湖北省云学名校联盟2024-2025学年高一下学期3月联考 数学试卷（含解析）

这是一份湖北省云学名校联盟2024-2025学年高一下学期3月联考 数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
时长：120分钟 试卷满分：150分
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4．考试结束后，请将本试卷和管题卡一并上交.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别通过解不等式以及求函数的定义域可得集合A，B，再求交集即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：C.
2. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判断出函数的单调性，结合零点存在定理即可判断出答案.
【详解】由题意可知函数上单调递增，
又，
即，
故函数的零点所在区间为，
故选：B
3. 已知非零向量与共线，下列说法正确的是（ ）
A. 与共线B. 与不共线
C. 若，则D. 若，则是一个单位向量
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量共线，向量相等及单位向量的定义分别判断各选项.
【详解】当，，，四点在一条直线上时，与共线，否则与可能不共线，所以AB选项错误；
若，无法确定向量方向，不能确定向量相等，C选项错误；
根据单位向量定义可知若，则是一个单位向量，D选项正确；
故选：D
4. 已知，集合，，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】分别化简集合和，根据充分性和必要性定义判断即可.
【详解】因为，
由 解得或，
或，
由解得或，
即或，
因为，所以，
所以，
所以是的真子集，
所以是的充分不必要条件.
故选：A
5. 纸折扇是我国古代传统的工艺制品，它是以细长的竹片制成众多的扇骨，然后将扇骨叠起，其下端头部以钉铰固定，其余则展开为扇形，上裱糊以纸，作扇面，并在扇面上题诗作画.如图所示，已知折扇两端的扇骨长均为18cm且夹角为，扇面（裱糊以纸的部分）上下的弧长L与l之比为3:1，则扇面的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据扇环的面积公式来求得正确答案.
【详解】大扇形半径为，则小扇形半径为，，
所以上弧长，下弧长为，
所以扇环也即扇面的面积为.
故选：B
6. 已知角为的一个内角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件分析的范围，再利用求出，再利用二倍角公式即可求解.
【详解】因为为三角形内角，所以，所以，
又因，且，
所以，所以，
所以，
由二倍角公式有：
.
故选：A
7. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性有在上单调递减，结合二次函数的性质求参数范围.
【详解】由题设，函数在上单调递增，
易知在上单调递减，
当时，满足题设，
当时，或，
综上，.
故选：B.
8. 已知函数是定义在上的奇函数，且，且当时，，则（ ）
A. B. 0C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得函数关于点对称，再结合条件可得函数是周期为的周期函数，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，
即函数关于点对称，所以，
又因为，则函数关于直线对称，
即，
所以，令，则，
，即，所以，
即，函数是周期为的周期函数，
又当时，，
则，，
则，，，
则
.
故选：B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，下列不等关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由不等式性质可判断A；由对数函数的性质可判断BD；由幂函数性质可判断C.
【详解】对于A，因为，结合不等式性质可知，A正确；
对于B，由于，故，B正确；
对于C，，则幂函数在上单调递减，
故，C错误；
对于D，由于，故，D错误；
故选：AB
10. 函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 在的值域为
C. 将的图像向左平移个单位后为奇函数
D. 的单调递增区间为，
【答案】ACD
【解析】
【分析】由正弦型函数的图象求出函数的解析式，利用正弦函数的性质逐项求解判断即可.
【详解】对于A，由图可知，，，所以，
所以，故，所以，
由得，故A正确；
对于B，所以，
，所以，
所以的值域为，故B错误；
对于C，将的图像向左平移个单位后得，
是奇函数，故C正确；
对于D，，
由，，解得，
即，，
所以单调递增区间为，，故D正确.
故选：ACD
11. 已知函数，若存在实数m使得方程有四个互不相等的实数根，，，，则下列叙述中正确的有（ ）
A. B.
C. D. 有最小值
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意可得函数与有4个不同的交点，根据图象可求得，，进而计算可判断每个选项的正误.
【详解】若存在实数m使得方程有四个互不相等的实数根，
则函数与有4个不同的交点，
在同一坐标系中作出函数与函数的图象如图所示：
当或，，又时，
则由图象可知函数与有4个不同的交点时，可得，故A正确；
且，
当时，是方程的两个实数根，
所以是方程的两个实数根，
由根与系数的关系可得，故B正确；
当时，是方程的两根，
所以，所以，
所以，，
所以，故C错误；
因为，
所以，
，当且仅当，即时，等号成立，
所认有最小值，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：D选项，关键在于利用，得到，进而结合基本不等式求得最小值.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的定义，结合是偶函数，可得，再根据单调性解不等式即可.
【详解】幂函数是偶函数，
，解得或，
当时，为奇函数，不符合题意，
当时，为偶函数，符合题意，
,在内单调递增，且为偶函数，
可化为，
两边取平方可得：，
整理的，解得，
的解集为.
故答案为：.
13. 已知函数的最小值为，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】先由的正负分类讨论（可先由时函数的单调性判断），再时的函数为二次函数形式判断求解．
【详解】若，则，在上是减函数，不是最小值，不合题意；
若，则时，是增函数，因此时，，函数无最小值；
若，则时，是减函数，，
时，，因此在时是增函数，
由得，所以，
当时，，的最小值是，不是，不合题意，
综上，的取值范围是．
故答案为：
14. 已知函数在时取得最大值．且关于点中心对称，当取得最小值时，的值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题设得到，讨论的取值，结合确定的最小值，从而求解.
【详解】因为函数在时取得最大值，且关于点中心对称，
所以，两式作差得，
所以，
因为，即，得，，
当时，，
将代入，得，
不满足，不合题意；
当时，，
将代入，得，
当时，，满足，
当时，，
所以的最小值为，此时，
所以.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16，17小题15分，第18，19小题17分，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 计算下列各式的结果：
（1）；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数与对数计算公式直接化简可得值；
（2）利用诱导公式及同角三角函数关系式化简求值.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
由诱导公式可知，
即，
所以.
16. 已知命题，，命题，．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题p，q有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可得在有解，利用对勾函数求得的最大值即可；
（2）利用不等式的解集为，可求得q为真命题时，实数m的取值范围，结合已知可求得命题p，q有且仅有一个为真命题，实数m的取值范围.
【小问1详解】
因为，，可得在有解，所以，
令，由对勾函数可知函数在单调递减，在上单调递增，
又，，所以，
所以命题p为真命题时，实数m的取值范围为；
【小问2详解】
若，，则，解得．
所以q为真命题时，实数m的取值范围为；
当命题p为真命题，q为假命题时，m应满足，所以，
当命题p为假命题，q为真命题时，m应满足，所以，
综上所述：命题p，q有且仅有一个为真命题，实数m的取值范围为．
17. “绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
（1）年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）；
（2）当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】（1）
（2）50；2200
【解析】
【分析】（1）由题意，分和两种情况求利润；
（2）结合二次函数性质及基本不等式即可求解.
【小问1详解】
由题意可知，
当时，，
当时，，
所以年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式为.
【小问2详解】
当时，，开口向下，
所以当时，；
当时，
，
当且仅当即时，等号成立，此时，
因为，
所以，该产品的年产量为50万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2200.
18. 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将的图象向左平移个单位，向下平移1个单位，再把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，若在内恰有3个零点，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解.
（2）利用图象变换求出值，再利用正弦函数性质求出范围.
【小问1详解】
依题意，
，
由，
解得，
所以的单调递增区间为.
【小问2详解】
将的图象向左平移个单位，向下平移1个单位，得，
再把所有点横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得，
则，得，
因为，所以，
所以的解析式为，
由，得，由函数在区间上有3个零点，
得，解得，
所以的取值范围是.
19. 设函数的定义域为D，对于区间，若满足，恒有，则称函数在区间I上的增长系数为1；若满足，恒有，则称函数在区间I上的增长系数为2；若满足，恒有，则称函数在区间I上的增长系数为n．
（1）求函数，在上的增长系数；
（2）若3和4都是函数在上的增长系数，求a的取值范围；
（3）若函数，在上的增长系数仅为n，求n的最小值及此时m的取值范围．
【答案】（1）在上的增长系数为1；在上的增长系数为2；
（2）
（3）n的最小值为5；
【解析】
【分析】（1）根据函数的单调性求出值域，结合增长系数的定义求解即可；
（2）令，根据增长系数的定义得到，根据不等式求解即可；
（3）根据函数的单调性求出值域，结合增长系数的定义得到，进而得到，根据不等式有解且求解即可.
【小问1详解】
因为函数在上单调递增，
当时，；当时，，所以，
而，所以函数在上的增长系数为1；
因为函数在上单调递增，
当时，；当时，，所以，
而，所以函数在上的增长系数为2；
【小问2详解】
，
因为，令，则，
因为3和4都是函数在上的增长系数，
所以，
所以，即，整理得，
因为，所以，所以；
【小问3详解】
令，易知在上单调递增，
又在单调递增，
根据复合函数的单调性知函数在上单调递增，
，，
则，
因为函数在上的增长系数仅为n，
所以，
则，即，
所以，则，解得，
因为，所以，即的最小值为5，
此时，，即，
所以n的最小值为5，此时.
【点睛】关键点点睛：本题第（3）问关键在于根据增长系数的定义列出关于的不等式，根据不等式有解确定的最小值.