的空心球上有2个雕孔，且向外每层雕孔依次增加d个（d为常数）．现制作3个层数分别为3，6，m的鬼工球，其中6层的鬼工球比3层的鬼工球共多出30个雕孔，三个鬼工球之间的雕孔数相差最多者为36，则（ ）
A. 2B. 5C. 7D. 8
【答案】A
【解析】记从内向外第n层鬼工球上的雕孔数量为，
由题意知，，故对于一个n层的鬼工球，其雕孔数为，
所以3层和6层的鬼工球的雕孔数分别为，，差值，
解得，故，
由于三个鬼工球之间的雕孔数相差最多者为36，
若m在3，6之间，则相差最多者即层数为3，6的鬼工球，不符合题意；
若m大于6，则相差最多者即层数为3，m的鬼工球，而即使m取最小值7，其雕孔数为56，而，不符合题意；
若m小于3，则相差最多者即层数为m，6的鬼工球，
由层数为6的鬼工球雕孔数为42知，层数为m的鬼工球雕孔数为6，故，解得（负值舍去）.
故选：A．
8. 二项式定理与组合数联系十分紧密，我们可以借助二项式来研究组合数中的某些性质，进而得到一些结论，例如，对于n次二项式，取，可以得到．类比此方法，可以求得（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得，
令，得，
令，得，
两式做差，可得，
因此，.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 农业税自古以来就被称为皇粮国税，2006年党中央正式决定全面取消农业税.某县为了了解取消农业税前后农民每亩地的收入（单位：万元）发生了怎样的变化，通过抽样调查后发现取消农业税之前农民每年每亩地的收入X服从正态分布，取消之后每年每亩地的收入Y服从正态，已知Y的正态密度曲线的峰值高于X的正态密度曲线的峰值，则（ ）
A. B.
C. D. ，
【答案】AC
【解析】由正态分布的对称性得，而，故A正确，B错误；
由Y的正态密度曲线的峰值高于X，峰值越高对应方差越小，即，故，故C正确；
如图，由于Y的方差更小，所以其正态密度曲线递减速度更快，当n取较大的正数时，故D错误，
故选：AC
10. 如图，在五面体ABCDE中，是边长为4的等边三角形，四边形BCDE是等腰梯形，，则（ ）
A. 平面ABC
B. 平面ABE
C. 存在这样的五面体ABCDE，满足平面平面BCD
D. 存在这样的五面体ABCDE，满足平面平面ACD
【答案】ACD
【解析】由题设，平面沿翻转与平面形成一定夹角构成五面体ABCDE，
由题意，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，A正确；
延长CD，BE交于点F，若平面ABE，平面ABE，则，
由平面几何知识易知，故CD不垂直于平面ABE，B错误；
取DE的中点G，BC的中点H，连接AG、GH、AH，则为平面ADE与平面BCD所成角的平面角，
由题意，点G可看作在平面AGH内以H为圆心，GH为半径的圆上的一点，
由于，必存在直线AG与该圆相切，存在，
显然为等腰三角形，则，都在平面内，
所以平面，平面，则平面平面BCD，故存在这样五面体ABCDE，C正确；
取AF的中点I，连接BI、CI，则为平面ABE与平面ACD所成角的平面角，
当，即时，，即，又，
都在平面内，则平面，平面，
所以平面平面ACD，此时，故存在这样的五面体ABCDE，D正确．
故选：ACD
11. 已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足当时，，当时，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】对于A，若，
不妨令，则，，
当时，，当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，
，
当时，
，
当时，
，
当时，
，
则，
，则，
不满足，故A错误，
对于B，由，
，，
由归纳可得，，故B正确；
对于C，由已知得，，
故，则，故C正确；
对于D，当时，
若，则
，
设，则，
故，故，
即，
当时，，
当时，，
故满足时，，
此时，不满足，故D错误．
故选：BC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 抛物线C：的焦点F到直线的距离为______．
【答案】
【解析】易得抛物线的焦点F的坐标为，
故点F到直线的距离.
故答案为：.
13. 已知在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足，，且，则______．
【答案】
【解析】因为，
所以由正弦定理可得，且，
故，，，
所以由余弦定理可得．
故答案为：.
14. 已知函数，若，使得有三个零点，则a的取值范围为______，在这三个零点处的切线斜率的倒数之和为______．
【答案】①. ②. 0
【解析】因为有三个零点，且，
所以有两个不相等的实数根，
所以，解得，
故a的取值范围为．
由题得，
所以，
同理，，
故
．
故答案为：，0．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤．
15. 已知数列满足，且是以为公比的等比数列．
（1）求数列中的最值；
（2）求数列的前项和．
解：（1）因为，，
所以数列是以为首项、为公比的等比数列．
故，即，
易得数列单调递减，故数列有最大值，无最小值．
（2）易得，，
则，
两式相减得，
则．
16. 如图，在四棱锥中，平面平面PAD，底面ABCD与侧面PAD均为边长为2的正多边形，点E是线段PA的中点．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求直线PA与平面BCE所成角的正弦值．
解：（1）因为侧面PAD为正三角形，取AD的中点F，连接PF，则，
因为平面平面PAD，平面平面，平面PAD，故平面ABCD，
由于E是线段PA的中点，故．
（2）以F为坐标原点，，，的正方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，，
设平面BCE的法向量为，则，
令，则，，故平面BCE的一个法向量为，
设直线PA与平面BCE所成的角为，则，
故直线PA与平面BCE所成角正弦值为．
17. 已知曲线，，点是上一点．
（1）证明：点到直线的距离与之比是定值，并求出该定值；
（2）过点作直线与C交于另一点，若直线与的斜率之和为0，求的值．
（1）证明：如图，设点，点到直线的距离为，
则，
则点A到直线的距离与的比值，为定值．
（2）解：由斜率公式得的斜率为，的斜率为，
而是C上一点，则，得到，
因为直线与的斜率之和为0，所以，
则，同时平方得，
得到，即，
而在上，则，即，
同时平方得，代入得，
由已知可得，解得，而在上，则，解得，
又在上，则，
而，解得（正值舍去）．
18. 已知一款游戏以抽奖形式获得某种奖品，每次抽奖分为中奖和不中奖两种结果，现在利用伪随机算法进行若干次抽奖，假定中奖后就不再继续抽奖，设是第一次抽奖中奖的概率，此后若前次抽奖均未中奖，则进行第n次抽奖时中奖的概率满足其中时一定中奖，设从第一次抽奖开始，第一次中奖时抽奖的次数为X．
（1）当时，求X的分布列和期望；
（2）当X的期望为2时，证明：．
（1）解：由题意可得，，
，，
故分布列为
．
（2）证明：①当时，；
②当时，，
因此；
③当时，，
设，则，
故时，随p增大而减小，而，
故存在，使得；
④当时，，
由于，，故，
因此，故．
综上，．
19. 已知一个非空数集A，对，且，记B为A去掉x，y后的集合，若有或，则称A是一个好集合．对于一个非空数集P，对，且，记Q为P去掉x，y后的集合，若有或或，则称P是一个坏集合．
（1）证明：集合不是好集合；
（2）若A是好集合，证明：存在一个与A中元素个数相同且仅由正实数构成的坏集合P；
（3）证明：不存在有限的好集合A，满足A中的元素均为正实数，且A中的元素个数为大于5的奇数．
证明：（1）取，，记，则，，故A不是好集合．
（2）记集合，则P中元素均为正数，且与集合A中元素个数相同，下证P为坏集合，
因为A为好集合，所以，且，都有或（其中B为A去掉a，b后的集合），
设Q为P去掉，后的集合，此时，，，
若，则；若，则与必然有一个属于Q，故P为坏集合，命题得证．
（3）假设存在这样的有限集A，使得A中的元素均为正实数，元素个数为大于5的奇数，且A为好集合，
则设，且，，
因为，设B为集合A去掉元素，，后构成的集合，
所以只能，考虑，这个数均属于A，且各不相同，均小于，
所以，，…，，
因为，故，
若，即，矛盾，故，
又因为这个数属于A，且均小于，
所以，…，，即，，
再考虑A集合中去掉与记为集合，
因为，所以，即，所以只能；
又，故矛盾，所以原假设不成立，
即不存在有限的好集合A，满足A中的元素均为正实数，且A中的元素个数为大于5的奇数．
X
1
2
3
4
P