湖南省名校联考联合体2024-2025学年高一下学期第二次联考（3月）数学试题（解析版）

这是一份湖南省名校联考联合体2024-2025学年高一下学期第二次联考（3月）数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.）
1. 复数，则的虚部为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】复数的实部为2，虚部为.
故选：B.
2. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，，
又，．
故选：B.
3. 在平行四边形中，是边上靠近点的三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】如图，
.
故选：B.
4. 已知，则（ ）
A. 1B. C. 5D.
【答案】A
【解析】，
则.
故选：A.
5. 已知的面积为，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】D
【解析】∵的面积为，∴，
∴，
∴，当且仅当时等号成立.
故选：D.
6. 在中，角所对应的边分别是，下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则为锐角三角形
【答案】B
【解析】由，则，A错；
由，则，结合正弦边角关系得，B对；
由，若为钝角、为锐角，则，C错；
由，则，故，
所以为锐角，但不能确定为锐角三角形，D错.
故选：B.
7. 设均为单位向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若，则，
即，
即，所以，即，所以充分性成立，
若，则，
此时，，
所以，即，所以必要性成立，
所以“”是“”的充分必要条件.
故选：C.
8. 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，函数，
令，则，
由得，
∴，即.
∵，在上为增函数，在上为减函数，
∴在上为增函数，
∵定义域为，且，
∴是上的奇函数，故.
∴由得，，解得或，
∴实数的取值范围为.
故选：A.
二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若与的夹角为钝角，则且
D. 若，则或
【答案】ABD
【解析】，则，故，A正确；
若，则，故，B正确；
若与的夹角为钝角，则且与为不共线向量，即且，如取，C错误；
，解方程得或，D正确.
故选：ABD.
10. 关于函数，下列结论错误的是（ ）
A. 最小正周期为B. 最大值为3
C. 图象关于直线对称D. 在区间上单调递增
【答案】BCD
【解析】的最小正周期为的最小正周期为，
故的最小正周期为，A正确；
易知的最大值不超过，当且时，
需同时满足且，此时无解，故实际最大值小于，B错误；
若的图象关于对称，则，
而，与矛盾，
故的图象不关于直线对称，C错误；
由知，不满足在上单调递增的定义，D错误.
故选：BCD.
11. 函数满足对任意实数，有，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 是偶函数
C. D. 存在实数使得
【答案】CD
【解析】令，得，故为任意值，A错误；
令，得，结合，得，不满足偶函数定义，B错误；
通过构造可令，可得，，
即，C正确；
函数满足条件，
即.
当时，有，存在非零实数解，D正确.
故选：CD.
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知复数满足：，则__________.
【答案】2
【解析】由已知，得，所以.
13. 在中，角所对的边分别为.若，则__________.
【答案】
【解析】在中，由正弦定理，得，而，则，
由余弦定理，得，
再由余弦定理，得.
14. 已知函数，若存在两个零点，且，则实数__________.
【答案】
【解析】画出函数的图象，再画出直线，
可以发现当直线过点时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，
即方程有两个解，也就是函数有两个零点，
此时满足，即.
不妨设，则，
从而即
设，函数单调递增，且，
所以，又，解得，
所以.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知向量.
（1）若，求的坐标；
（2）若，求与夹角的余弦值；
（3）求的最大值.
解：（1）因为，设，则，
所以，即或.
（2）因为，
所以得到8a→−b→·a→−b→=8a→2−9a→·b→+b→2
=8×5−9×5×35cs+45=0，解得.
（3）因为a→+2b→2=a→2+4a→·b→+4b→2=5+4×5×35cs+4×45
≤5+60+180=245，
所以，当且仅当同向时等号成立.
16. 在中，角的对边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）若为的中点，，求的面积.
解：（1）由余弦定理知，，
化简为，
化简为，
，
，
.
（2）因为，
所以，
即，得，
中，由余弦定理得，
即，
联立,可得，
.
17. 如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场.游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段是函数的图象，图象的最高点为；边界的中间部分为长1千米的直线段，且；游乐场的后一部分边界是以为圆心的一段圆弧.
（1）曲线段上的入口距海岸线的距离为1千米，现准备从入口修一条笔直的景观路到，求景观路的长度；
（2）如图，在扇形区域内建一个矩形休闲区，矩形的一边在海岸线上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，求矩形休闲区面积的最大值和此时点的位置.
解：（1）由已知条件，得，
又，
又当时，有，且，
曲线段的解析式为.
由，根据图象得到，
解得，
又.
景观路的长为千米.
（2）易知，又，，
记，
在中，.
即，，又，
中，.
所以.
故
，，
当时，即时，矩形面积最大为平方千米，此时点在弧的中点上.
18. 已知函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）直接指出函数的单调性（不证明），并解不等式；
（3）证明：方程在有唯一实根，且.
解：（1）由函数为偶函数，得，
即.
即，要使恒成立，即需，
所以.
（2）.
由于当时，有，且显然递增，
故递增.
而是偶函数，所以在上单调递减.
因此偶函数在上单调递减，在上单调递增.
结合单调性，可知不等式等价于，即或.
解得或，所以原不等式的解集为.
（3）设，
则.
从而在上单调递减，而，，
所以在上有唯一实根.
又因为，
从而，即.
19. 对非空整数集合及，定义，对于非空整数集合，定义.注：是指满足且的最小自然数.
（1）设，请直接写出集合；
（2）设，求出非空整数集合的元素个数的最小值；
（3）对三个非空整数集合，若且，求的所有可能取值.
解：（1）若，
由集合新定义知.
（2）设有个元素，下证，
一方面，，则，
所以，即，
而，
这表明了满足题意，此时，故；
另一方面：若，不妨设且，
由题意可知，
而最多含有个元素，
当且仅当两两不同且时，等号成立，
但这与有80个元素矛盾，所以.
综上所述：非空整数集合的元素个数的最小值是27.
（3）一方面：先证，
，
因此只要，就有，
而，所以，
所以，即，
从而.
另一方面：如果，
那么，
从而，同理，
由定义得，即满足距离的三角不等式；
所以，即，
取，可知可能成立，
取，可知可能成立，
取，可知可能成立，
综上所述，所有可能取值为2或3或4.