湖南省长沙市宁乡市2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷（解析版）

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一、选择题
1. 下列各组数，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A. 2，3，4B. 3，4，5C. 1，1，2D. 4，6，7
【答案】B
【解析】A、，，
，
以2，3，4为边不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；
B、，，
，
以3，4，5为边能构成直角三角形，故该选项符合题意；
C、，，
，
以1，1，2为边不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；
D、，，
，
以4，6，7为边不能构成直角三角形，故该选项不符合题意；
故选：D．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、，故该选项错误；
B、，故该选项错误；
C、，故该选项正确；
D、，故该选项错误，
故选：C．
3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A、是二次根式，故本选项符合题意；
B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A．
4. 如图，在四边形中，，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】添加条件，再由，不能根据一组对边相等，另一组对边平行证明四边形是平行四边形，故A符合题意；
添加条件，再由，能根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，故B不符合题意；
添加条件，由得到，进而得到，则，能根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，故C不符合题意；
添加条件，再由不能根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，故D不符合题意；
故选：A．
5. 如图，在中，DE是的中位线，若DE=3，则的长为（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】A
【解析】∵是的中位线，且，∴，
故选：A．
6. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等D. 对角线相等且互相垂直
【答案】C
【解析】A、矩形和菱形的对角线都互相平分，故此选项不符合题意；
B、矩形的对角线不一定垂直，菱形的对角线垂直，故此选项不符合题意；
C、矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，故此选项符合题意；
D、菱形和矩形的对角线都不一定相等且互相垂直，故此选项不符合题意；
故选：C．
7. 如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形A，B的面积分别是16，9，则最大正方形C的面积是（ ）
A. 30B. 25C. 20D. 15
【答案】B
【解析】设正方形A、B、C边长分别为x，y，z，
则，．
∵图中的三角形是直角三角形，
∴，
∴最大正方形C的面积是25．
故选：B．
8. 若，则（ ）
A B. 0C. D. 1
【答案】D
【解析】，
，，
解得：，，
，
故选：D．
9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，两点的坐标分别为，，则菱形的面积为（ ）
A. 24B. 48C. D.
【答案】B
【解析】∵，两点的坐标分别为，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
故选：B．
10. 炭河古城作为我国首个周文化主题公园，备受大家追捧，如今已成为旅游热点．在如图是古城某个绿植拐角的平面图，为了不践踏绿植，需要避开“捷径”走横平竖直的路．已知米，米，请问与捷径相比多走了多少米？（ ）
A. 2米B. 3米C. 4米D. 5米
【答案】C
【解析】在中，，，，
，
则少走的长度是．
故选：C．
二、填空题
11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】根据题意得，
，
故答案为：．
12. 在中，，，点为的中点，则的长为______．
【答案】
【解析】在中，，点为的中点，
∴是斜边上的中线，
又∵，
∴，
故答案为：．
13. 请写出一个大于且小于的二次根式_____．
【答案】（答案不唯一）
【解析】大于且小于的无理数可以是，
故答案为：．（答案不唯一）
14. 请写出命题“如果，那么”的逆命题：________．
【答案】如果，那么
【解析】如果，那么的逆命题是如果，那么，
故答案为：如果，那么．
15. 我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为“1”的线段作一个正方形，然后以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点”，如图线段的长度是______．
【答案】
【解析】根据题意知，
，
故答案为：．
16. 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容长方形面积相等（如图）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列说法一定正确的是_______．
①；②；③；④；
【答案】①②③
【解析】由矩形的性质可知，①正确；
由题意知，矩形中， ，，
四边形和四边形均为矩形，
，，②正确；
，
，③正确；
，，
现有条件无法得出，
，④错误；
故答案为：①②③．
三、解答题
17. 计算：．
解：
．
18. 计算：．
解：原式
．
19. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC，
求证：四边形ABED是平行四边形．
证明：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
20. 设，．
（1）求，的值；
（2）求的值．
解：（1）将，代入得，
，
；
（2），
将，代入得，
．
21. 下图为某小区绿化带示意图，已知米，米米，米．
（1）试判断形状，并说明理由；
（2）若铺设一平米草坪费用为元，请问将该绿化带铺满草坪需要多少钱？
解：（1）为直角三角形，理由如下：
，，，
，
，，
，
为直角三角形且．
（2），
总费用为：元，
答：将该绿化带铺满草坪需要元．
22. 如图，已知，点在射线上，点在射线上，其中．
（1）尺规作图：用直尺和圆规作出菱形．
（2）作出（1）中菱形后，若，，求的长．
解：（1）如图所示，分别以为圆心，的长为半径在的内部作弧，两弧交于点，连接，则四边形是菱形；
理由：根据作图可得，
∵，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）如图所示，连接交于点
∵四边形是菱形，
∴．
∵，
∴．
在中，，，
∴，
∴，
∴．
23. 如图平面直角坐标系中，已知三点，，．
（1）请用含的代数式表示和的值， ， ；
（2）请求出使得时的x值；
（3）请求出的最小值．
解：（1）∵，，
∴，
．
（2）∵，
∴，
∴，解得：．
（3）∵，，
取点，则，
则，
∴的最小值为．
24. 在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中．
（1）若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（、相遇时除外）？
答：________；（直接填空，不用说明）
（2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求的值；
（3）在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值．
解：（1）四边形是平行四边形，
理由如下：
由题意得：，
四边形是矩形，
，，
，
，分别是，中点，
，，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
故答案为：四边形是平行四边形；
（2）如图，连接，
由（1）得，，，
四边形是矩形，
，
①如图，当四边形矩形时，
，
，
，
；
②如图，当四边形是矩形时，
，，
，
；
综上，四边形为矩形时或；
（3）如图，连接，，，与交于，
四边形为菱形，
，，，
，，
四边形为菱形，
，
设，则，
由勾股定理可得：，
即：，解得：，
，即，
当时，四边形为菱形．
25. 我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”．
（1）在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“宁美四边形”的是 （填序号）；
（2）如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G，连、．求证：四边形是“宁美四边形”；
（3）如图2，点F、R分别在正方形的边、上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为6，求线段的长．
（1）解：平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等，
正方形是“宁美四边形”，
故答案为：；
（2）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是“宁美四边形”；
（3）解：图，延长交于S，
由翻折的性质可知，，，，，
四边形是正方形，边长为，
，，
，，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
即线段的长为．