2024-2025学年山东省日照市高三下学期第二次校际联合考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省日照市高三下学期第二次校际联合考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|−1≤x≤1}，B={x|x2−4x≤0}，则A∩B=( )
A. [0,1]B. [−1,4]C. [−1,0]D. [1,4]
2.已知复数z=i−ai在复平面内对应的点的坐标为(1,−2)，则实数a=( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
3.“lg3a>lg3b”是“a>b>0”的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知一组样本数据x1，x2，x3，x4，x5恰好构成公差为5的等差数列，则这组数据的方差为( )
A. 30B. 40C. 50D. 60
5.如图，已知同一平面上的三条直线a，b，c相交于同一点O，两两夹角均为60∘，点A，B分别在直线a，b上，且|OA|=|OB|≠0.设OP=λOA+μOB，若点P落在阴影部分(不含边界)，则下列结论正确的是( )
A. λ>μ>0B. λ0D. −μ>λ>0
6.将5名志愿者随机分配到3个项目(卫生、宣传、审计)服务，卫生项目与宣传项目各分配2名志愿者，审计项目只需1名志愿者，则不同的分配方案共有( )
A. 30种B. 60种C. 90种D. 180种
7.已知函数f(x)=(1−3a)x+5a,x0)交于A，B两点，当直线l平行于y轴时，|AB|=4．
(1)求抛物线C的方程;
(2)若直线l的斜率存在，直线AO与直线x=−2相交于点D，过点B且与抛物线C相切的直线交x轴于点E．
(ⅰ)证明：∠DEO+∠BMO=π;
(ⅱ)是否存在直线l使得四边形ABDE的面积为152?若存在，说明直线l有几条;若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
设n∈N，数对(Xn,Yn)按照如下方式生成： ①规定(X0,Y0)=(1,1); ②抛掷一枚质地均匀的硬币，当硬币正面朝上时，Xn+1=Xn+1，Yn+1=Yn+1,Xn>YnYn,Xn≤Yn;当硬币反面朝上时，Yn+1=Yn+1，Xn+1=Xn+1,Yn>XnXn,Yn≤Xn
(1)写出数对(X2,Y2)的所有可能结果;
(2)当n≥1时，记Xn=Yn的概率为Pn．
(ⅰ)求Pn及Pn的最大值;
(ⅱ)设Xn的数学期望为En，求En．
参考答案
1.A
2.D
3.A
4.C
5.C
6.A
7.D
8.B
9.BD
10.AC
11.ACD
12.45
13.8
14.e−2
15.解：(1) 3asinC+acsC−b−c=0，由正弦定理得 3sinAsinC+sinAcsC−sinB−sinC=0，
所以 3sinAsinC+sinAcsC−sin(A+C)−sinC=0，
所以 3sinAsinC+sinAcsC−sinAcsC−csAsinC−sinC=0，
所以 3sinAsinC−csAsinC−sinC=0，
所以sinC( 3sinA−csA−1)=0，
因为sinC>0，所以 3sinA−csA=2sin(A−π6)=1，
因为A−π6∈(−π6,5π6)，
所以A−π6=π6，所以A=π3；
(2)因为D为AB中点，CD=a= 7，由余弦定理：CD2=AC2+AD2−2AC⋅ADcsπ3=7①，
CB2=AC2+4AD2−4AC⋅ADcsπ3=7②，
①②联立解得AD=1，AC=3，所以AB=2，
故△ABC的面积S=12AC⋅ABsinπ3=3 32．
16.解：(1)在△A1AC中，∠A1AC=60∘，AC=1，AA1=2，
由余弦定理A1C2=AC2+A1A2−2AC⋅A1Acs∠A1AC，解得A1C2=3，
由A1C2+AC2=A1A2，则A1C⊥AC，
因为A1C⊥AB，AC，AB⊂平面ABC，AC∩AB=A，
所以A1C⊥平面ABC．
又因为A1C⊂平面ACC1A1，
所以平面ACC1A1⊥平面ABC．
(2)由(1)及AC⊥BC，则A1C，AC，BC两两相互垂直，以C为原点，
分别以CA，CB，CA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图：
设BC=k(k>0)，由(1)知A1C= 3，
则A1(0,0, 3)，B(0,k,0)，C(0,0,0)，C1(−1,0, 3)，
则BA1=(0,−k, 3)，CB=(0,k,0)，CC1=(−1,0, 3)，
设平面BCC1B1的一个法向量n=(x,y,z)，
则n⋅CB=0n⋅CC1=0，可得ky=0−x+ 3z=0，
令x= 3，则y=0，z=1，
所以平面BCC1B1的一个法向量n=( 3,0,1)，
设直线BA1与平面BCC1B1所成角为θ，
则sinθ=|BA1⋅n||BA1|⋅|n|= 3 k2+3⋅ 3+1= 24，
解得k= 3，则BA1=(0,− 3, 3)，
在三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1//CC1，
则BB1=CC1=(−1,0, 3)，
设平面A1ABB1的一个法向量m=(x0,y0,z0)，
则m⋅BA1=0m⋅BB1=0，可得− 3y0+ 3z0=0−x0+ 3z0=0，
令z0=1，则x0= 3，y0=1，
所以平面A1ABB1的一个法向量m=( 3,1,1)，
设平面A1ABB1与平面BCC1B1所成角为α，
则csα=|n⋅m||n|⋅|m|=3+0+12× 5=2 55．
所以平面A1ABB1与平面BCC1B1所成角的余弦值2 55．
17.解：(1)当a=1时，f(x)=lnx+2x+1，则f′(x)=1x−2(x+1)2，
所以f′(1)=12，f(1)=1．
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−1=12(x−1)，即x−2y+1=0．
(2)令g(x)=f(x)−1=alnx+2x+1−1，g(x)的定义域为(0,+∞)，
g′(x)=ax−2(x+1)2=a(x+1)2−2xx(x+1)2=ax2+(2a−2)x+ax(x+1)2．
①当a≤0时，g′(x)=ax−2(x+1)20时，设函数ℎ(x)=ax2+(2a−2)x+a，
△=(2a−2)2−4a2=4(1−2a)，
当a≥12时，△≤0，即ℎ(x)≥0对任意的x>0恒成立，即g′(x)≥0.
所以函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增，函数g(x)至多一个零点，不合题意．
当00，x1x2=1，
不妨设x1