辽宁省凌源市2024-2025学年高一下学期春季教育局抽测考试数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省凌源市2024-2025学年高一下学期春季教育局抽测考试数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
又，所以.
故选：D.
2. 半径为，圆心角为210°扇形的弧长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】圆心角化为弧度为，则弧长为.
故选：D.
3. 已知向量，且，则的值为（ ）
A. B. 2C. 4D. 或4
【答案】A
【解析】因为，所以，
又因为，所以，所以.
故选：A.
4. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
由函数 在上单调递增，则，所以，
又，所以.
故选：A.
5. 若正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A. 1B. 16C. 9D. 18
【答案】B
【解析】∵，∴.
又，∴，当且仅当时取等号，
∴.
故选：B.
6. 小张某一周的总开支分布如图①所示，该星期的食品开支如图②所示，则以下说法正确的是（ ）
A. 储蓄比通信开支多50元B. 日常开支比食品中的其他开支少150元
C. 娱乐支出为100元D. 肉类开支占总开支的
【答案】C
【解析】由食品开支图，可知食品开支为（元），所以一星期的总开支为（元），其中娱乐支出为（元），故C正确；
储蓄比通信开支多（元），故A错误；
日常开支为（元），故日常开支比食品中的其他开支多150元，故B不正确；
肉类开支占总开支的，故D错误.
故选：C.
7. 已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得，，解得，即，
所以实数的取值范围为.
故选：C.
8. 若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为定义在上的偶函数在区间上单调递增，
且.
所以或，即或，
解得或，
综上，满足原不等式的的取值范围是.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法不正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若A，B，C，D四点不共线且，则四边形ABCD是平行四边形
C. 若，则
D. 若，，则
【答案】AC
【解析】若，则与就不一定平行了，所以选项A不正确；
因为，所以且，故四边形ABCD是平行四边形，所以选项B正确；
根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，所以选项C不正确；
由向量相等的定义知，选项D正确.
故选：AC.
10. 在某市初三年级举行的一次体育统考考试中，共有500人参加考试．为了解考生的成绩情况，抽取了样本容量为n的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图．若在样本中，成绩落在区间的人数为32，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（ ）
A. B. 考生成绩的众数为72
C. 考生成绩的第70百分位数为75D. 估计该市考生成绩的平均分为70.6
【答案】AD
【解析】由频率分布直方图可知，
∴，故A正确；
由频率分布直方图可知众数落在区间上，则考生成绩的众数为75，故B错误；
同时可知考生成绩的第70百分位数为：，故C错误；
由频率分布直方图可知样本中，
考生成绩的平均分为，
可估计整体学生的平均分为70.6，故D正确．
故选：AD．
11. 已知函数，有4个零点，，，，则（ ）
A. 实数的取值范围是B. 函数的图象关于原点对称
C. D. 的取值范围是
【答案】ACD
【解析】由题可知，当时，有2个零点，故，解得，
当时，此时，而，易知，也有2个零点，
故，A正确；
，B错误；
的4个零点满足：，则，是方程的两个根，
则有，且，，
于是得，C正确；
由C选项知，，
由，得：，
而函数在上单调递减，从而得，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数（且）恒过定点__________．
【答案】
【解析】因为当且时，，所以函数（且）图象恒过定点.
13. 设：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】不等式可化为，
所以，
所以：，
因为是的充分条件，：，
所以，
所以，
所以，
所以的取值范围是.
14. 已知，，则实数的值构成的集合为________．
【答案】.
【解析】已知，，由可得：
，
方程两边同时乘以去分母得：
，
展开，移项、合并同类项，整理得：，解得或.
当时，，，满足三角函数的取值范围.
当时，，，也满足三角函数的取值范围.
故实数的值构成的集合为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 已知角的终边上有一点，且．
（1）求实数m的值；
（2）求，的值．
解：（1）由三角函数的定义有，，
解得．故实数m的值为．
（2）①当时，，，
②当时，，．
16. 已知幂函数在上单调递增，函数.
（1）求的值；
（2）记集合，集合，若，求实数的取值范围.
解：（1）为幂函数且在上单调递增，
解得.
（2）由（1）知，，上单调递增，
当时，，即；
在R上单调递增，
当时，，即，
，解得，即实数的取值范围为.
17. 在2022年北京冬奥会志愿服务开始前，北京市团委调查了北京师范大学某院50名志愿者参加志愿服务礼仪培训和赛会应急救援培训的情况，数据（单位：人）如下表：
（1）从50名志愿者中随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个培训的概率；
（2）在既参加志愿服务礼仪培训又参加赛会应急救援培训的6名同学中，有4名男同学名女同学，现从这4名男同学和2名女同学中各随机选1人，求未被选中且被选中的概率.
解：（1）由调查数据可知，既未参加志愿服务礼仪培训又未参加赛会应急救援培训的有28人，
故至少参加上述一个培训的共有（人）.
因此从50名志愿者中随机选1名同学，
该同学至少参加上述一个培训的概率为.
（2）从这4名男同学和2名女同学中各随机选1人，
其一切可能的结果组成的基本事件有
，共8个，
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，
事件“未被选中且被选中”所包含的基本事件有，共3个，
所以可得未被选中且被选中的概率为.
18. 如图，、、分别是三边、、上的点，且满足，设，．
（1）用、表示；
（2）已知点是的重心，用、表示．
解：（1）因为，，，
所以，，
所以.
（2）由已知，
连接，其中点为线段的中点，点为线段的中点，
由已知，与的交点为重心，
由重心性质可得，故，
所以，
又，
所以.
19. 已知函数.
（1）求函数的值域；
（2）是否存在常数，使得对于任意的，只要，就有.若存在，写出一个满足要求的实数的值，若不存在，请说明理由.
解：（1）因.
故的值域为.
（2）当时，记，则只要，
就有，则即可，
①当时，在上单调递增，
，
；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
，，
，
当时，有，
，
，解得，
时，，，
时，，，
则，
当时，，
，
即在上的值域为，所以无最大值，
综上所述，无最大值，不存在常数.参加志愿服务礼仪培训
未参加志愿服务礼仪培训
参加赛会应急救援培训
6
10
未参加赛会应急救援培训
6
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