辽宁省辽阳市2025届高三一模[高考模拟]考试数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省辽阳市2025届高三一模[高考模拟]考试数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了 设集合，则， 已知向量，，， 已知，其中为实数，则等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以
故选：D.
2. 已知向量，，.若、、三点共线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为向量，，，
所以，，
因为、、三点共线，则，所以，，解得.
故选：C.
3. 在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在中，因为，，，
由余弦定理可得，
所以，，
因此，的面积为.
故选：A.
4. 已知，其中为实数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以，
所以，解得，
故选:B.
5. 如图，三棱柱的所有棱长都为，且，、、分别为、、的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】连接、，如下图所示：

因为、分别为、中点，所以，且，
因为且，所以，四边形为平行四边形，
所以，且，
因为为的中点，所以，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
故异面直线和所成角等于或其补角，
在菱形中，，，，
由余弦定理可得，
在中，，，，
由余弦定理可得，
在中，，，，所以，，故，
所以，.
因此，异面直线和所成角的余弦值为.
故选：D.
6 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，，，
且，则.
故选：A.
7. 设抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于、两点，记点到直线的距离为，且.若点的横坐标为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可得，
设点、，若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，联立，可得，
则，由韦达定理可得，
所以，，故，
所以，，整理可得，
即，因为，解得.
故选：C.
8. 已知球的半径为，则在球的内接圆锥中，体积最大的圆锥的底面半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如下图所示，设球的内接圆锥的底面半径为，
显然当球心在圆锥的内部时，圆锥的体积才会最大，
取圆锥的轴截面，取线段的中点，连接，则，且在线段上，
设，则，且，，
设圆锥的体积为，
则，
由可得，由可得，
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，函数时取最大值，此时，.
故选：A.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 为了丰富校园文化生活，展现学生的才艺风采，激发学生的艺术创造力和表现力，某校举行了“绽放青春，艺路有你”才艺大赛.甲、乙两位同学才艺表演结束后，6位评委对甲、乙进行打分（满分10分），得到如图所示的折线统计图，则（ ）
A. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数
B. 甲得分的众数大于乙得分的众数
C. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数
D. 甲得分的方差大于乙得分的方差
【答案】BCD
【解析】甲、乙的得分从小到大排列如下：
甲：，乙：，
甲得分的中位数为，乙得分的中位数为，甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故C正确；
甲得分的众数，乙得分的众数为，甲得分的众数大于乙得分的众数，故B正确；
甲得分的平均数，乙得分的平均数，所以甲得分的平均数等于乙得分的平均数，故A错误；
由图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正确.
故选：BCD
10. 已知函数的最大值与最小值的差为2，其图象与轴的交点坐标为，且图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，则（ ）
A.
B.
C.
D. 的单调递增区间为
【答案】ACD
【解析】，
因为的最大值与最小值的差为2，， ，解得，A选项正确；
因为函数图象相邻两条对称轴间的距离为 ，可得函数的最小正周期为 ，即，解得，B选项不正确；
又的图象与 轴的交点坐标为 ，可得 ，解得 ，C选项正确；
所以函数的解析式为， ，，所以的单调递增区间为，D选项正确.
故选:ACD.
11. 已知函数的定义域为，对任意，均满足，且，则（ ）
A. 函数为偶函数
B. 8是的一个周期
C. 的图象关于点对称
D.
【答案】CD
【解析】对于A，令，得，所以，
令，得，即，所以为偶函数，
所以，则为奇函数，故A错误；
对于B，令，，即，
所以周期为4，故B错误；
对于C，令，，
所以，所以关于对称，且，
又周期为4，所以，故C正确；
对于D，令，得，即，
令，，得，所以，
所以，
所以，故D正确；
故选：CD．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点，则双曲线的渐近线方程为__________，实轴长为__________.
【答案】①. ②.
【解析】由点在双曲线的一条渐近线上，可得，
则双曲线的渐近线方程为；
记坐标原点为，则，即．
因为，所以，，故实轴长为．
故答案为：；.
13. 某工人给排成一排的块地砖上色，可用颜色为固定的第号至第号，共种颜色，其中，.上色完毕后，若满足相邻两块地砖颜色不同，且只使用了第号至第号颜色（每种颜色至少使用一次，，），则称此方案为一种上色方案.当时，不同的上色方案共有__________种.
【答案】
【解析】不妨将块排成一排地砖从左至右依次记为、、、，
用种颜色给地砖上色，每种颜色至少使用一次，相邻地砖不能同色，所以一定有块地砖同色，
同色的情况有、、，共种，
所以，共有种不同的上色方案.
故答案为：.
14. 在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，记的轨迹为曲线，直线与交于两点，当取得最小值时，的值为__________.
【答案】
【解析】设，则由有，
即，则曲线是以圆心为，半径为的圆，
则圆心到直线的距离为，
则，当取最大值时，取得最小值，
所以，要使取最大值则，，
当取最小值时，取最大值，
所以当时，，
当时，等号成立，
所以，，
当时，取得最小值，
所以，
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知等比数列是递减数列，的前项和为，且、、成等差数列，，数列满足，，
（1）求和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
解：（1）设等比数列的公比为，由题意可得，则，
因为数列是等比数列，解得，所以，，
因为，所以，，
因为，则，所以， ，故.
（2）当为奇数时，，令，
则，
所以，，
两个等式作差可得
，
化简得；
当为偶数时，，
令，
则，
故.
16. 如图，在直三棱柱中，为的中点，.

（1）证明：平面.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：连接，
∵E为中点，为的中点，
∴，
∵平面，平面，
∴平面；

（2）解：以点C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量，
则，取，则，
设与平面所成角为，
则与平面所成角的正弦值为：
．
17. 已知函数，.
（1）求的单调区间；
（2）若的最大值为，证明：，.
解：（1）因为函数的定义域为，且，
由可得，由可得，
所以，函数的增区间为，减区间为.
（2）由（1）知，，解得，
要证，即证，即证，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，，即，
所以，，，即.
18. 亚冬会于年月日至月日举行.某体育局为普及亚冬会知识，组织了答题活动.设置一个抽题箱，箱中有若干装有题目的小球，小球的大小、颜色、质量都一样，每次答题抽取一个小球.每个小球内只有一道题目，每道题目只有一个分值，题目分值分别为分、分、分.已知分题目小球被抽到的概率为，分题目小球被抽到的概率为，分题目小球被抽到的概率为，且每次抽完会补充一个同分值小球到箱内.
（1）已知甲回答分、分、分题目正确的概率分别为、、，求甲抽取次，抽到种不同分值的题目，且累积得分不低于分的概率；
（2）若甲抽取次，记表示甲次抽取的题目分值之和，求的分布列和数学期望.
解：（1）若甲次答题累积得分不低于分，则甲抽取的个题目的分值可以是、、，
当甲抽取的个题目的分值是时，概率为，
要使得累积得分不低于分，则个题要全答对，所以，概率为；
当甲抽取的个题目的分值是时，概率为，
要使得累积得分不低于分，则个分题要答对，概率为；
当甲抽取的个题目的分值是时，概率为，
要使得累积得分不低于分，则个分题要答对，概率为.
故甲次答题累积得分不低于分的概率为.
（2）的所有可能取值为：、、、、、、，
，，
，
，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，.
19. 对于给定的椭圆，与之对应的另一个椭圆且，则称与互为共轭椭圆.已知椭圆与椭圆互为共轭椭圆，是椭圆的右顶点.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）不过点的直线与椭圆交于、，且直线与直线的斜率之积为.
①证明：直线过定点.
②试问在轴上是否存在点，使得直线、的斜率之积为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.
解：（1）由题意可得，解得，，
故椭圆的标准方程为.
（2）①设、，
联立可得，
则，可得，
由韦达定理可得，，
因为，，
所以，，
整理可得，即，解得或，
若，则直线的方程为，此时，直线过点，不合乎题意，
所以，，所以，直线的方程为，则直线过定点；
②由①可知，，，
设点，则，，
所以，
，
要使得直线、的斜率之积为定值，只需，解得，
当时，；
当时，.
故在轴上存在点，使得直线、的斜率之积为定值，
当点的坐标为时，直线、的斜率之积为定值；
当点的坐标为时，直线线、的斜率之积为定值.