辽宁省凌源市2024_2025学年高一数学上学期期末考试试卷含解析

这是一份辽宁省凌源市2024_2025学年高一数学上学期期末考试试卷含解析，共29页。试卷主要包含了 已知 ，则下列不等式成立的是， “ ”是“ ”的， 有一组样本数据等内容，欢迎下载使用。
本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2 答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题所给的四个选项中，有且只有
一项是符合题目要求的）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简集合 ，利用集合交集定义即可求.
【详解】因为 ，
且 ，
所以 .
故选：A
2. 已知 ，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】取 ，即可判断出选项 A，B 和 C 错误，选项 D，利用指数函数 的性质，即
可求解.
【详解】取 ，显然有 ，但 ， ， ，所以选项 A，B 和 C 错误，
对于选项 D，因为 在定义域上单调递减，又 ，所以 ，故选项 D 正确，
故选：D.
3. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】借助函数单调性，分别解两个不等式，再利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】因为函数 在定义域 上单调递增，所以由 得 ，
因为函数 在定义域 上单调递增，所以由 得 ，
若 成立，则 不一定成立，充分性不成立，
若 成立，则 一定成立，必要性成立，
即“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 有一组样本数据： ，则关于该组数据的数字特征中，数值最大的为（ ）
A. 分位数 B. 平均数 C. 极差 D. 众数
【答案】C
【解析】
【分析】通过计算各个数据，再比较大小即可得解.
【详解】在这组样本数据中： ，
第 分位数是： ，
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平均数是： ，
极差是： ，
众数是： ，
在以上四个数中，显然是极差 最大，
故选：C.
5. 从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数，则这 2 个数互质的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【详解】从 2 至 8 7 个整数中随机取 2 个不同的数，共有 种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有： ，共 7 种，
故所求概率 .
故选：D.
6. 已知 ，若 ，则 的大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性确定函数值的范围，从而比较函数值大小.
【详解】由于 ，
函数 在 上为减函数，所以 ，即 ；
函数 在 上为增函数，所以 ，即 ；
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函数 在 上为减函数，所以 ，即 ；
综上可得， .
故选：A.
7. 已知点 是函数 图象上两个不同的点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出已知两点的中点坐标及 的图象上纵坐标为 的点，结合函数图象即可得解.
【详解】如图所示，设 ， ， 的中点为 ，
点 在 的图象上，且 轴，则 ，
由图知点 在 的左侧，即 ，
故选：B
8. 设函数 ，对 有 成立，则实数 的取值
范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
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【分析】根据条件得到 在 上单调递增，再利用分段函数的单调性，列不等式组 ，即可
求解.
【详解】由题知 在 上单调递增，
所以 ，解得 ，
故选：A.
二､多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题所给的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 先后两次掷一个均匀的骰子，记事件 ：“两次掷出的点数之和是 11”，记事件 ：“第二次掷出的点数是偶
数”，记事件 ：“两次掷出的点数相同”，记事件 ：“至少出现一个奇数点”，则（ ）
A. 与 互斥 B. 与 对立
C. 与 独立 D. 与 对立
【答案】AC
【解析】
【分析】列出事件，利用互斥事件，对立事件和独立事件的定义判断.
【详解】解：因为 ，
，
，
，
所以 ，所以 与 互斥，故选项 A 正确；
，
所以 与 不互斥，故选项 B 错误；
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，所以 与 C 不互斥，故选项 D 错误；
，所以 ，
所以 与 独立，故选项 C 正确；
故选：AC
10. 设 是定义域为 的单调函数，对 ，则（ ）
A.
B.
C. 是减函数
D. 当 时，
【答案】ABD
【解析】
【 分 析 】 令 可 得 判 断 A， 令 可 得 ， 再 令 得
判断 B，结合单调性结合特例判断 C，根据函数单调递增即可比较大小判断 D.
【详解】 等式 中，
令 可得 ，解得 ，故 A 正确；
令 可得 ，解得 ，
因为函数 的定义域为 ，
令 可得 ，所以 ，
因此，函数 为奇函数，故 B 正确；
是定义域为 的单调函数，因为 ，
所以 是 上的增函数，故 C 错误；
由 C 可知 是 上的增函数，当 时， ，即 ，
所以 ，故 D 正确.
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故选：ABD.
11. 已知正实数 满足 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用整体代换结合基本不等式即可判断 A；利用基本不等式即可判断 BC；利用基本不等式结合指
数幂的运算性质即可判断 D.
【详解】对于 A， ，
当且仅当 ，即 ，
所以 ，故 A 正确；
对于 B，因为 ，所以 ，
当且仅当 时取等号，
所以 ，故 B 正确；
对于 C， ，
当且仅当 时取等号，所以 ，故 C 错误；
对于 D， ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，故 D 正确.
故选：ABD.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构
成积的因式的和转化成定值；
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（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是
所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
三､填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 求值： __________.
【答案】1
【解析】
【分析】根据指数幂和对数运算性质可得结果.
【详解】 .
故答案为：1.
13. 函数 有__________个零点
【答案】2
【解析】
【分析】令 等价于求函数 与 交点个数即可.
【详解】令 ，等价于 与 交点个数，
在同一坐标中作出 与 的图像：
所以 与 交点有 2 个.
故答案为：2.
14. 已知幂函数 经过点 ，函数 满足 ，则实数 取
值范围是__________.
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【答案】
【解析】
【分析】先证明函数 奇偶性和单调性，即可求解不等式.
【详解】设幂函数 经过点 得， ，所以 ，
即 ，故 ，
因为 ，且定义域为 ，
所以 是奇函数，
又由于 是 上的增函数， 是 上的减函数， 是 上的增函数，
所以 是 上的增函数，
再由 ，得 ，
所以 ，解得： ，
故答案为： .
四､解答题（本大题共 5 小题，共 77 分.解时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤）
15. 已知集合 .
（1）当 时，求 ；
（2）命题 ，命题 ，若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式化简集合 ，根据集合的基本运算可得结果.
（2）根据 可得 ，根据 是 的充分不必要条件可得 ⫋ ，利用集合间
的关系可求参数 的范围.
【小问 1 详解】
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∵ 等价于 ，∴ .
当 时， ，
∴ .
【小问 2 详解】
由（1）得，
由 得 或 .
∵ ，∴ ，
∴ .
∵ 是 的充分不必要条件，∴ ⫋ ，
∴ ，解得 或 ，
∴实数 的取值范围是 .
16. 已知二次函数 ，满足 .
（1）若 ，求 的解析式；
（2）若对 ，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将 代入 ，解出 ，结合 ，即可求出 ；
（2）将问题转化为恒成立问题，借助二次函数性质即可求.
【小问 1 详解】
因为 ，且
所以 ，
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整理得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，故 ，
所以 .
【小问 2 详解】
由于 ，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，
其图象的对称轴为 ，开口向下，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取到最大值 ，
所以 ，
所以 的取值范围为 .
17. 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾，可回收垃圾和其他垃圾三类，并
分别设置了相应的垃圾箱，为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500 名
学生参加测试，从中随机抽取了 100 名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成 7 组：
，并整理得到如下频率分布直方图：
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（1）从总体的 500 名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于 60 的概率；
（2）根据频率分布直方图估计中位数；
（3）学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生
的环保意识.首次活动从样本中问卷成绩低于 40 分的学生中随机抽取 2 人参加，已知样本中分数小于 40 的
5 名学生中，男生 3 人，女生 2 人，求抽取的 2 人中男女同学各 1 人的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图可知样本中分数高于 60 的频率为 .
（2）根据 上的频率可求中位数.
（3）利用列举法结合古典概型的概率公式可求概率.
【小问 1 详解】
根据频率分布直方图可知，样本中分数高于 60 的频率为
，
所以样本中分数高于 的概率为 ．
故从总体的 500 名学生中随机抽取一人，其分数高于 的概率估计为 ．
【小问 2 详解】
由频率分布直方图可得： 上的频率为 ，
而 上的频率为 ，故此两组的频率和为 ，
设中位数为 ，则 且 ，
故 即中位数为 .
【小问 3 详解】
设 3 名男生分别为 ，2 名女生分别为 ，则从这 5 名同学中选取 2 人的结果为：
共 10 种情况.
其中 2 人中男女同学各 1 人包含结果为：
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，共 6 种.
设事件 抽取的 2 人中男女同学各 1 人 ，则
所以，抽取的 2 人中男女同学各 1 人的概率是 .
18. 已知函数 .
（1）若函数 为奇函数，求 的值；
（2）若对 ，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得 ，再根据对数的运算性质即可得解；
（2）由题意可得 ，故只需 即可，利用函数的
单调性求出 即可得解.
【小问 1 详解】
，
因为函数 为奇函数，
所以 ，
即 ，即 ，
所以 ，所以 ，
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所以 ，解得 ；
此时 ，定义域为 ，满足题意，
故 .
【小问 2 详解】
，
由 ，得 ，
所以 ，
则 ，
故只需 即可，
令 ，则 ，
则 ，
令 ，
令 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
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所以函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 .
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， .
19. 定义： ，总有 ，称 为“完美嵌套”于 与 内，已知
.
（1）求函数 的零点；
（2）过点 的二次函数 “完美嵌套”于 与 内，
（i）求 的解析式；
（ii）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i） ；
（ii）
【解析】
【分析】（1）先利用已知求得 ，解方程 可得；
（2）（i）令 得 ，又 ，解得 ，结合
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恒成立求出 ，再验证即可得解；
（ii）分离参数，转化为求解函数的最小值问题，换元后利用基本不等式及不等式性质求得函数最小值，即
可得实数 的取值范围.
【小问 1 详解】
因为 ，
所以 ，
令 ，则 ，解得 ，
所以函数 的零点是 ；
【小问 2 详解】
（i）由题意 恒成立，令 得 ，
所以 ，由题意 ，所以两式联立得 ，
对于 恒成立，即 恒成立，
所以 ，即 ，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ；
此时对于 恒成立，即 恒成立，
即 恒成立，显然符合题意，所以 ，
所以 ；
（ii）当 时， 恒成立，即 恒成立，
又 ，所以 恒成立，
所以 ，记 ，令 ，
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则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 .
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