东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2023-2024学年高三下学期第四次联合模拟考试数学试卷

这是一份东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2023-2024学年高三下学期第四次联合模拟考试数学试卷，共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知，x，y∈R，则x+y＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（5分）若，是夹角为60°的两个单位向量，与垂直（ ）
A．0B．2C．﹣1D．﹣2
3．（5分）某种酸奶每罐净重X（单位：g）服从正态分布N（184，2.52）．随机抽取1罐，其净重在179g与186.5g之间的概率为（ ）
（注：若X～N（μ，σ2），P（|X﹣μ|＜σ）＝0.6827，P（|X﹣μ|＜2σ）＝0.9545，P（|X﹣μ|＜3σ）
A．0.8186B．0.84135C．0.9545D．0.6827
4．（5分）等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1＝2，a3+a7＝8，则S17＝（ ）
A．51B．102C．119D．238
5．（5分）过点P（a，b）作圆x2+y2＝1的切线PA，A为切点，|PA|＝1（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左1，F2，点P在双曲线的右支上，I为△PF1F2的内心，记△PF1I，△PF2I，△IF1F2的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1＝S2+，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．2D．3
7．（5分）某高中2023年的高考考生人数是2022年高考考生人数的1.5倍．为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2022年和2023年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图：
下列结论正确的是（ ）
A．该校2023年与2022年的本科达线人数比为6：5
B．该校2023年与2022年的专科达线人数比为6：7
C．2023年该校本科达线人数比2022年该校本科达线人数增加了80%
D．2023年该校不上线的人数有所减少
8．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知M，N，P分别是棱C1D1，AA1，BC的中点，Q为平面PMN上的动点，且直线QB1与直线DB1的夹角为30°，则点Q的轨迹长度为（ ）
A．B．πC．2πD．3π
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
（多选）9．（6分）已知△ABC，内角A，B，C分别对应边a，b（ ）
A．若sin2A+sin2B+cs2C＜1，则△ABC为钝角三角形
B．若AB＝3，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为
C．在锐角△ABC中，不等式sinA＞csB恒成立
D．若，，且△ABC有两解，则b的取值范围是
（多选）10．（6分）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的极值点为
B．f（x）的极值点为1
C．直线是曲线y＝f（x）的一条切线
D．f（x）有两个零点
（多选）11．（6分）已知f（x）和g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数（1+x）+g（1﹣x）＝1（ ）
A．4为f（x）的一个周期
B．8为g（x）的一个周期
C．g（2024）＝0
D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（5分）已知，则＝ ．
13．（5分）命题任意“x∈[1，3]，a≤2x+2﹣x”为假命题，则实数a的取值范围是 ．
14．（5分）已知数列{an}满足，则＝ ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝21＝1．E为B1C1的中点．
（1）求直线A1D与直线AE所成角的余弦值；
（2）求点D1到直线AE的距离．
16．（15分）如图，在平面内，四边形ABCD满足B，AB＝1，BC＝2，设∠ABC＝α．
（Ⅰ）当时，求AC；
（Ⅱ）当α变化时，求四边形ABCD面积的最大值．
17．（15分）如图，已知椭圆和抛物线，C2的焦点F是C1的上顶点，过F的直线交C2于M、N两点，连接NO、MO并延长之，分别交C1于A、B两点，连接AB，设△OMN、△OAB的面积分别为S△OMN、S△OAB．
（1）求p的值；
（2）求的值；
（3）求的取值范围．
18．（17分）2023年杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，亚洲45个国家和地区的奥委会代表参会．某校想趁此机会带动学生的锻炼热情，准备开设羽毛球兴趣班，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜欢羽毛球运动，得到了如图所示的等高堆积条形图．
（1）根据等高堆积条形图，填写下列2×2列联表，并依据α＝0.010的独立性检验；
（2）已知该校男生与女生人数相同，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取30名学生，求P（X＝k）取得最大值时的k（k∈N*）值．
附：
参考公式：
，其中n＝a+b+c+d．
19．（17分）已知f（x）＝aexlnx，g（x）＝x2+xlna．
（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）在x＝1处切线方程；
（Ⅱ）若f（x）＜g（x）在x∈（0，1），求a的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
2024年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学四模试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知，x，y∈R，则x+y＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据条件得出x+yi＝（1+i）（2﹣i），再根据复数的乘法运算可得出x+yi＝3+i，然后即可求出x+y的值．
【解答】解：∵，
∴x+yi＝（3+i）（2﹣i）＝3+i，
∴x＝5，y＝1，
∴x+y＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的乘法运算，是基础题．
2．（5分）若，是夹角为60°的两个单位向量，与垂直（ ）
A．0B．2C．﹣1D．﹣2
【分析】结合向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：，是夹角为60°的两个单位向量，
则，，
与垂直，
则＝，即，解得λ＝0．
故选：A．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
3．（5分）某种酸奶每罐净重X（单位：g）服从正态分布N（184，2.52）．随机抽取1罐，其净重在179g与186.5g之间的概率为（ ）
（注：若X～N（μ，σ2），P（|X﹣μ|＜σ）＝0.6827，P（|X﹣μ|＜2σ）＝0.9545，P（|X﹣μ|＜3σ）
A．0.8186B．0.84135C．0.9545D．0.6827
【分析】根据正态分布的对称性，以及μ＝184，σ＝2.5，即可求得净重在179g 与186.5g之间的概率．
【解答】解：由题意可知，μ＝184，可得179＝μ﹣2σ，
净重在179g与186.5g之间的概率为P（179＜X＜186.4）＝P（μ﹣2σ＜X＜μ+σ），
由正态分布的对称性可知，
P（μ﹣2σ＜X＜μ+σ）＝
＝5.6827+＝0.8186，
所以净重在179g与186.7g之间的概率为P（179＜X＜186.5）＝0.8186．
故选：A．
【点评】本题考查正态分布的性质，属于基础题．
4．（5分）等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1＝2，a3+a7＝8，则S17＝（ ）
A．51B．102C．119D．238
【分析】结合等差数列的性质先求出公差d，然后结合等差数列的求和公式即可求解．
【解答】解：等差数列{an}中，a1＝2，a2+a7＝2a4＝8，即a5＝8，
所以d＝＝，
则S17＝17×2+＝102．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．
5．（5分）过点P（a，b）作圆x2+y2＝1的切线PA，A为切点，|PA|＝1（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据圆的切线的性质得出PA⊥OA，结合勾股定理可得|PO|2＝|PA|2+|OA|2＝2，即a2+b2＝2，然后设a+3b＝t，将a2+b2＝2化为关于b的一元二次方程，利用根的判别式大于等于0，求出t的最大值，可得答案．
【解答】解：根据题意，圆x2+y2＝7的圆心为O（0，0）．
若PA与圆O相切于点A，则PA⊥OA3＝|PA|2+|OA|2＝4，即a2+b2＝7，
设a+3b＝t，则a＝t﹣3b2+b2＝2，整理得10b6﹣6tb+t2﹣6＝0，
关于b的一元二次方程有实数解，所以Δ＝36t2﹣40（t5﹣2）≥0，解得．
当，时，t有最大值．
故选：C．
【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系、一元二次方程根的判别式及其应用，属于中档题．
6．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左1，F2，点P在双曲线的右支上，I为△PF1F2的内心，记△PF1I，△PF2I，△IF1F2的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1＝S2+，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．2D．3
【分析】根据双曲线的几何性质，内切圆的性质，方程思想，即可求解．
【解答】解：设△PF1F2的内切圆半径为r，
则S2＝|PF3|r，S2＝|PF2|r，S3＝|F1F7|r＝cr，
∴＝ar，
又S1＝S2+，∴S1﹣S5＝，
∴ar＝cr，∴e＝3，
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，内切圆的性质，方程思想，属基础题．
7．（5分）某高中2023年的高考考生人数是2022年高考考生人数的1.5倍．为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2022年和2023年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图：
下列结论正确的是（ ）
A．该校2023年与2022年的本科达线人数比为6：5
B．该校2023年与2022年的专科达线人数比为6：7
C．2023年该校本科达线人数比2022年该校本科达线人数增加了80%
D．2023年该校不上线的人数有所减少
【分析】设2022年的高考人数为100，则2023年的高考人数为150，再根据饼图中各个种类的人数所占的比例，逐个选项判断即可．
【解答】解：不妨设2022年的高考人数为100，则2023年的高考人数为150，
2022年本科达线人数为50，
2023年本科达线人数为90，
∴2023年与2022年的本科达线人数比为9：5，
本科达线人数增加了80%，故A错误；
2022年专科达线人数为35，2023年专科达线人数为45，
∴2023年与2022年的专科达线人数比为3：7，故B错误；
2022年不上线人数为15，2023年不上线人数也是15，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查饼图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知M，N，P分别是棱C1D1，AA1，BC的中点，Q为平面PMN上的动点，且直线QB1与直线DB1的夹角为30°，则点Q的轨迹长度为（ ）
A．B．πC．2πD．3π
【分析】可得DB1⊥平面PMN，可得点Q的轨迹为圆，由此即可得．
【解答】解：以D为坐标原点，DA，DD1所在直线分别为x、y、z轴，
建立空间直角坐标系，P（1，7，M（0，1，
N（3，0，1），8，0），B1（6，2，2），
故，，
，设平面PMN的法向量为，
则，
令z＝1得，x＝y＝4，故，
因为，故DB7⊥平面PMN，
Q为平面PMN上的动点，直线QB1与直线DB1的夹角为30°，
DB7⊥平面PMN，设垂足为S，为半径作圆，
即为点Q的轨迹，其中，，故半径．
故选：C．
【点评】本题考查立体中的轨迹问题，属于中档题．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
（多选）9．（6分）已知△ABC，内角A，B，C分别对应边a，b（ ）
A．若sin2A+sin2B+cs2C＜1，则△ABC为钝角三角形
B．若AB＝3，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为
C．在锐角△ABC中，不等式sinA＞csB恒成立
D．若，，且△ABC有两解，则b的取值范围是
【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断AB，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断C，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断D．
【解答】解：选项A：△ABC中，若sin2A+sin2B+cs4C＝sin2A+sin2B+4﹣sin2C＜1，
即sin7A+sin2B﹣sin2C＜4，所以由正弦定理得a2+b2﹣c2＜0，
又由余弦定理得，所以，A说法正确；
选项B：△ABC中，若，则由正弦定理得，
所以C＝60°或120°，所以∠A＝90°或∠A＝30°或，B说法错误；
选项C：因为△ABC是锐角三角形，所以，
又，所以，则，
又因为y＝sinx在单调递增，C说法正确；
选项D：如图所示，
若△ABC有两解，则asinB＜b＜a，D说法正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
（多选）10．（6分）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的极值点为
B．f（x）的极值点为1
C．直线是曲线y＝f（x）的一条切线
D．f（x）有两个零点
【分析】利用导数与函数的极值的关系可判断AB；结合函数的单调性与函数零点的知识可判断D；利用导数的几何意义求得f（x）在x＝2处的切线方程，从而得以判断．
【解答】解：因为，所以，
令f′（x）＜0，得x＜5，得x＞1，
所以f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，+∞）上单调递增，
所以f（x）在x＝7处取得唯一极小值，也是f（x）的最小值，
所以f（x）的极值点为x＝1，故A错误；
因为，
所以f（x）在x＝3处的切线方程为，
即，故C正确．
因为，结合f（x）在（﹣∞，
可知x＝0是f（x）在（﹣∞，1）上的唯一零点；
当x＞6时，ex＞0恒成立，故恒成立，
所以f（x）在（8，+∞）上没有零点；
综上：f（x）只有一个零点，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值和切线方程，属于难题．
（多选）11．（6分）已知f（x）和g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数（1+x）+g（1﹣x）＝1（ ）
A．4为f（x）的一个周期
B．8为g（x）的一个周期
C．g（2024）＝0
D．
【分析】由题意可得f（x+2）﹣g（x）＝1，用﹣x替换f（1+x）+g（1﹣x）＝1中的x，得f（2﹣x）+g（x）＝1，于是可得f（x+2）+f（2﹣x）＝2，进而可得f（x）为周期函数，8为最小正周期，即可判断A；
用x+8替换且f（1+x）+g（1﹣x）＝1的x，即可判断B；
根据B及g（0）＝0即可判断C；
由f（x+2）+f（2﹣x）＝2，可得f（x）+f（x+4）＝2，f（2）+f（6）+f（10）+f（14）+…+f（8090）+f（8094）＝2024．即可判断D．
【解答】解：因为f（x）和g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
所以f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），
又因为f（1+x）+g（1﹣x）＝2，
所以f（2+x）+g（﹣x）＝1，
即f（x+3）﹣g（x）＝1，①
用﹣x替换f（1+x）+g（6﹣x）＝1中的x，
得f（1﹣x）+g（4+x）＝1，
即f（2﹣x）+g（x）＝8，②
由①+②，
得f（x+2）+f（2﹣x）＝4，
所以函数y＝f（x）关于（2，1）中心对称，
由f（x+5）+f（2﹣x）＝2，
可得f（x+6）+f（﹣x）＝2，
f（x+4）＝6﹣f（﹣x）＝2﹣f（x），
所以f（x+8）＝6﹣f（x+4）＝2﹣[4﹣f（x）]＝f（x），
所以f（x）为周期函数，8为最小正周期；
用x+8替换且f（4+x）+g（1﹣x）＝1的x，
得f（8+x+8）+g[1﹣（x+3）]＝1，
又因为f（1+x+4）＝f（1+x），
所以g（1﹣x）＝g[6﹣（x+8）]＝g[（1﹣x）+4]，
所以g（x+8）＝g（x），
所以g（x）为周期函数，8为最小正周期；
所以g（2024）＝g（253×2+0）＝g（0）＝0，故C正确；
又因为f（x+4）+f（﹣x）＝2，
即f（x）+f（x+4）＝2，
令x＝2，则有f（2）+f（6）＝2，
令x＝10，则有f（10）+f（14）＝7，
……
令x＝8090，则有f（8090）+f（8094）＝2，
所以f（2）+f（6）+f（10）+f（14）+…+f（8090）+f（8094）＝＝2024．
所以[f（3n﹣2）]＝f（2）+f（6）+f（10）+f（14）+…+f（8090）+f（8094）＝2024．
故选：BCD．
【点评】本题考查了判断抽象函数的对称性、周期性，属于中档题．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（5分）已知，则＝ ．
【分析】利用诱导公式及二倍角的余弦可求得答案．
【解答】解：，则＝sin[（2α+]＝cs（2α+＝1﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数的运用，属于基础题．
13．（5分）命题任意“x∈[1，3]，a≤2x+2﹣x”为假命题，则实数a的取值范围是 {a|a} ．
【分析】由已知结合含有量词的命题的真假关系即可求解．
【解答】解：若命题任意“x∈[1，3]x+3﹣x”为假命题，
则命题存x∈[1，3]x+8﹣x为真命题，
因为1≤x≤3时，8≤2x≤8，
令t＝7x，则2≤t≤8，
则y＝t+在[2，
所以，
所以a．
故答案为：{a|a}．
【点评】本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，属于基础题．
14．（5分）已知数列{an}满足，则＝ 2 ．
【分析】根据递推公式推导出a2n+2+2（n+1）＝2a2n+4n，即可得解．
【解答】解：由数列{an}满足a1＝1，an+7＝，
可得a2n+2＝a（2n+7）+1＝a2n+5+（2n+1）﹣2＝a2n+1+2n﹣2，
又由a2n+3＝2a2n，
所以a2n+2＝a（2n+7）+1＝2a7n+2n﹣2，
因为bn＝a4n+2n，可得bn+1＝a3n+2+2（n+8）＝2a2n+2n，
所以．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了数列的递推关系在数列项的求解中的应用，属于中档题．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝21＝1．E为B1C1的中点．
（1）求直线A1D与直线AE所成角的余弦值；
（2）求点D1到直线AE的距离．
【分析】（1）取CC1中点F，连接EF，AF，由长方体的性质得A1D∥EF，∠AEF（或其补角）即为A1D与AE所成角，利用余弦定理能求出结果．
（2）连接AD1，ED1，利用余弦定理求出cs∠D1AE，再由同角三角函数关系式求出sin∠D1AE，由此能求出点D1到直线AE的距离．
【解答】解：（1）取CC1中点F，连接EF，如图，
由长方体的性质得A1D∥EF，
∴∠AEF（或其补角）即为A7D与AE所成角，
在△AEF中，AE＝，EF＝＝＝，
由余弦定理得cs∠AEF＝＝＝﹣，
∴所求角的余弦值为．
（2）连接AD1，ED7，在△AD1E中，AD1＝，ED7＝＝，AE＝3，
∴cs∠D1AE＝＝＝，
∴sin∠D1AE＝，
∴点D1到直线AE的距离为AD1×sin∠D5AE＝×＝．
【点评】本题考查余弦定理、同角三角函数关系式、点到直线AE的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
16．（15分）如图，在平面内，四边形ABCD满足B，AB＝1，BC＝2，设∠ABC＝α．
（Ⅰ）当时，求AC；
（Ⅱ）当α变化时，求四边形ABCD面积的最大值．
【分析】（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理可得AC的值；
（2Ⅱ由余弦定理可得AC2的表达式，进而求出正三角形ACD的面积的表达式，进而求出四边形ABCD的面积的表达式，由辅助角公式及α的范围，可得四边形面积的范围．
【解答】解：（Ⅰ）AB＝1，BC＝2，
由余弦定理可得：AC＝＝＝；
（Ⅱ）由余弦定理可得AC7＝AB2+BC2﹣7AB•BCcsα＝1+4﹣2×1×2csα＝7﹣4csα，
因为△ACD为正三角形，所以S△ACD＝AC2＝﹣csα，
S△ABC＝AB•BCsinα＝，
所以S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝sinα﹣csα+）+，
因为α∈（3，π）∈（﹣，），
所以sin（α﹣）∈（﹣，
所以S四边形ABCD∈（，2+]．
故四边形ABCD面积的最大值为2+．
【点评】本题考查余弦定理及辅助角公式的应用，属于中档题．
17．（15分）如图，已知椭圆和抛物线，C2的焦点F是C1的上顶点，过F的直线交C2于M、N两点，连接NO、MO并延长之，分别交C1于A、B两点，连接AB，设△OMN、△OAB的面积分别为S△OMN、S△OAB．
（1）求p的值；
（2）求的值；
（3）求的取值范围．
【分析】（1）根据题意即可求出p的值．
（2）设直线MN的方程为y＝kx+1，点M（x1，y1）、N（x2，y2），联立直线与抛物线，即可得出的值．
（3）联立直线与椭圆方程，根据点所在象限和均值不等式，即可得出答案．
【解答】解：（1）抛物线C2的焦点为F（0，2）．
（2）若直线MN与y轴重合，则该直线与抛物线C2只有一个公共点，不合乎题意，
所以，直线MN的斜率存在，点M（x1，y6）、N（x2，y2），
联立，可得x2﹣4kx﹣4＝2，
Δ＝16k2+16＞0恒成立，则x8x2＝﹣4，
．
（3）设直线NO、MO的斜率分别为k8、k2，其中k1＞5，k2＜0，
联立，可得，
点A在第三象限，则，
点B在第四象限，同理可得，
且，
＝
，
当且仅当时，等号成立．
∴的取值范围为[2．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题．
18．（17分）2023年杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，亚洲45个国家和地区的奥委会代表参会．某校想趁此机会带动学生的锻炼热情，准备开设羽毛球兴趣班，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜欢羽毛球运动，得到了如图所示的等高堆积条形图．
（1）根据等高堆积条形图，填写下列2×2列联表，并依据α＝0.010的独立性检验；
（2）已知该校男生与女生人数相同，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取30名学生，求P（X＝k）取得最大值时的k（k∈N*）值．
附：
参考公式：
，其中n＝a+b+c+d．
【分析】（1）根据等高堆积条形图，填写2×2列联表，利用公式求χ2，与临界值对比后下结论；
（2）依题意，随机变量，则，由不等式组，求P（X＝k）取得最大值时k的值．
【解答】解：（1）由题意，根据等高堆积条形图
零假设为H0：该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动没有关联，
，
∴依据小概率值α＝0.010的独立性检验，
我们推断H0不成立，即能认为该校学生喜欢羽毛球运动与性别有关联；
（2）由列联表可知，该校学生喜欢羽毛球运动的频率为，
∴随机变量，
∴，
要使P（X＝k）取得最大值，则需，
解得，
∵k∈N*，∴当k＝20时，P（X＝k）取得最大值．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，考查了二项分布的概率公式，属于中档题．
19．（17分）已知f（x）＝aexlnx，g（x）＝x2+xlna．
（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）在x＝1处切线方程；
（Ⅱ）若f（x）＜g（x）在x∈（0，1），求a的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
【分析】（I）根据导数的几何意义即可求切线方程；
（II）当f（x）＜g（x）时，＜，构造函数F（x）＝，利用函数的单调性，分类讨论即可；
（III）由（II）可知当a＝时，由f（x）＜g（x），可得lnx＜进一步可得ln＞e，累加可证得不等式．
【解答】解：（I）当x＝1时，f（x）＝exlnx，f'（x）＝ex（lnx+），
f'（1）＝e，f（1）＝8，
∴f（x）在x＝1处的切线方程为y＝e（x﹣1）；
（II）当f（x）＜g（x）时，aexlnx﹣x4﹣xlna＜0，
即aexlnx＜x2+xlna⇔ex+lnalnx＜x（x+lna）⇔＜，x∈（3，
令F（x）＝，F'（x）＝，
∴F（x）在（7，e）上单调递增，+∞）上单调递减，
①0＜aex＜1时，⇒，即＜a＜，
②aex≥6时，F（aex）＞0，F（x）＜0（x∈（7，即a≥，
综上，由①②得，
令G（x）＝，x∈（0，
G'（x）＝＞0，1）上单调递增，
故a≥；
（III）证明：由（II）可知当a＝时，f（x）＜g（x），即exlnx＜x6﹣x，∴lnx＜，
故ln＜＝﹣e，
∵ln＞e，
∴e+e+e+……+e+ln＝ln（n+6）．
【点评】本题考查导数的综合应用，属于难题．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/17 15:14:55；用户：15290311958；邮箱：15290311958；学号：48861359性别
是否喜欢羽毛球运动
合计
是
否
男生
女生
合计
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
是否喜欢羽毛球运动
合计
是
否
男生
女生
合计
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
是否喜欢羽毛球运动
合计
是
否
男生
75
25
100
女生
55
45
100
合计
130
70
200