河北省邯郸市2025届高三第三次调研监测（一模）数学试卷（解析版）

这是一份河北省邯郸市2025届高三第三次调研监测（一模）数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，所以；
由，所以.
所以.
故选：A
2. 已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】由，则，
所以复数在复平面内所对应的点为位于第三象限.
故选：C
3. 某校举办校园歌手大赛，决赛中12名参赛选手的得分（满分：10分）分别为9.5，8.1，7.8，8.5，8.8，9.1，7.5，9.6，8.6，8.8，9.3，9.0，则这组数据的第75百分位数是（ ）
A. 8.6B. 8.8C. 9.1D. 9.2
【答案】D
【解析】将决赛中12名参赛选手的得分从小到大排列：
7.5，7.8，8.1，8.5，8.6，8.8，8.8，9.0，9.1，9.3，9.5，9.6，
，所以这组数据的第75百分位数是第位数和第位数的平均数，
即.
故选：D.
4. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线的一个交点为，则直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题设，得，则，故抛物线，
将代入，得，得，∴
∴,
所以直线的方程为，即.
故选：B.
5. 在中，，，点在的内部，的延长线与交于点，若，则的面积是（ ）
A 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】，因，
则，，得.
又，则，过A，M做BC垂线，垂足为G，F，
则，，又底边相同，
则.
故选：C
6. 在正三棱柱中，，则“”是“异面直线与所成角的余弦值是”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】如图：
设.
以为基底，则，
，，.
因为，，
所以.
由可得，解得或，即或.
即“异面直线与所成角的余弦值是”的充要条件是“或”.
故“”是“异面直线与所成角的余弦值是”的充分不必要条件.
故选：A
7. 已知函数恰有一个极值点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
，
因为函数恰有一个极值点，
所以有一个实数根，
即有一根，
即与一个交点，
令，
则，
令，函数单调递增，解得：，
令，函数单调递减，解得：，
则，
有一根，即，
当，时都有2-xex>0
与一个交点，有两根
当时，
与一个交点，有一根，
综上所述，的取值范围是
故选：A
8. 已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知，设，
则，
两式相加得，
又，所以，
又，所以，
当轴时最小，此时，
所以，又，
则，整理的，
又，两边除以得，解得，
又双曲线的离心率，所以双曲线的离心率取值范围是.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】圆的圆心，半径，
当直线的斜率不存在时，直线方程为，点到直线的距离为1，不符合题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由直线与圆相切得：，解得或，
所以直线的方程为：或.
故选：AC
10. 已知函数对任意的都有，，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 是奇函数
C.
D. 不等式的解集是
【答案】BCD
【解析】对于A，因为，，
令，则，所以，
令，则，则，
令，则，
所以，故A错误；
对于B，令，则，
即，所以是奇函数，故B正确；
对于C，令，则，
又，所以，
所以，故C正确；
对于D，令，则，
设，则，又当时，，
则，所以，
则函数在是增函数，
又由，，
则不等式，即为，
则，解得或，
即不等式的解集是，故D正确.
故选：BCD
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 若在上恰有三个零点，则的取值范围是
C. 当时，在上单调递增
D. 若在上的最小值为，则
【答案】ACD
【解析】由题意知
，
对于A，
，即的图象关于直线对称，A正确；
对于B，由，得或，
由于在上有2解，即，，
结合在上恰有三个零点，可知需在上只有一解，
由于在上单调递增，在上单调递减，且，
故要使在上只有一解，需或，B错误；
对于C，当时，，
令，，，则在上单调递减，
而图象对称轴为，该函数在上单调递减，
故在上单调递增，C正确；
对于D，令，，，
则化为，
该函数图象对称轴为，
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，，
综合上述在上的最小值为，则，D正确，
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知非零向量，满足，且向量，的夹角为，则向量，的夹角为_______________.
【答案】
【解析】由可得，
又，为非零向量，且向量，的夹角为，
则，即，
又，
，
所以，
所以.
故答案为：
13. 设一个三位数的个位、十位、百位上的数字分别为，，，若，，则称这个三位数为“峰型三位数”，例如251和121都是“峰型三位数”，在由0，1，2，3，4，5中的部分数字组成的三位数中，“峰型三位数”的个数为_______________.
【答案】30
【解析】当“峰型三位数”含有数字0时，0必为个位，再从余下5个数字中任取两个，大的数字为十位，有种方法；
当“峰型三位数”没有数字0时，从除0外的5个数字中任取3个，最大数字作十位，
有种方法，
所以“峰型三位数”的个数为.
故答案为：30
14. 已知某圆台的体积为，球刚好和该圆台的上、下底面及侧面都相切，若该圆台下底面圆的半径是上底面圆的半径的4倍，则球的体积是______________.
【答案】
【解析】如图，画出截面示意图，
设圆台的上下底面半径分别为，球的半径为，圆台的母线长为，
由圆台的体积公式可得，①
由梯形面积可得，解得，
又在中，，解得，
代入①可得，所以
所以球的体积是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知是等差数列，是等比数列，且，，，.
（1）求，的通项公式；
（2）若，求的值；
（3）若，求数列前项和.
解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
∵，，，，∴，
由得.由①③得，
①④代入②得，，解得，故，
∴.
（2）∵，∴，
令，由函数和在上为增函数得在上为增函数，
∵，∴
（3）由（1）得，，
∴.
16. 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，平面，，是棱上的一点，是棱的中点.
（1）证明：.
（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.
解：（1）∵四边形是正方形，，
∴.
∵是棱的中点，
∴.
∵平面，平面，
∴，
∵，，平面，
∴平面，
∵平面，
∴，
∵，平面，
∴平面，
∵平面，
∴.
（2）以A为原点建立空间直角坐标系，设，则，，，
∴，，
设平面的法向量为，则,
令，则，故.
由题意得，平面的法向量为，
∴，解得或（舍），
∴，故.
17. 某班举办诗词大赛，比赛规则如下：参赛选手第一轮回答4道题，若答对3道或4道，则通过初赛，否则进行第二轮答题，第二轮答题数量为第一轮答错的题目数量，且题目与第一轮的题不同，若全部答对，则通过初赛，否则淘汰.已知甲同学参加了这次诗词大赛，且甲同学每道题答对的概率均为.假设甲同学回答每道题相互独立，两轮答题互不影响.
（1）已知.
①求甲同学第一轮答题后通过初赛的概率；
②求甲同学答对1道题的概率.
（2）记甲同学的答题个数为，求的最大值.
解：（1）①由题意，甲同学第一轮答题后通过初赛的概率为；
②甲同学答对1题的情况如下，
第一轮答对1题，第二轮答对0题，则概率为；
第一轮答对0题，第二轮答对1题，则概率为；
所以甲同学答对1道题的概率为；
（2）由题意，，
且，
，
，
，
所以
，又，
令，则，
令，则，
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增；
又，，则在上，
所以在上恒成立，即在上单调递减，
所以，故最大为.
18. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.
解：（1）当时，，，
切线的斜率，，
所以切点坐标为，切线方程为，，
当时，，当时，，
所以直线与轴交点为，与轴交点为，
所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为.
（2）因为，，，
所以，
可化为：，
即，
令，，
所以为上的单调递增函数，
将，
转化为，
因为为上的单调递增函数，所以，
即，即，
整理有：，
令，，
令，即，，
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减，
所以，
因为恒成立，
所以.
19. 对于给定的椭圆，与之对应的另一个椭圆（，且），则称与互为共轭椭圆.已知椭圆与椭圆互为共轭椭圆，是椭圆的右顶点.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）设直线与椭圆交于，两点，且直线与直线的斜率之积为.
①证明：且直线过定点.
②试问在轴上是否存在异于点的点，使得直线，的斜率之积也为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.
解：（1）由题意可设的共轭椭圆方程为，即（，且），
由于是该椭圆的右顶点，即得，
椭圆的标准方程；
（2）①证明：联立和，

可得，
需满足，即，
即；
设，则，
则
，
由题意得直线与直线的斜率之积为，即，
即，
即，即得，
解得（舍）或，
则直线为直线，过定点；
②假设在轴上存在异于点的点，使得直线，的斜率之积也为定值，设，
由①知，，，
则
，
要使得为定值，需，解得（舍）或，
即时，为定值，
即在轴上存在异于点的点，使得直线，的斜率之积也为定值.