福建省泉州市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份福建省泉州市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）（﹣2）3＝（ ）
A．﹣6B．6C．﹣8D．8
解：原式＝﹣8，
故选：C．
2．（4分）已知实数a，b满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
解：∵＝，
∴＝＝．
故选：B．
3．（4分）据统计，2024年元旦假期，某市推出多项文旅活动，共接待游客204.58万人次，实现旅游收入14.12亿元．将数据1412000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.412×108B．14.12×108
C．1.412×109D．0.1412×1010
解：1412000000＝1.412×109．
故选：C．
4．（4分）从“1，2，3，4，x”这组数据中任选一个数，选中奇数的概率为，则x可以是（ ）
A．0B．2C．4D．5
解：∵从“1，2，3，4，x”这组数据中任选一个数，选中奇数的概率为，
∴这组数据中有奇数个奇数，
∴x可以是5，
故选：D．
5．（4分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
解：从正面看共有两层，底层两个正方形，上层右边是一个正方形．
故选：D．
6．（4分）对于非零实数a，下列运算一定正确的是（ ）
A．a3•a2＝a5B．（a3）2＝a9C．a6÷a2＝a3D．（3a）2＝6a2
解：A．a3•a2＝a5，所以A选项符合题意；
B．（a3）2＝a6，所以B选项不符合题意；
C．a6÷a2＝a4，所以C选项不符合题意；
D．（3a）2＝9a2，所以D选项不符合题意；
故选：A．
7．（4分）已知一次函数y＝（k﹣3）x+1中，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k＜﹣1C．k＞3D．k＜3
解：∵一次函数y＝（k﹣3）x+1中，y随x的增大而减小，
∴k﹣3＜0，
解得k＜3，
故选：D．
8．（4分）如图，在⊙O中，点C是弦AB的中点，连接OA，OC，若∠OAB＝37°，则∠AOC＝（ ）
A．37°B．53°C．54°D．63°
解：∵在⊙O中，点C是弦AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
∵∠OAB＝37°，
∴∠AOC＝90°﹣∠OAC＝90°﹣37°＝53°．
故选：B．
9．（4分）现代办公纸张通常以A0，A1，A2，A3，A4等标记来衣示纸张的幅面规格，一张A2纸可裁成2张A3纸或4张A4纸．现计划将100张A2纸裁成A3纸和A4纸，两者共计300张，设可裁成A3纸x张，A4纸y张，根据题意，可列方程组（ ）
A．
B．
C．
D．
解：根据题意得：，
故选：D．
10．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，线段AB与x轴交于点C．若AC＝2CB，△AOC的面积为5，则k的值为（ ）
A．﹣6B．﹣5C．﹣3D．6
解：连接OB，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，则AD∥BE，
∴△ACD∽△BCE，
∴，
∵AC＝2CB，
∴AB＝CB，＝，
∴，
∵△AOC的面积为5，
∴S△BOC＝＝，
∵点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，
∴S△AOD＝＝3，S△BOE＝|k|，
∵△AOC的面积为5，
∴S△ADC＝5﹣3＝2，
∴，
∴S△BCE＝，
S△BOE＝S△BOC+S△BCE＝+＝3，
∴|k|＝3，
∵k＜0，
∴k＝﹣6，
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）比较大小：﹣9 ＜ ﹣7（填“＞”、“＜”或“＝”）．
解：∵|﹣9|＝9，|﹣7|＝7，
又∵9＞7，
∴﹣9＜﹣7，
故答案为：＜．
12．（4分）在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，点D为AC的中点，则BD的长为 2 ．
解：∵∠ABC＝90°，点D为AC的中点，
∴BD＝AC，
∵AC＝4，
∴BD＝2．
故答案为：2．
13．（4分）某校计划开展球类课外活动，有篮球、足球、羽毛球、排球四种项目供学生选择，每位学生只选一个项目．现根据学生的选择情况绘制成如图所示的统计图，若选择篮球项目的学生有240人，则选择排球项目的学生有 60 人．
解：240÷40%×（1﹣40%﹣20%﹣30%）
＝600×10%
＝60（人），
∴选择排球项目的学生有60人．
故答案为：60．
14．（4分）东西塔是泉州古城的标志性建筑之一．如图，某课外兴趣小组在距离西塔塔底A点50米的C处，用测角仪测得塔顶部B的仰角为42°，则可估算出西塔AB的高度为 45 米．
（结果保留整数，参考数据：sin42°≈0.67，cs42°≈0.74，tan42°≈0.90）
解：由题意得：AC＝50米，AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°．
∵∠C＝42°，
∴tan42°＝．
∴≈0.90．
解得：AB＝45（米）．
故答案为：45．
15．（4分）若实数x满足x2﹣4x+1＝0，则的值为 ．
解：∵x2﹣4x+1＝0，
∴x2+1＝4x，
∴，
故答案为：．
16．（4分）已知正六边形的一条对称轴与抛物线y＝x2+bx+c的对称轴重合，且该正六边形至少有三个顶点落在抛物线的图象上，则该正六边形的边长可以为 ﹣3b .（写出符合要求的一个答案即可）
解：因为正六边形的一条对称轴与抛物线y＝x2+bx+c的对称轴重合，且该正六边形至少有三个顶点落在抛物线的图象上，因此作正六边形ABCDEF，根据对称性可知，正六边形ABCDEF上的A、B、C、F四个点在抛物线上．抛物线的对称轴为直线x＝﹣，则线段AB的垂直平分线为直线，因此可得，即x1+x2＝﹣b，又因为正六边形的一条边长为线段AB．AB的长度等于两点横坐标之差x1﹣x2，因此假设x1＝﹣2b，x2＝b，满足x1﹣x2＝﹣b，则AB＝﹣2b﹣b＝﹣3b，
即正六边形的边长可以为﹣3b．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）计算：．
解：原式＝3﹣9+1
＝﹣5．
18．（8分）解不等式组：．
解：，
由①得x≥﹣3，
由②得x＜2，
所以不等式组的解集是﹣3≤x＜2，
19．（8分）如图，在矩形ABCD中，点E，F在BC上，且BE＝CF，连接AE，DF．求证：△ABE≌△DCF．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）．
20．（8分）先化简，再求值：，其中．
解：原式＝•
＝x2，
当x＝时，
原式＝（）2＝3．
21．（8分）如图，在△ABC中，AC＞AB．
（1）在线段BC上作点P，使得点P到AB的距离与点P到AC的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若PA＝PC，求证：AB2＝BP•BC．
（1）解：如图，点P即为所求；
（2）证明：∵PA＝PC，
∴∠PAC＝∠C，
由（1）知：PA平分∠BAC，
∴∠PAC＝∠PAB，
∴∠PAB＝∠C，
∵∠B＝∠B，
∴△PAB∽△CAB，
∴＝，
∴AB2＝BP•BC．
22．（10分）有甲、乙两个不透明袋子，甲袋装有三个小球，分别标有数字1，2，4，乙袋装有两个小球，分别标有数字2，3，这些小球除数字不同外其余都相同．
（1）从甲袋任意摸出一个小球，求“恰好摸到数字为1的小球”的概率；
（2）现制定游戏规则如下：游戏者先选定一个袋子摸出一个小球，再从另一个袋子摸出一个小球，若第一个袋子摸出小球的数字小于第二个袋子摸出小球的数字，则该游戏者可获得一份奖品．为了使获奖的可能性更大，游戏者应先选定从哪个袋子摸球？说明你的理由．
解：（1）甲袋装共有三个小球，分别标有数字1，2，4，随机摸出1球，摸到每个球的可能性是均等的，
所以恰好摸到数字为1的小球的概率为；
（2）若先从甲袋摸出1球，再从乙袋摸出1球，等可能出现的结果为（1，2），（1，3），（2，2），（2，3），（4，2），（4，3）共6种情况，
其中第一个袋子摸出小球的数字小于第二个袋子摸出小球的数字的有3种，
所以获奖的可能性为＝；
若先从乙袋摸出1球，再从甲袋摸出1球，等可能出现的结果为（2，1），（2，2），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4）共6种情况，
其中第一个袋子摸出小球的数字小于第二个袋子摸出小球的数字的有2种，
所以获奖的可能性为＝；
由于＞，
所以先从甲袋摸出1球，再从乙袋摸出1球，获奖的可能性大．
23．（10分）某校组织九年级学生，以“运用函数知识探究铜锌混合物中的铜含量”为主题，开展跨学科主题学习活动．已知常温下，铜与稀盐酸不会发生反应，锌与稀盐酸发生反应后不生成固体难溶物．小明按实验操作规程，在放有10g铜锌混合物样品（不含其它杂质）的烧杯中，逐次加入等量等溶度的20g稀盐酸，每次加入前，测出与记录前次加入并充分反应后剩余固体的质量，直到发现剩余固体的质量不变时停止加入．记录的数据如下表所示，然后小明通 过建立函数模型来研究该问题，研究过程如下：
（i）收集数据：
（ii）建立模型：在如图的平面直角坐标系中 描出这些数值所对应的点．发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这一个函数的类型最有可能是 一次函数 ；（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”）
（iii）求解模型：为使得所描的点尽可能多地落在该函数图象上，根据过程（ii）所选的函数类型，求出该函数的表达式；
（iv）解决问题：根据剩余固体的质量不再变化时，所加稀盐酸的总量求得样品中的铜含量．
阅读以上材料，回答下列问题：
（1）完成小明的研究过程（ii）（描点，并指出函数类型）；
（2）完成小明的研究过程（iii）；
（3）设在研究过程（iv）中，发现最后剩余固体的质量保持2.2g不再变化，请你根据前求得的函数表达式，计算加入稀盐酸的总量至少为多少时，剩余固体均为铜．
解：（1）描点如图：
故答案为：一次函数．
（2）设函数解析式为y＝kx+b，
∴，
∴k＝﹣0.065，b＝10，
∴y＝﹣0.065+10．
（3）y表示剩余固体质量，
x表示加入稀盐酸总量，
当y＝2.2时，x＝120，
答：加入稀盐酸的总量至少为120g时，剩余固体均为铜．
24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx经过A（﹣1，1），B（2，4）两点．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）直线l：y＝kx+t（k、t是常数，k≠0）与抛物线有且只有一个公共点C（1，c）．
①求直线l所对应的函数表达式；
②将直线l向下平移2个单位得到直线l′，过点A的直线m：y＝（r﹣1）x+r与抛物线的另一个交点为D（异于点B），过点B的直线n：y＝（s+2）x﹣2s与抛物线的另一交点为E（异于点A），当直线m，n的交点P在定直线l′上时，试探究直线DE是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝x2；
（2）①当x＝1时，y＝x2＝2，即点C（1，1），
则直线l的表达式为：y＝k（x﹣1）+1＝kx﹣k+1，
∵直线l与抛物线有且只有一个公共点，
则联立上述两个函数表达式得：x2＝kx﹣k+1，
则Δ＝k2﹣4k+4＝0，
解得：k＝2，
则直线l的表达式为：y＝2x﹣1；
②直线DE是否过定点（1，3），理由：
直线l向下平移2个单位得到直线l′，则直线l′为：y＝2x﹣3，
联立直线m：y＝（r﹣1）x+r与抛物线的表达式得：（r﹣1）x+r＝x2，
即x2﹣（r﹣1）x﹣r＝0，
而x1x2＝﹣r，xA＝﹣1＝x1，
则x2＝r＝xD，
即点D（r，r2），
同理可得，点S（s，s2），
联立直线m、n的表达式得：（r﹣1）x+r＝（s+2）x﹣2s，
解得：xP＝，
则点P的坐标为：（，+r），
∵点P在直线y＝2x﹣3上，
则+r＝2×﹣3，
整理得：sr+s+r＝3，
设直线DE的表达式为：y＝ax+b，
则，解得：，
则a+b＝3，
则直线DE的表达式y＝ax+b＝a（x﹣1）+3，
当x＝1时，y＝3，
即直线DE过顶点（1，3）．
25．（14分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点E在△ABC内部，以AE为斜边作等腰直角三角形ADE，使得点D，E在AC的异侧，连接BD交AC于点M，点G在MC上，且满足∠BDG＝45°．
（1）如图1，求证：∠AGD＝∠ABD；
（2）当点E是BD的中点时，连接BG，如图2，求tan∠DBG的值；
（3）连接EC，延长DG交EC于点F，如图3，求证：点F是EC的中点．
（1）证明：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∵∠BDG＝45°，
∴∠BAC＝∠BDG，
∵∠AMB＝∠DMG，
∴∠BAC+∠ABD＝∠BDG+∠AGD，
∴∠AGD＝∠ABD．
（2）解：设AD＝DE＝a，
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，
∴，
∵点E是BD的中点，
∴BD＝2DE＝2a，
∵∠BAC＝∠EAD＝45°，
∴∠BAE＝∠GAD，
由（1）得∠AGD＝∠ABD，
∴△ABE∽△AGD，
∴，
即，
∴，
过点G作GN⊥BD交BD于点N，
∵∠BDG＝45°，
∴，
∴，
在Rt△BNG中，；
（3）证明：过点B作BN⊥BD，延长DF交BN于点N，连接CN，
∴∠ABC＝∠DBN＝90°，
∴∠ABD＝∠CBN，
∵∠DBN＝90°，∠BDG＝45°，
∴∠BND＝45°，BD＝BN，
∵∠ABD＝∠CBN，AB＝BC，
∴△ABD≌△CBN（SAS），
∴AD＝CN，∠ADB＝∠CNB，
∵AD＝DE，
∴DE＝CN．
设∠ADB＝∠CNB＝α，
∴∠BDE＝∠ADE﹣∠ADB＝90°﹣α，
∴∠EDF＝∠BDG﹣∠BDE＝45°﹣（90°﹣α）＝α﹣45°，
∵∠CNF＝∠CNB﹣∠BND＝α﹣45°，
∴∠EDF＝∠CNF，
∵∠DFE＝∠NFC，DE＝NC，
∴△DEF≌△NCF（AAS），
∴EF＝CF，
即点F是EC的中点．
加入稀盐酸的累计总量x（单位：g）
0
20
40
60
80
100
...
充分反应后剩余固体的质量y（单位：g）
10
8.7
7.8
6.1
4.5
3.5
...