东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2022届高三第一次联合模拟考试理科数学试题

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辽宁省实验中学
理科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
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3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z满足（1+i)2z=2-4i,则复数z=
A.-2+i B.-2-i C.1-2i D.2+i
2.已知集合M=|y|y=2x,x>1|,N={x|y=|,则M∪N等于
A.Ø B.{ 2} C.[1,+ ∞) D.[0,+ ∞)
3.下面是某城市某日在不同观测点对细颗粒物（PM2.5)的观测值：
396 275 268 225 168 166 176 173 188 168 141 157
若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25数据，下列数字特征没有改变的是
A.极差 B.中位数 C.众数 D.平均数
4.设m,n是两条不同的直线，α,β, γ是三个不同的平面，下列四个命题中正确的是
A.若m//α,n//α,则m//n B.若α⊥γ,β⊥γ,则α//β
C.若α//β,mα,n//β,则m//n D.若α//β,β//γ,m⊥α,则m⊥γ
5.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a6=10,S8=44,则S5=
A.3 B. C.5 D.
6.直线l:x+y+m=0与圆C:(x+1)2+(y-1)2=4交于A,B两点，若|AB|=2,则m的值为
A.± B.±2 C.± D.±2
7.已知a,b∈R,则“ab≠0”的一个必要条件是
A.a+b≠0 B.a2+b2≠0 C.a3+b3≠0 D. ≠0
8.已知a=,b=,c=60.1,则
A.b9.已知某个函数的图像如图所示，则下列解析式中与此图像最为符合的是
A.f(x)= B.f(x)=
C.f(x)= D.f(x)=
10.已知数列{an}满足对任意的正整数n,都有a1+a2+…+an-an+1=0,其中a1=3,则数列{an}的前2022项和是
A.3×22022-3 B.3×22021 C.3×22021 D.3×22021＋2
11.如图是一个简单几何体的三视图，若m+n=4,则该几何体外接球表面积的最小值为

A.4π B.12π C.20π D.24π
12.已知a>b>0,F1,F2是双曲线C1: =1的两个焦点，若点P为椭圆C2: =1上
的动点，当P为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2取最小值，则椭圆C2离心率的取值范围为
A.(0, ] B. [,1) C.(0.,] D.[ ,1)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知向量a=(-3,4), =2a,点A的坐标为（3,-4),则点B的坐标为 .
14.对称性是数学美的重要特征，是数学家追求的目标，也是数学发现与创造中的重要的美学因素。著名德国数学家和物理学家魏尔说：“美和对称紧密相连”，现用随机模拟的方法来估算对称蝴蝶（如图中阴影区域所示）的面积，做一个边长为2dm的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，已知恰有395个点落在阴影区域内，据此可估计图中对称蝴蝶的面积是 d㎡.
15.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A,B,与直线BC的距离相等，则在侧面ABB1A1上动点P的轨迹与棱AB,BB1所围成的图形面积是 .
16.已知函数f(x)=ax-|sinx|,x∈[0,2π),a∈R恰有3个零点x1,x2,x3,且x1①2x2=x1+x3;②ax2-sinx2=0;③2x3-(1+x32)sin2x3=0;④sinx2sinx3+x2x3cs2x3=0.其中正确结论的序号为 .（填写所有正确结论的序号）
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.(本小题满分12分）第七次全国人口普查数据显示，我国60岁及60岁以上人口已达2.64亿，
预计“十四五”期间这一数字将突破3亿，我国将从轻度老龄化进入中度老龄化阶段．为了调查某地区老年人生活幸福指数，某兴趣小组在该地区随机抽取40位老人（其中男性20人，女性
20人），进行幸福指数调查，规定幸福指数越高老年生活越幸福，幸福指数大于或等于50的老人为老年生活非常幸福，反之即为一般幸福。调查所得数据的茎叶图如下：
（1)依据上述样本数据的茎叶图，分析此样本中男性老人和女性老人相比哪个幸福指数相对更高，并说明理由（可以不计算说明）；
（2)请完成下列2×2列联表，并判断能否有90%的把握认为老年人幸福指数与性别有关？
附：其中n=a+b+c+d.
18.(本小题满分12分）在ΔABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a-bcsC=csinB,
角C的内角平分线与边AB交于点D.
（1)求角B的大小；
（2)记ΔBCD,ΔACD的面积分别为S1,S2,在①c=2,b=,②SΔABC=,b=,A>C这
两个条件中任选一个作为已知，求的值。
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
19.(本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1是矩形，AC⊥AB, AB=AA1=2,AC=3,∠A1AB=120°,E,F分别为棱A1B1,BC的中点，G为线段CF的中点。
（1)证明：A1G//平面AEF;
（2)求二面角A-EF-B的余弦值．
20.(本小题满分12分）已知椭圆C: =1,点P为椭圆C上非顶点的动点，点A1,A2分别为椭圆C的左、右顶点，过A1,A2分别作l1⊥PA1,l2⊥PA2,直线l1, l2相交于点G,连接OG(O为坐标原点），线段OG与椭圆C交于点Q.若直线OP,OQ的斜率分别为k1,k2.
（1)求的值；
（2)求ΔPOQ面积的最大值．
21.(本小题满分12分）已知函数f(x)=ex-k2lnx(其中e是自然对数的底数）．
（1)当k=1时，证明：f(x)>2;
（2)(i)当x∈[1,+ ∞)时，f(x)>kx恒成立，求正整数k的取值集合；
（ii)证明：en+1-1n(n!)> (n∈N*).
参考数据：1n2≈0.6931,1n3≈1.0986,1n5≈1.6094
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22.[选修4-4:坐标系与参数方程］
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点为极点，
x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=4sinθ-4csθ.
（1)分别写出C1的普通方程与C2的直角坐标方程；
（2)将曲线C1绕点P(1,2)按逆时针方向旋转90°得到曲线C3,若曲线C3与曲线C2交于A,B两点，求|PA|+|PB|的值。
23.[选修4-5:不等式选讲］
已知函数f(x)=|x-2|+|x+1|.
（1)求不等式f(x)≤4的解集；
（2)若函数f(x)最小值为m,已知a>0,b>0,c>0, =m,求a+2bc的最小值.