湖南省长沙市雨花区2024-2025学年八年级下学期期末考试试题数学试卷（解析版）

这是一份湖南省长沙市雨花区2024-2025学年八年级下学期期末考试试题数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列各组数中，属于勾股数的是（ ）
A. ，2，B. ，，C. 8，15，19D. 9，40，41
【答案】D
【解析】A、和不是整数，故此选项不属于勾股数，不符合题意；
B、，，都不是整数，故此选项不属于勾股数，不符合题意；
C、，故此选项不属于勾股数，不符合题意；
D、，故此选项属于勾股数，符合题意；
故选：D．
2. 若关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ）
A. 3B. C. 3或D. 或1
【答案】B
【解析】∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，且，
∴．
故选：B．
3. 学生心理健康是学生健康成长、全面发展重要指标．某校要选拔一名学生代表学校参加全市心理健康知识竞赛，经过四轮初赛后，从中选出成绩最高的甲、乙、丙、丁四名同学，他们的平均成绩都是90分，方差分别是，，，．若从中选择一名发挥稳定的同学去参赛，那么被选中的同学是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
【解析】∵，
∴丁同学的方差最小，成绩最稳定，
∴被选中的同学是丁同学，
故选：D．
4. 下列关于函数的性质说法正确的是（ ）
A. 图象不经过第二象限B. 图象与y轴交于点
C. 图象与x轴交于点D. y随x的增大而减小
【答案】A
【解析】∵，，
∴该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选项A正确；
该函数图象与x轴、y轴分别交于点，，故选项B，C错误；
该函数y随x的增大而增大，故选项D错误．
故选：A．
5. 如图，的对角线相交于点O，，，，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵的对角线相交于点O，，，，
∴，，
∴的周长为，
故选：B．
6. 下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A、不能判定四边形是平行四边形，符合题意；
B、能判定四边形是平行四边形，不符合题意；
C、能判定四边形是平行四边形，不符合题意；
D、能判定四边形是平行四边形，不符合题意；
故选：A．
7. 已知一次函数的图像经过第一、二、三象限，的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵一次函数的图像经过第一、二、三象限，
∴，
故选：A．
8. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，则折断处离地面的高度为（ ）
A 尺B. 尺C. 尺D. 尺
【答案】C
【解析】设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，
依题意，得：，
解得：，
∴折断处离地面的高度为尺．
故选：C．
9. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】根据题意得：，
故选：C．
10. 如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线（k、b均为常数，且）与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】观察函数图象可知：当时，直线在直线的上方，
不等式的解集为．
故选：C．
二、填空题
11. 已知关于的方程的一个根是，则的值为_______．
【答案】
【解析】∵关于的方程的一个根是，
∴，
解得：，
故答案为：．
12. 某品牌专卖店9月份销售了20双运动鞋，其尺码和数量统计如表：这20双运动鞋尺码的众数是______．
【答案】41
【解析】尺码为41的销量最大，故众数为41；
故答案为：41．
13. 已知是一次函数图象上的两点，则与的大小关系是 _____．
【答案】
【解析】∵，
∴y随x的增大而减小，
∵是一次函数图象上的两点，且，
∴．
故答案为：.
14. 一元二次方程的两个根分别为，，则______．
【答案】
【解析】∵一元二次方程的两个根分别为，，
∴，
故答案为：．
15. 已知两线段的长分别为5cm和3cm，则第三条线段为______时，这三条线段构成直角三角形．
【答案】4或
【解析】当两线段都为直角边长时，由勾股定理求得第三条线段长为；当5cm长的线段为斜边长时，由勾股定理求得第三条线段长为．
故答案为：4或.
16. 如图，的对角线相交于点，点分别是线段的中点，若，的周长是，则_________________．
【答案】5
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵的周长是，
∴，
∴，
∵点分别是线段的中点，
∴，
故答案为：5．
三、解答题
17. 解下列方程：
（1）；
（2）．
解：（1）∵，
∴，
解得：；
（2）∵，
，
∴，
∴，
解得：．
18. 如图，已知，，，，求AC．
解：，，
∴．
∵，
∴为直角三角形．
∵，
∴由勾股定理知：．
19. 根据下列条件分别确定函数的解析式：
（1）y与x成正比例，当时，；
（2）直线经过点与点．
解：（1）∵y与x成正比例，
∴b=0，
又∵当x=5时，y=6，
∴5k=6，
解得，
则；
（2）由题意，将点(3，6)，代入y=kx+b得：，
解得：，
则．
20. 如图，已知平行四边形的对角线的垂直平分线与边、分别交于E、F两点，垂足是点O．
（1）求证：；
（2）问题：四边形是什么特殊的四边形？请给出证明．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，，
在和中，
，
∴，
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
由（1）得，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
21. 为了解双减背景下学生每天完成作业的时间情况，某中学对名学生每天完成作业时间进行抽样调查，根据时间（单位：分钟）分成，五个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：
（1）___________；___________，扇形统计图中A的圆心角度数_________．
（2）补全条形统计图；
（3）学生每天完成作业时间的中位数落在___________组；
（4）若全校共有2000名学生，请估计该校每天完成作业时间不低于120分钟的学生有多少人？
解：（1）（名），
，
则，
扇形统计图中的圆心角度数为，
故答案为：40，，．
（2）组的学生人数为（人），
则补全条形统计图如下：
（3）将抽取的学生每天完成作业时间按从小到大进行排序后，第20个数和第21个数的平均数即为中位数，
∵，，
∴学生每天完成作业时间中位数落在组，
故答案：．
（4）（人），
答：估计该校每天完成作业时间不低于120分钟的学生有600人．
22. 如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，把长方形ABCD沿着直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处，若AE＝5，BF＝3．求：
（1）AB的长；
（2）△CDF的面积．
解：（1）由折叠的性质可知，EF=AE=5，
∵四边形ABCD长方形，
∴∠B=90°，
∴，
∴AB=AE+BE=9；
（2）∵四边形ABCD是长方形，
∴AD=BC，CD=AB=9，∠C=90°，
由折叠的性质可得AD=DF，
∴BC=AD=DF，
设CF=x，则BC=DF=x+3，
∵，
∴，
解得，
∴CF=12，
∴.
23. 近期，我国的国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了150亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个．
（1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元?
（2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1760元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大?最大利润是多少元?
解：（1）设每个种娃娃的进价是元，每个种娃娃的进价是元，根据题意得：
，
解得：．
答：每个种娃娃的进价是10元，每个种娃娃的进价是8元；
（2）设购进个种娃娃，则购进个种娃娃，根据题意得：
，
解得：．
设这200个娃娃全部售完获得的总利润为元，则，
即，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为，
此时（个）．
24. 如图，平面直角坐标系中有一矩形平台，平台下边缘与x轴重合，高度为1，平台上的点光源A发射的光线经过屏幕的下端点后照射到y轴平面镜上的点处，屏幕轴，点N的坐标为．
（1）求点光源A的坐标．
（2）①直接写出屏幕的中点的坐标：______．
②若将屏幕向右平移，使得光线经过平面镜反射后恰好能照射到屏幕的中点处，求需将屏幕向右平移的距离．
（3）将②中平移后得到的屏幕所在位置再向左平移1个单位长度至屏幕，并调整点光源A的发射方向，使得光线经过平面镜反射后恰好经过屏幕的上端点，求此时光线与平面镜的交点的坐标．
解：（1）设直线的表达式为．
将点和代入，
得，
解得，
∴直线的表达式为．
令，则，解得，
∴点．
（2）①，，
的中点的坐标为，即；
②如图1，作移动后的屏幕关于平面镜，即y轴的对称的像，
由题意知，中点的纵坐标为4，
直线经过的中点，直线的表达式为．
令，则，
解得，
，
∴需将屏幕向右平移的距离为个单位．
（3）如图2，设与关于平面镜对称．
由题意可知，此时点的坐标为，则点．
设直线的表达式为．
将点，代入，
得，
解得，
∴直线的表达式为．
将代入，得，
∴点的坐标为．
25. 【模型建立】
如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点．
【模型探索】
（1）如图2，求证：是等腰直角三角形．
（2）如图3，是直线上的两动点，连接．若，求的长的最小值．
【模型应用】
（3）如图4，经过点的直线与轴交于点，为线段上的一点，作射线．若，求直线的函数解析式．
（1）证明：对于，
当时，，当时，，
即点、的坐标分别为：、，
，
为直角，
是等腰直角三角形；
（2）解：如图，当时，最小，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
即的长的最小值为8；
（3）解：如图，过点作于点，过点作轴交于点，交过点和轴的平行线于点，
，
为等腰直角三角形，，
同（2）中原理可得，，
，
四边形为矩形，
，
当时，，
，即，
设，
，，
根据，，
可得，
解得：，
即点，
设直线的解析式为，
把代入可得，
解得，
所以直线的解析式为．尺码
38
39
40
41
42
数量
2
4
5
6
3