湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高一下学期3月联考数学试卷（解析版）

这是一份湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高一下学期3月联考数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，
，
.
故选：C.
2. 若命题“，”是真命题，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，，
则当时，.
故选：B．
3. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数，在上连续且单调递增，
，，，
根据函数的零点的判定定理可得，函数的零点所在的区间是.
故选：C.
4. 要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位
【答案】A
【解析】，
，
所以只需把函数的图象，向左平移个单位，得到的图象.
故选：A.
5. 已知向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，
，
，
，
又，
与的夹角为
故选：
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
.
故选：D.
7. 下列不等关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A项，，，故，即，故A项错误；
B项，，，故B项错误；
C项，，，，故C项错误；
D项，，，
则
，
而，，，
故，即，故D项正确.
故选：D.
8. 在自然界中，对称性无处不在.从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构，对称性展现了自然界的和谐与平衡.数学作为描述自然规律的语言，同样充满了对称之美.函数图像的对称性，例如轴对称和中心对称，关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念.已知函数，使得不等式成立的实数m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】令，则，
函数可化为.
因为，
所以函数是偶函数，其图象关于y轴对称，
那么函数的图象关于直线对称.
当时，.
对求导，，
因为，所以，，，则，
所以
这表明函数在上单调递增.
因为函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，
所以等价于.
即，两边平方得
移项化为，因式分解得.
所以实数m的取值范围是.
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若正实数p，q满足，则（ ）
A. pq的最小值是B. 的最大值是
C. 的最小值是D. 的最小值是6
【答案】BCD
【解析】由题意知，，且
对于A，由，解得，当且仅当，时等号成立，
则pq的最大值为，故A错误；
对于B，，
当且仅当，时等号成立，所以的最大值为，故B正确；
对于C ，，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是，故C正确；
因为，所以
，
因为，所以，当，时等号成立，D选项正确.
故选：BCD.
10. 已知函数，若有四个不等的实数解，，，，下列说法正确的是（ ）
A. 有最小值2B. m的取值范围是
C. D. 方程有4个不同的解
【答案】ACD
【解析】由题意作出函数的图像，如图所示：
可得，，，，
所以有最小值2，故A正确；
有四个不等的实数解，，，，可得，故B错误；
因为为偶函数，所以图象关于轴对称，
又的对称轴为直线，
所以由对称性可知，，可得，故C正确；
令，则方程可化为方程，
结合图像得有4个解，且，，，，
因为有最小值2，所以只有当时，有4个不同的x与之对应，
故方程有4个不同的解，故D正确.
故选：ACD．
11. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 为偶函数B. 的最小正周期为
C. 关于对称D. 的值域为
【答案】ACD
【解析】的定义域为关于原点对称，
对于A，因为，
所以偶函数，故A正确；
对于B，因为，
所以的周期为，故B错误；
对于C，因为，
所以关于对称，故C正确；
对于D，令，则，，
由于，所以，进而，
所以，
因为函数在上都是减函数，
所以函数在上是减函数，且，
所以函数在上是减函数，因此的值域为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数在上有两个零点，则a取值范围为__________.
【答案】
【解析】函数在上有两个零点，
函数的图象和直线在上有两个交点．
上，，
在上单调递增，在上单调递减，最大值是，
又，，
.
13. 已知函数的定义域为R，且满足：，，，则__________.
【答案】3
【解析】，
，
两式相加得，，
，
函数周期为6，
，
，，
，
.
14. 如图，正方形的边长为1，分别为边上的点，若，求的面积的最大值为__________．
【答案】
【解析】设，，
，，
则，，，
整理得，
因为
当且仅当等号成立，解得或，
因为，
所以，则当时，的最大值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，在平行四边形中，，，若M，N分别是边，所在直线上的点，且满足，，其中k，，设，.
（1）当，时，用向量和分别表示向量和；
（2）当，时，求的取值范围.
解：（1）当，时，
，
（2）当，时，
，，
故
，
因为，故
故的取值范围为.
16. 计算：
（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值；
（3）若正实数同时满足下列三个方程，，，求的值.
解：（1），，.
（2），
.
（3）正实数x，y，z同时满足下列三个方程，，，
，
.
17. 已知函数的最大值为
（1）求常数a值；
（2）求函数在的单调递增区间；
（3）若在区间上有9个零点，求实数a的取值范围.
解：（1）由题意可知：
，
当时，，故.
（2）令，t在上单调递增，且，
而在和上单调递增，
因此，，解得，，
在的单调递增区间为，
（3）令，，，则
由题可知：在上有9个根，即，
因此，即
故实数的取值范围是
18. 已知函数为偶函数.
（1）求实数k的值；
（2）若函数有两个零点，求实数a的取值范围；
（3）若函数，是否存在实数m使得的最小值为0，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）是偶函数，
即对任意恒成立，
，
（2）函数有两个零点，即方程有两个实数根．
令，则函数的图象与直线有两个交点，
由复合函数的单递性知，在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，，
当且仅当即时，等号成立.
，
的取值范围是
（3）
，，
令，，则，，
的最小值为0，
或或
或或
19. 已知函数．
（1）若，求的值；
（2）试求，，的取值范围，猜想当，时，的取值范围不需要写出证明过程；
（3）存在，使得关于x的不等式对任意的恒成立，求a的取值范围．
解：（1），
则，
．
（2），
，
此时有，
此时有，
由此猜想当，时，．
（3），
∴，，
又，
，
因为，则，，
存在，则，，
又，
，单调递增，
，
综上所述：．