湖南省长沙市2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版）

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一、单选题
1. 下列式子是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A、，故此选项错误；
B、是最简二次根式，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：B．
2. 以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是（ ）
A. 1， ，2B. C. 5，6，7D. 7，8，9
【答案】A
【解析】A、12+()2=22，故是直角三角形，故此选项正确；
B、()2+()2≠=()2，故不是直角三角形，故此选项错误；
C、52+62≠72，故不是直角三角形，故此选项错误；
D、72+82≠92，故不是直角三角形，故此选项错误．
故选：A．
3. 计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】原式=．
故选：C．
4. 3月9日中国政府向世界卫生组织捐款2000万美元，捐款将用于新冠肺炎防控、发展中国家公共卫生体系建设等指定用途．2000万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】2000万=，
故答案为：D．
5. 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC的中点，若DE=3，则AB等于( )
A. 4B. 5C. 5.5D. 6
【答案】D
【解析】∵点D是BC的中点，点E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=6，
故选：D．
6. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、和不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，原式运算错误，故本选项不符合题意；
C、，原式运算正确，故本选项符合题意；
D、，原式运算错误，故本选项不符合题意；
故选：C．
7. 如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DE⊥AB于点E，则DE的长度为（ ）
A. B. C. 5D.
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴面积是AC×BD＝×6×8＝24，AC⊥BD且互相平分，
因为菱形的对角线长为6和8，
所以利用勾股定理可得菱形的边长为＝5，
则5×DE＝24，
解得DE＝，
故选：B．
8. 下列说法错误的是（ ）
A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【答案】B
【解析】A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，不合题意；
B、两条对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，故原说法错误，符合题意；
C、三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，正确，不合题意；
D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确，不合题意；
故选：B．
9. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∠EAF＝45°，且AE+AF＝3，则▱ABCD的周长是（ ）
A. 12B. C. D.
【答案】D
【解析】∵∠EAF＝45°，
∴∠C＝360°﹣∠AEC﹣∠AFC﹣∠EAF＝135°，
∴∠B＝∠D＝180°﹣∠C＝45°，
则AE＝BE，AF＝DF，
设AE＝x，则AF＝3﹣x，
在Rt△ABE中，
根据勾股定理可得，AB＝x，
同理可得AD＝（3﹣x），
则平行四边形ABCD的周长是2（AB+AD）＝2[x+（3﹣x）]＝6，
故选：D．
10. 如图，矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的左上方作正方形AEFG，同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动，当点F落在直线MN上，设运动的时间为t，则t的值为( )
A. 1B. C. 4D.
【答案】D
【解析】过点F作FH⊥CD，交直线CD于点H，则∠EHF=90°，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠EHF，
∵在正方形AEFG中，∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠AED+∠HEF=90°，
∵∠HEF+∠EFH=90°，
∴∠AED=∠EFH，
在△ADE和△EHF中，
，
∴△ADE≌△EHF（AAS），
∴AD=EH=4，
由题意得：t+2t=4+10，
解得：t=，
故选：D．
二、填空题
11. 计算：＝_____．
【答案】
【解析】＝＝，
故答案为：．
12. 如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是_______．
【答案】17m
【解析】将水平地毯下移，竖直地毯右移即可发现：地毯长度为直角三角形ABC的两直角边之和，即AC+BC，
在直角△ABC中，AB=13m，BC=5m，且AB为斜边，
根据勾股定理可得AC==12m，
故地毯长度为AC+BC=12+5=17m，
故答案为：17m．
13. 如图，P是正方形ABCD内一点，且PA＝PD，PB＝PC．若∠PBC＝60°，则∠PAD＝_____．
【答案】15°
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，∠DAB＝∠CBA＝90°，
∵PB＝PC，∠PBC＝60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴∠APB＝∠PBA＝60°，PA＝PB＝AB，
∴∠DAP＝∠CBP＝30°，
∵PA＝PD，
∴∠PDA＝＝75°，
∴∠PAD＝15°．
故答案：15°．
14. 若x＝+1，y＝﹣1，则x2y+xy2＝____．
【答案】2
【解析】∵x＝+1，y＝﹣1，
∴xy＝（+1）（﹣1）＝2﹣1＝1，
x+y＝（+1）+（﹣1）＝2，
∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝1×2＝2．
15. 平面直角坐标系中，已知点、、，以A、B、C为顶点画平行四边形，则第4个顶点D的坐标是___________．
【答案】或或
【解析】设，
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得，
∴，∴点D的坐标为；
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得，
∴，∴点D的坐标为；
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得，
∴，∴点D的坐标为；
综上所述，点D的坐标为或或．
故答案为：或或．
16. 如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠D=60°，∠A＝105°，∠B＝120°，则的值为__________．
【答案】
【解析】如图，
连接AC并过B点作BM⊥CM，设BM=k，
∵AD＝CD，∠D=60°，
∴△ACD是等边三角形，AD=AC，
∵∠A＝105°，∠B＝120°，∠DAC=60°，
∴∠MBC=60°，∠BCM=30°，∠BAC=45°，
∵BM=k，
∴BC=2k，MC==k，
∵∠BAC=45°，∠MCA=45°，
∴AD=AC==，
∴．
故答案为：．
17. 化简：＝_____．
【答案】10
【解析】
＝5+5
＝10．
故答案为：10．
三、解答题
18. 计算：×（﹣）﹣|2﹣3|+（）﹣3．
解：原式＝﹣+2﹣3+8
＝﹣4+2﹣3+8
＝1+2．
19. 已知x＝+1，y＝﹣1，求：
（1）代数式xy的值；
（2）代数式x3+x2y+xy2+y3的值．
解：（1）xy
=（+1）（-1）
=（）2-1
=2；
（2）∵x＝+1，y＝﹣1，xy=2,
∴x+y
=+1+-1
=2，
∴x2+y2
=（x+y）2-2xy
=8，
则x3+x2y+xy2+y3
= x2（x+y）+y2（x+y）
=（x2+y2）（x+y）
=8×2
=16．
20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)直接写出边AB、AC、BC的长．
(2)判断△ABC的形状，并说明理由．
解：(1)AB＝，AC＝=，BC＝；
(2)△ABC 是等腰直角三角形，理由如下：
∵AB2+AC2＝5+5＝10＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
又∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
21. 如图，在中，，分别是边的中点，求证：四边形是菱形．
证明：点分别是边的中点，
，且，
同理，，且．
∴四边形是平行四边形．
又，
，
∴平行四边形是菱形．
22. 一架云梯长13m，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙5m．
（1）这个梯子AC的顶端A距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了3m，如图到达DE位置，那么梯子的底部在水平方向滑动的距离CE是多少米？
解：（1）由题意可知△ABC是直角三角形，
∵BC＝5m，AC＝13m．
∴由勾股定理得：AB＝＝12（m），
∴梯子的高为12m；
（2）由题意可知DE＝AC＝13m，
∵AD＝3m，
∴BD＝12﹣3＝9（m），
在Rt△DBE中，由勾股定理得：BE＝＝＝2（m），
∴﹣5）（m）．
23. 如图所示，以△ABC的三边AB、BC、CA在BC的同侧作等边△ABD、△BCE、△CAF,请说明：四边形ADEF为平行四边形．
证明：∵△ABD，△EBC都是等边三角形，
∴AD＝BD＝AB，BC＝BE＝EC，
∠DBA＝∠EBC＝60°，
∴∠DBE+∠EBA＝∠ABC+∠EBA，
∴∠DBE＝∠ABC，
在△DBE和△ABC中，∵，
∴△DBE≌△ABC（SAS），
∴DE＝AC，
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC＝AF，
∴DE＝AF，
同理可证：AD＝EF，
∴四边形ADEF是平行四边形．
24. 如图1，ACB和ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，ACB的顶点A在ECD的斜边DE上．
（1）求证：AE2+AD2＝2AC2；
（2）如图2，若AE＝2，AC＝2，点F是AD的中点，求CF的长．
（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，
∴∠ECA+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，∠CEA＝∠CDE＝45°，∠CAB＝∠CBA＝45°，AB2＝2AC2，
∴∠ECA＝∠DCB，
连接BD，如图1所示：
在△ECA和△DCB中，，
∴△ECA≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠CEA＝∠CDB＝45°，
∴∠ADB＝∠CDB+∠EDC＝90°，
∴△ADB是直角三角形，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴AD2+AE2＝AB2，
∴AE2+AD2＝2AC2；
（2）解：过点C作CH⊥DE于H，如图2所示：
∵AE2+AD2＝2AC2，AE＝2，AC＝2，
∴AD＝6，∴DE＝AE+AD＝8，
∵点F是AD的中点，
∴AF＝DF＝3，
∵△ECD是等腰直角三角形，CH⊥DE，DE＝8，
∴CH＝DH＝EH＝4，
∴HF＝DH﹣DF＝1，
∴CF＝＝＝．
25. 在中，．
（1）若，点M、N在、上，将沿折叠，使得点C与点A重合，求折痕的长；
（2）点D在的延长线上，且，若，求证：是直角三角形．
解：（1）如图1，过作于，
，，
，
，
将沿折叠，使得点与点重合，
，，
设，
，
，
，
解得：，
；
（2）如图2，过作于，
，
，
，
设，，，
，
，，
，，
联立方程组解得，（负值舍去），
，
，
是直角三角形．