三省三校（黑龙江省哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2022-2023学年高三下学期第一次联合模拟+数学 试题含答案

这是一份三省三校（黑龙江省哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2022-2023学年高三下学期第一次联合模拟+数学 试题含答案，共11页。试卷主要包含了若，则，函数，抛物线有如下光学性质等内容，欢迎下载使用。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1.已知集合，集合，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知i为虚数单位，复数满足，则复数对应的点在（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.已知向量非零、满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是（ ）
A.B.C.D.
4.杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家.著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等.
我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和.
；
.
若杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，15，…构成数列，则关于数列叙述正确的是（ ）
A.B.
C.数列的前项和为D.数列的前项和为
5.若，则（ ）
A.B.1C.D.
6.“阿基米德多面体”也称为半正多面体（），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知，则该半正多面体外接球的表面积为（ ）
A.B.C.D.
7.某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为9个区域（如图），现要在每个区域栽种一种不同颜色的花，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻（没有公共边）区域的概率为（ ）
A.B.C.D.
8.已知函数，若关于的方程有且仅有四个相异实根，则实数的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.函数（其中，，是常数，，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.的值域为
B.的最小正周期为
C.
D.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象
10.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点.下列说法正确的是（ ）
A.
B.若延长交直线于，则点在直线上
C.平分
D.抛物线在点处的切线分别与直线、所成角相等
11.已知实数，满足，下列结论中正确的是（ ）
A.B.
C.D.
12.已知异面直线与直线，所成角为60°，平面与平面所成的二面角为80°，直线与平面所成的角为15°，点为平面、外一定点，则下列结论正确的是（ ）
A.过点且与直线、所成角均为30°的直线有3条
B.过点且与平面、所成角都是30°的直线有4条
C.过点作与平面成55°角的直线，可以作无数条
D.过点作与平面成55°角，且与直线成60°的直线，可以作3条
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.的二项展开式中的系数是______.（用数字作答）
14.若为奇函数，则实数______.
15.已知圆，直线交圆于、两点，若的面积为2，则实数的值为______.
16.已知椭圆的左、右焦点分别为、，点、在椭圆上，满足，，若椭圆的离心率，则实数取值范围为______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17.（本小题满分10分）
在中，内角，，的对边分别为，，.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①；②；③.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
18.（本小题满分12分）
已知等差数列的首项，记的前项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列公差，令，求数列的前项和.
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若，，求二面角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月（30天）完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：
（1）由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数（每组数据取区间的中间值），且，若全校有3000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数（精确到1）；
（2）调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在的学生中有30名男生，天数在的学生中有20名男生.学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人”称号.请填写下面列联表
并依据小概率值的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联.如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响.
附：参考数据：；
；
.
21.（本小题满分12分）
已知双曲线过点，且渐近线方程为.
（1）求双曲线的方程；
（2）如图，过点的直线交双曲线于点、，直线、分别交直线于点、，求的值.
22.（本小题满分12分）
已知函数，为函数的导函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，为的极值点，证明：.
哈师大附中一模数学参考答案
第一部分：选择题
三、填空题：
13.6014.115.或116.
四、解答题
17.（本小题满分10分）
解：选①②作条件，③做结论
由②，得：
所以，，则，，所以，即：.
选①③作条件，②做结论
由③，得：，，则
所以，，，
所以.
选②③作条件，①做结论
由②，得：，所以，，
由③，得：，则，，即：.
18.（本小题满分12分）
解：（1）
则
所以，或.
（2）由（1）可得，，
所以，.
19.（本小题满分12分）
（1）证明：取的中点，连接，
平面，所以
平面平面
（2）由（1）得，建立如图所示空间直角坐标系
设，则，，
设平面的法向量，则，取，则，
所以，取平面的法向量，则
所以，二面角的正弦值为.
20.（本小题满分12分）
（1）则
所以，
所以3000人中锻炼超过21天人数约为476人.
（2）
（2）零假设为：学生性别与获得“运动达人”称号无关
依据的独立性检验，我们推断不成立，即：可以认为学生性别与获得“运动达人”称号有关；
而且此推断犯错误的概率不大于0.05.根据列联表中的数据计算男生、女生中活动天数超过15天的频率分别为：
和，可见男生中获得“运动达人”称号的频率是女生中获得“运动达人”的称号频率的倍，于是依据频率稳定与概率的原理，我们可以认为男生获得“运动达人”的概率大于女生，即：男生更容易获得运动达人称号.
21.（本小题满分12分）
（1）双曲线方程为：
（2）法一：①当直线与轴垂直时
，，
直线，令
同理，
②当直线不与轴垂直时
设，，直线代入到中得
∴
又∵直线，令
同理，∴
综上，∴
法二：设直线的方程为，，联立
所以，的方程：
同理：
所以，
22.（本小题满分12分）
（1）设，则
①当时，的增区间
②当时，的增区间；减区间；
（2）若有两个极值点，则有两个变号零点，
由（1）知
设，则，所以在上递减，又
所以，当时，，所以，即
设，则
令，
令，所以在递减，在递增，所以
∵且
∴在上存在唯一一个零点，即
所以只需证且
当时，∴∴
又∵∴∴
哈尔滨师大附中
东北师大附中
辽宁省实验中学
2023年高三第一次联合模拟考试
数学
天数
人数
4
15
33
31
11
6
性别
活动天数
合计
男生
女生
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
B
A
C
A
D
D
AB
BD
ABD
BC
性别
活动天数
合计
男生
20
30
50
女生
32
18
50
合计
52
48
100