河北省省级联考2025年高考数学模拟试卷（含解析）

这是一份河北省省级联考2025年高考数学模拟试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合M={−1,0,a−1}，N={a+1,−2}，若M∩N=N，则a=( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
2.“2a>2b−1”是“a>b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知向量m=(1,−2)，n=(4,1)，则向量n在向量m上的投影向量为( )
A. (15,−25)B. (25,−45)C. (−15,25)D. (−25,45)
4.已知{an}是等差数列，a1+a3=a6，a3与a5是方程x2−12x+m=0的两根，则{an}的前n项和为( )
A. 12n(n+3)B. 12n(n+4)C. 12n(n+5)D. 12n(n+6)
5.已知α,β∈(0,π2),1tanα+1tanβ=1sinα，则( )
A. 2β+α=πB. 2α+β=πC. 2β−α=π2D. 2α−β=π2
6.已知函数f(x)=4−2x,x≤11+lga(x+1),x>1，若f(x)的值域为[2,+∞)，则实数a的取值范围是( )
A. (1, 2]B. ( 2,2]C. (1,32]D. (32,2]
7.如图所示，圆锥的内接圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则该圆锥体积的最小值为( )
A. 4π
B. 92π
C. 5π
D. 112π
8.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F的直线与双曲线右支交于A，B两点，弦AB的垂直平分线交x轴于点P，若|AB|=|PF|，则该双曲线的离心率=( )
A. 2B. 3C. 2D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数zn=i+2i2+⋯+nin,n∈N*，则( )
A. z3的虚部是−2B. |z3|=|z4|C. z6z−6=5D. z6z−2=−1−2i
10.已知函数f(x)=x2+ax+blnx，当x>0时，f′(x)(x2−3x+2)≥0恒成立，则( )
A. f(x)在(b+ab,+∞)上单调递增B. f(x)有极大值−5
C. f(x)的极小值点为(2,−8+4ln2)D. f(x)只有一个零点
11.甲、乙两名乒乓球选手进行乒乓球比赛，据以往的经验统计，甲每局获胜的概率为23，乙每局获胜的概率是13.比赛规则是前两局都赢者获得比赛胜利，若前两局是1：1，前两局包含在内且先赢三局者获得比赛的胜利(比赛无平局)，则( )
A. 甲获胜的概率为188243
B. 两人比赛4局结束的概率为2081
C. 在第三局甲赢的条件下乙赢得胜利的概率是881
D. 在乙获胜的条件下乙赢得第二局胜利的概率为4155
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l：y=k(x−2)与圆C：(x−3)2+y2=4交于A，B两点，过A，B分别作圆C的切线，则这两条切线夹角的取值范围是______．
13.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x−y)=f(x)f(y)+f(π4−x)f(π4−y)，且f(0)=1，试写出一个满足上述条件的f(x)的解析式：______．
14.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A，B两点，若以AF，BF为直径的圆分别与y轴切于点M，N，且|MN|=2 3，则p= ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=7，A=60°．
(1)若2c−b=2，求sinC；
(2)若BC边上的高h=12 37，求△ABC的周长．
16.(本小题12分)
如图，在体积为14的四棱台ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AB=2A1B1=4，∠ABC=120°，O，O1分别是四边形ABCD和四边形A1B1C1D1对角线的交点，且OO1⊥平面ABCD．
(1)证明：CC1⊥平面BDC1；
(2)求平面DB1C1与平面OB1C1夹角的余弦值．
17.(本小题12分)
如图，点H是直线x=−9上的动点，以H为圆心的圆H过点A(−1,0)，直线l是圆H在点A处的切线，过B(1,0)作圆H的两条切线分别与l交于点P，Q．
(1)求|PA|+|PB|的值；
(2)设点P的轨迹为曲线Γ，G(−3,0)，直线l交曲线Γ于M，N两点，且直线MG，NG与直线x=−9交于E，F两点，证明：点A在以EF为直径的圆上．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=ln(x+1)−axx+2．
(1)当a=2时，解关于x的不等式f(x)≥0；
(2)当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(3)对任意x≥0，n≥2，n∈N，证明：ln(x+1)+x2x+2≥(n+1)sinxn+csx．
19.(本小题12分)
形如A1x1+A2x2+⋯+Anxn=B的方程叫不定方程，其中Ai(i=1,2,⋯,n)是方程中未知数xi(i=1,2,⋯,n)的系数，B是常数，则称n元有序数组(x1,x2,⋯,xn)为不定方程的解.给出不定方程E：x1+x2+x3+x4+x5+x6=2025，对于方程E的一组正整数解(x1,x2,⋯,x6)，当1≤i，j≤6(i,j∈N)时，若max|xi−xj|=k(k∈N)，则称正整数解(x1,x2,⋯,x6)为方程E的k−极值的一组解．
(1)方程E中有多少组1−极值的解；
(2)求S=i=16xi2的最小值；
(3)在k≤3的前提下，求k=2时方程E的k−极值的概率．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为M∩N=N，则N⊆M，
集合M={−1,0,a−1}，
−2∈M，则−2=a−1，解得a=−1，
经检验，a=−1符合题意．
故选：A．
分析可知N⊆M，结合集合M，N的元素特征运算求解即可．
本题主要考查交集的运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：a>b时，2a>2b，且2b>2b−1，所以2a>2b−1，必要性成立；
2a>2b−1时，a>b不一定成立，如：a=12，b=1时，2a>2b−1成立，但a2b−1”是“a>b”的必要不充分条件．
故选：B．
由指数函数单调性可判断必要性，由特殊值可判断充分性．
本题考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：向量m=(1,−2)，n=(4,1)，
则向量n在向量m上的投影向量p=m⋅n|m|m|m|=(25,−45)．
故选：B．
根据投影向量的公式计算直接得出答案．
本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，
∵a1+a3=a6，a1+a3=2a2，
∴2a2=a6，
又∵a3，a5是方程x2−12x+m=0的两个实数根，
∴a3+a5=12=a2+a6，
∴a2=4，a6=8，
∴d=1，an=a2+(n−2)d=n+2，
∴a1=3，Sn=12n(a1+an)=12n(n+5)．
故选：C．
由题意，根据由根与系数的关系得a3+a5=12，再结合等差数列的性可质求出a2=4，a6=8，进而得到d=1，an=n+2，a1=3，代入等差数列前n项和公式即可得到答案．
本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式，涉及一元二次方程根与系数的关系，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由于α,β∈(0,π2),1tanα+1tanβ=1sinα，即csβsinβ=1−csαsinα，
∴csβsinα=sinβ−sinβcsα，
即sin(α+β)=sinβ，
∵α,β∈(0,π2)，
∴α+β=π−β，即2β+α=π．
故选：A．
利用同角三角函数的关系及两角和差正弦公式化简可得结果．
本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，三角函数的诱导公式，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：设h(x)=1+lga(x+1)(x>1)，g(x)=4−2x(x≤1)的值域分别为M、N，
当x≤1时，由01且h(x)∈(1+lga2,+∞)，
所以2≤1+lga20)的右焦点F(c,0)，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，弦AB的中点为M(x0,y0)，离心率为e=ca，
则|AF|= (x1−c)2+y12= x12−2cx1+c2+b2a2x12−b2=|ex1−a|，同理|BF|=|ex2−a|．
由x12a2−y12b2=1，x22a2−y22b2=1，两式相减整理得kAB=y1−y2x1−x2=b2(x1+x2)a2(y1+y2)=b2x0a2y0，
∴弦AB的垂直平分线方程为y−y0=−a2y0b2x0(x−x0)，
令y=0，得x=e2x0，则P(e2x0,0)，此时P在F的右侧，∵x0>c，∴ex0−a>0，
∴|PF|=e2x0−c=e(ex0−a)，|AB|=|AF|+|BF|=ex1−a+ex2−a=2(ex0−a)，
由|AB|=|PF|，得2(ex0−a)=e(ex0−a)，∴e=2．
故选：C．
根据双曲线中点弦的性质，可得kAB=b2x0a2y0，进而可得弦AB的垂直平分线方程，求得P(e2x0,0)，进而可得|PF|=e(ex0−a)，|AB|=2(ex0−a)，根据|AB|=|PF|，可得离心率．
本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，离心率的求法，是中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：由zn=i+2i2+⋯+nin,n∈N*，
得z3=i+2i2+3i3=−2−2i，其虚部是−2，故A正确；
z4=i+2i2+3i3+4i4=2−2i，则|z3|=|z4|=2 2，故B正确；
z6=i+2i2+3i3+4i4+5i5+6i6=−4+3i,z6z−6=|z6|2=25，故C错误；
z6z2−=−4+3i−2−i=(−4+3i)(−2+i)(−2−i)(−2+i)=1−2i，故D错误．
故选：AB．
由复数的概念及四则运算逐个判断即可．
本题考查复数的乘法运算，考查复数模的求法，是基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：根据题目：已知函数f(x)=x2+ax+blnx，当x>0时，f′(x)(x2−3x+2)≥0恒成立，
f′(x)=2x+a+bx=2x2+ax+bx，∵f′(x)(x2−3x+2)≥0恒成立，
∴f′(x)=0与x2−3x+2=0有相同的根，即2x2+ax+b=0的两个实数根为1，2，
∴−a2=3，b2=2，即a=−6，b=4.∴f(x)=x2−6x+4lnx，
由f′(x)>0得00，函数f(x)单调递增，当x∈(1,2)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，
∴f(x)在x=1处取得极大值f(1)=−5b>0)，则a=3，b=2 2，
所以曲线Γ的方程为x29+y28=1．
当直线l⊥x轴时，不妨令M(−1,83)，N(−1,−83)，
则kGM=43，直线GM的方程为y=43(x+3)，E(−9,−8)，kEA=1，
同理kFA=−1，所以EA⊥FA，
所以点A在以EF为直径的圆上；
当直线l不垂直于x轴时，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线l的方程为y=k(x+1)，
代入Γ：8x2+9y2=72中，整理得(8+9k2)x2+18k2x+9k2−72=0，
所以x1+x2=−18k28+9k2，x1x2=9k2−728+9k2，
直线MG的方程为y=y1x1+3(x+3)，即y=k(x1+1)x1+3(x+3)，
所以E(−9,−6k(x1+1)x1+3)，同理F(−9,−6k(x2+1)x2+3)，
又A(−1,0)，
所以EA⋅FA=64+36k2(x1+1)(x2+1)(x1+3)(x2+3)=64+36k2(x1x2+x1+x2+1)x1x2+3(x1+x2)+9=0，
所以EA⊥FA，所以点A在以EF为直径的圆上．
综上所述，点A在以EF为直径的圆上．
(1)设H(−9,y)，根据直线与圆的位置关系可得|PA|=|PC|，结合两点间距离公式即可求得．
(2)由(1)可得点P的轨迹方程为x29+y28=1，根据直线l的斜率是否存在，分类进行讨论，结合EA⊥FA，可证点A在以EF为直径的圆上．
本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，是中档题．
18.【答案】[0,+∞)．
(−∞,2]．
证明见解析．
【解析】解：(1)当a=2时，函数f(x)=ln(x+1)−2xx+2,x∈(−1,+∞)，
导函数f′(x)=1x+1−4(x+2)2=x2(x+1)(x+2)2≥0恒成立，
所以函数f(x)在(−1,+∞)上单调递增，又f(0)=0，
所以f(x)≥0的解集为[0,+∞)．
(2)导函数f′(x)=1x+1−2a(x+2)2=x2+(4−2a)x+4−2a(x+1)(x+2)2，
根据f′(x)=0，得x2+(4−2a)x+4−2a=0，
如果根的判别式Δ≤0，解得0≤a≤2，此时f′(x)≥0恒成立，
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)=0；
如果根的判别式Δ>0，解得a2，
因为x≥0，所以当a2时，根据f′(x)