河北省邯郸市2025届高三下学期第四次调研监测数学试卷（解析版）

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这是一份河北省邯郸市2025届高三下学期第四次调研监测数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令，解得，则，
因为，所以，故D正确.
故选：D
2. 已知复数，则“”是“”的（）
A 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】，解得或，
所以“”是“”必要不充分条件.
故选：C.
3. 已知平面向量，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，即．
故选：A.
4. 利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为之间的三角函数值，下表是部分的奇数倍锐角的正切值（用字母代替），则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：A.
5. 已知随机变量，则（）
A. 0.4B. 0.3C. 0.2D. 0.1
【答案】B
【解析】因为正态分布曲线关于对称，所以，
因为，，
所以，即，解得或（舍去），
由正态分布的性质得，故B正确.
故选：B.
6. 在正三棱锥中，分别在上，当周长最小时，的面积等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】三棱锥是正三棱锥，，沿AP剪开，使侧面铺开在一个平面上，
如图，则，则周长的最小值为
．
故选：B.
7. 6个不同的芯片欲组装到一个云计算的主机中，先将它们串联在一起统一测试，在串联电路中甲，乙两个芯片不相邻的前提下，丙，丁两个芯片相邻的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】我们先把6个不同的芯片全排列，共有种情况，
设甲，乙两个芯片不相邻为，丙、丁相邻为，
当甲，乙两个芯片不相邻时，先对除了甲、乙两个芯片的其它芯片全排列，
其它芯片全排列共有种情况，产生了个空，
将甲，乙两个芯片任选两个空插入，共有种情况，
由分步乘法计数原理得此时共有种情况，
在该条件下，我们将丙，丁进行全排列，共有种情况，
将丙丁整体和除了甲乙以外的芯片全排列，共有种情况，产生了个空，
将甲，乙两个芯片任选两个空插入，共有种情况，
由分步乘法计数原理得此时共有种情况，
故，，
则由条件概率公式得，故D正确.
故选：D.
8. 已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且的面积为，若的内切圆与轴相切，则双曲线的离心率（）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】设内切圆圆心为，三个切点分别为，
如图，由切线长定理可得，
即
，圆与轴切于左端点．内切圆半径．
设，，
，
•，
，，，
由勾股定理，整理得，
所以，解得，即或（舍去），
所以.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数．则下列结论正确的是（）
A.
B. 函数在上单调递减
C. 函数有极大值
D. 函数在上的最小值为
【答案】BC
【解析】由题意可得，
因，则，故A不正确；
由得或，由得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
则在处取得极大值，故B正确，C正确，
，则函数在上的最小值为，故D不正确．
故选：BC.
10. 定义区间的长度为．已知函数的一个单调递增区间的长度为，则下列结论正确的是（）
A. 的一个单调递减区间长度也为
B. 若，则的三个相邻最值点构成等腰直角三角形
C. 存在包含原点的单调递减区间
D. 若，且在区间上单调递增，则的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于A，一个增区间的长度等于一个减区间的长度，等于半个周期，故A正确；
对于B，相邻三个最值点可能是两个最大值点一个最小值点或是两个最小值点一个最大值点，
若是两个最大值点，其距离等于，其高等于最大值减去最小值等于2，故B正确；
对于C，，其一个单调增区间满足，即，其中包含原点，故C不正确；
对于D，若，则，包含0的递增区间，由不等式，解得，
所以的最大值为，故D正确．
故选：ABD.
11. 已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“负导值点”，下列函数中具有“负导值点”的是（）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】对于A，即为无解，A不正确；
对于B，不是方程的解，
不等于零时方程化为为，由的图象有交点知该方程有根，B正确；
对于C，即为，由函数及的图象无交点知该方程无解，C不正确；
对于D，即为，
设，，令，，
由，解得，，解得，则函数在上单调递减，在上单调递增，
在处取得最小值，是增函数，，，
由基本初等函数的图象与的图象知该方程有一个根，D正确．
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知等差数列的前项和为，且，则公差___________．
【答案】
【解析】由题意得，解得．
故答案为：.
13. 已知焦点为的抛物线与圆相切于两点，则的面积为___________．
【答案】
【解析】将抛物线方程代入曲线中：，
由，得，解得或，
由，可知，所以两点横坐标均大于等于0，故不符合题意，
两点的横坐标为，纵坐标为，
由抛物线方程可得，．
故答案为：.
14. 设函数，若存在实数，使得恒成立，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】因为存在实数，使得恒成立，
所以，
若满足条件，只需在曲线的下方，
且在曲线的上方即可，
但我们只需找到与曲线均相切时的的值即可，
我们先研究与曲线相切时的情况，
设切点为，，由导数的几何意义得，
将代入中，得到，解得，
故，解得，代入中，得到，
设当与的切点为，，
将代入中，得到，
由导数的几何意义得，解得，
而在曲线的下方，且在曲线的上方，
则越小，越大，更容易满足题意，故.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 为考察国产14纳米光刻机和进口14纳米光刻机的光刻效果，随机抽取了500台14纳米光刻机，对两种光刻机的良品、次品进行对比，得到如下列联表：
（1）求的值；
（2）以频率估计概率，估计国产14纳米光刻机的次品率；
（3）根据小概率值的独立性检验，能否判断国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机质量有差异．
附：，其中为样本容量．
解：（1）由题意得，.
（2）样品中，国产14纳米光刻机次品的频率为，
国产14纳米光刻机的次品率约为．
（3）零假设：国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机质量无差异，
，
依据的独立性检验，不成立，
不能判断国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机有差异．
16. 如图，在平面四边形ABCD中，．
（1）若，求CD的长；
（2）设，将表示成的函数，并求的取值范围．
解：（1）由余弦定理，
即，
或．
（2），
．
在中，由正弦定理得，
即．
在中，，
即，
，
即，
．
17. 直角梯形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，，分别是的中点．
（1）证明：平面平面DFM；
（2）求平面DEN与平面ENC夹角的余弦值．
（1）证明：如图，过作AD的垂线交于．
，
平面，
平面平面，平面平面，
平面．
又分别是AB、AF的中点，
，
，即，
又平面，
平面，
又平面，
平面平面．
（2）解：建立如图所示的空间坐标系，
则，
．
设平面的法向量为，
令．
设平面的法向量为，
设．
，
所以平面与平面夹角余弦值为．
18. 已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：.
（1）解：由题知：，其定义域为，.
当时，则，在上单调递减；
当时，令，解得；令，解得，
∴函数在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：要证，即证.
由（1）知：当时，在上单调递减，在上单调递增，
∴，即，
，.
令，，
∴在上单调递增，
∴当时，，即，
∴，即，
∴原不等式成立.
19. 已知离心率且焦点在轴上的序列椭圆，其中的一个焦点为．过上一点作的两条弦，交于另两点，且的内心在垂直于轴的一条直线上．
（1）求数列的通项公式；
（2）求直线的斜率；
（3）若为坐标原点，当的面积为时，直线交轴于，证明：.
（1）解：由，解得．
的一个焦点为，
，
．
（2）解：由（1）知．
的内心在垂直于轴的一条直线上，
．
设的方程为．
代入中整理得：．
，即，
，
，
由得，
即，
代入与整理得，
当时，过点，舍去．
．
（3）证明：由（2）知的方程为，此时，
，
，
到直线的距离，
的面积，
解得满足，
．
，
，
则，
．
良品
次品
合计
国产14纳米光刻机
170
80
进口14纳米光刻机
150
100
250
合计
180
500
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828