江西省部分高中学校2024届高三下学期3月联考数学试卷（解析版）

这是一份江西省部分高中学校2024届高三下学期3月联考数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线的渐近线方程的求解即可.
【详解】由题可知双曲线的渐近线方程为.
故选：D
2. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合中元素范围，再求交集即可.
【详解】依题得，则.
故选：B.
3. 已知圆锥母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据扇形弧长求底面半径，再代入圆锥的表面积公式，即可求解.
【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，
则，解得，所以该圆锥的表面积为.
故选：C
4. 古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即，设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，切化弦，再利用二倍角公式及诱导公式计算即得.
【详解】依题意，.
故选：A
5. 已知实数a，b满足，则（ ）
A. B. C. D. a，b的大小无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，构造函数，利用单调性并借助媒介数比较大小.
【详解】函数在上单调递增，且，则由，得，
又，所以.
故选：A
6. 过点的直线与圆相切于点，则（ ）
A. 4B. 16C. D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】利用数量积公式，转化为求切线长问题.
【详解】圆，即圆的圆心为，半径，
点到圆心的距离，所以，
.
故选：B
7. 若一个四位数的各位数字之和为4，则称该四位数为“数”，这样的“数”有（ ）
A. 20个B. 21个C. 22个D. 23个
【答案】A
【解析】
【分析】根据的不同构成，分类讨论求解.
【详解】易知，
当四位数由4，0，0，0构成时，共有1种情况，
当四位数由3，1，0，0构成时，共有种情况，
当四位数由2，2，0，0构成时，共有种情况，
当四位数由2，1，1，0构成时，共有种情况，
当四位数由1，1，1，1构成时，共有1种情况，
所以这样的“数”有20个.
故选：A.
8. 是椭圆上一点，A，B是椭圆的左，右顶点，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据余弦定理可求解余弦值，进而根据同角关系可得正切值，结合斜率公式，将椭圆上的点代入化简即可得，由离心率公式即可求解.
【详解】由题可知，
则.
由题意不妨设，又，，所以，
则的离心率为.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则（ ）
A. 区间上单调递增B. 对
C. 关于点对称D. 将的图象向左平移个单位长度，所得到的函数是偶函数
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A：求出的范围，再根据正弦函数的单调性判断；对于B：计算的值是否是最大值即可；对于C：计算是否成立即可；对于D：平移后计算是否取最值即可.
【详解】当时，，因为是正弦函数的单调递增区间，所以在区间上单调递增，选项正确;
，B选项错误;
，C选项正确;
将的图象向左平移个单位长度，得函数的图象，
其中，不是函数最值，轴不是函数图象的对称轴，不是偶函数，D选项错误.
故选：AC.
10. 复数满足，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用解方程求出，进而可得和，利用可得的值，利用复数的运算从而判断选项的正误.
【详解】由，可得，则，解得，
所以，故选项A，D正确.
当时，，当时，，故选项B正确，选项C错误.
故选：ABD.
11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若的图象关于直线对称，，且，则（ ）
A. 为偶函数B. 的图象关于点对称
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】首先根据抽象函数的对称性，判断函数的对称性，以及周期，并结合条件转化，判断函数的对称性，利用抽象函数的导数公式，以及周期性，求，最后利用函数与的关系求和.
【详解】由的图象关于直线对称，可得的图象关于直线对称，即的图象关于直线对称，则
由，可得，又，
所以，所以的图象关于点对称，即为奇函数，
所以，即，即函数的周期为4，
由，可得，因为的周期为4，所以，
则，即，所以的图象关于点对称，故B正确；
因为的图象关于直线对称，则，所以，所以，
因为的周期为4，所以的周期也为4.由，可得，所以，故C正确；
由，可得，所以，即，故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题考察抽象函数的性质，以及导数运算问题，本题的关键是以条件等式为桥梁，发现函数与的性质关系，以及解析式的关系.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．
12. 样本数据5，11，6，8，14，8，10，5的分位数为______________________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据百分位数的计算规则即可求解.
【详解】将样本数据按从小到大的顺序排列为5，5，6，8，8，10，11，14，
由于，故分位数为8.
故答案为：8
13. 如图，在正三棱锥中，侧棱，过点作与棱DB，DC均相交的截面AEF．则周长的最小值为_______________，记此时的面积为，则N_______________．

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用展开图，将周长的最小值转化为两点间距离；根据展开图的几何关系，求的三边，即可求三角形的面积.
【详解】把正三棱锥的侧面展开，两点间的连接线是截面周长的最小值.

正三棱锥中，，所以，
所以，故周长的最小值为.
又，所以，则.
故答案为：；.
14. 若不等式在上恒成立，则的最大值为______．
【答案】6
【解析】
【分析】根据题意分析可知在上恒成立，令，利用导数可知在上单调递增，进而可得的值域，根据恒成立问题结合绝对值的性质分析求解.
【详解】由，即，
且，则，可得，
令，
则，
可知在上单调递增，且，即，
由题意可知：在上恒成立，
则，可得，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为6.
故答案为：6.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，并且各车间的次品率依次为．
（1）从该厂这批产品中任取一件，求取到次品的概率；
（2）从该厂这批产品中有放回地抽取100次，每次抽取1件，且每次抽取均相互独立，用表示这100次抽取的零件中是次品的总件数，试估计的数学期望EX．
【答案】（1）0.023，
（2）2.3.
【解析】
分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得.
（2）由（1）的结论，利用二项分布的期望公式计算即得.
【小问1详解】
记事件为“任取一件产品，恰好是次品”，事件为“取到甲车间生产的产品”，
事件为“取到乙车间生产的产品”，事件为“取到丙车间生产的产品”，
则，
由全概率公式得，
所以从该厂这批产品中任取一件，取到次品的概率为0.023.
【小问2详解】
依题意，的可能取值为，且服从二项分布，
由（1）知，，
即，所以.
16. 已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）已知，集合中元素个数为，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用整理，然后利用累乘法求解通项公式；
（2）先求出，然后直接用等差等比的求和公式求解即可.
【小问1详解】
令，得.
当时，因为，所以，
两式相减得，即，所以，
所以，即，
所以
又，符合上式，所以；
【小问2详解】
由，可得，
所以.
.
17. 如图，在三棱柱中，，侧面是正方形，是平面上一点，且．

（1）证明：点到直线和的距离相等．
（2）已知二面角的大小是，求直线AB与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件及线面垂直的判定定理，结合线面垂直的性质定理即可求解；
（2）根据已知条件及二面角的平面角的定义，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出直线AB的方向向量与平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合线面角与向量夹角的关系即可求解.
【小问1详解】
当和重合时，显然符合题意，
当和不重合时，连接，延长交于点，
因为是正方形，所以，
又因为，所以
因为，平面，
所以平面.
又平面，
所以，则.
因为，
所以为的中点，且为的角平分线.
所以点到直线和的距离相等.
【小问2详解】
取BC的中点，连接，
所以，
所以为二面角的平面角，
因为二面角的大小是，所以.
又在三棱柱中，为的中点，取BC的中点，
所以,
所以四点共面.
又，，平面,
所以平面,
又平面，
所以平面平面,
过作平面ABC的垂线，交于点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示

由题可得，
所以，
设平面的法向量为，则
即令，则，所以，
设直线AB与平面所成的角为，则
，
所以直线AB与平面所成角的正弦值为.
18. 在直角坐标系xOy中，点到直线的距离等于点到原点的距离，记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）点A，B，C，D在上，A，B是关于轴对称的两点，点位于第一象限，点位于第三象限，直线AC与轴交于点，与轴交于点，且B，H，D三点共线，证明：直线CD与直线AC的斜率之比为定值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用直接法，求轨迹方程；
（2）首先设点，并表示直线的方程，并由已知条件求得点的坐标，并利用方程联立表示的坐标，并利用坐标表示斜率，即可求解.
【小问1详解】
设，则，
两边平方，化简得，
故的方程为.
【小问2详解】
证明:设点的方程为，则，因为，所以
从而直线BD的方程为
联立可得，所以，则，
所以
联立可得，所以，则，所以.
所以直线CD斜率为.
所以直线与直线的斜率之比为.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是设出点的坐标，并找到坐标的关系，从而求得斜率的关系.
19. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求的取值集合；
（3）若存在，且，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论导函数值正负即可得解.
（2）由已知可得，再利用（1）的结论求出函数的最小值，并构造函数探讨函数最大值即得.
（3）根据条件，将问题转化为函数在和存在零点，再分类讨论并借助导数、零点存在性定理探讨零点即得.
【小问1详解】
函数的定义域为，求导得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，由，得，递减，由，得，递增，
所以当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在单调递增.
【小问2详解】
依题意，，由恒成立，得，则，
由（1）知，，令，
求导得，当时，，函数递增，当时，，函数递减，
因此，由恒成立，得，则，
所以的取值集合为.
小问3详解】
由，得，
令，依题意，函数在和上存在零点，
求导得，在，当时，，
当时，，函数在上单调递增，，
函数在上无零点，不符合题意，
当时，令，求导得，
当时，，函数，即在上单调递增，
，，则存在，使得，
当时，，函数递减，当时，，函数递增，
因此，，则函数在上存在唯一零点；
当时，令，求导得，
令，求导得，
函数在上单调递增，，
则，使得，当时，，函数递减，
当时，，函数递增，则，
于是，使得，当时，，函数，即递减，
当时，，函数，即递增，则，
因此，使得，当时，，函数递增，
当时，，函数递减，则，，
从而函数在上存在唯一零点，
则当，函数在和上各存在一个零点，
所以的取值范围是.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．