安徽省安庆市第二中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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命题人：肖成效 审题人：莫云生
（考试时间：120 分钟 分值：150 分）
一､单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知 ， 为纯虚数，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 如图，矩形 是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形 的直观图，其中
，那么 的面积为（ ）
A 4 B. C. 8 D.
4. 若 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图所示，在△ABC 中，点 D 是线段 BC 的中点，E 是线段 AD 的靠近 A 的三等分点，则 =（ ）
A. B. C. D.
6. 函数 的大致图象为（ ）
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A. B.
C. D.
7. 斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上､下底面边长分别为 2，4，
侧面积为 24，则该正四棱台的体积为（ ）
A. 56 B. C. D.
8. 已知四边形 中， ，点 在四边形 的四
条边上运动，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知复数 ､ ，以下四个说法中正确 是（ ）
A
B. 若 ，则
C.
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D. 若 是方程 的虚根，则 ､ 互为共轭复数
10. 已知 的内角 所对的边分别为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则三角形有两解
C. 若 面积为 ，则 .
D. 若 ，则 一定为等腰直角三角形
11. 定义在 R 上的奇函数 ，满足 且 在 上单调递减， ，则
（ ）
A. 函数 图象关于直线 对称
B. 函数 的周期为 4
C
D. 设 ， 和 的图象所有交点横坐标之和为
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 ，且 与 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是____.
13. 如图，在离地面高 100 的热气球 M 上，观测到山顶 C 处的仰角为 ､山脚 A 处的俯角为 ，已知
，则山的高度 BC 为___________ .
14. 已知 ，若方程 有四个不同的解 、 、 、 且 ，
则 的取值范围是______．
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四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 求下列各式的值：
（1） ；
（2） ．
16. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积的最大值.
17. 记 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 点在线段 BC 上，且 AD 平分 ，若 ，且 ，求 ．
18. 在 中，内角 A，B，C 对边分别为 a，b，c，BC，AC 边上的两条中线 AM，BN 相交于点 P.
（1）令 ， ，用 ， 表示 ；
（2）证明： ；
（3）若 ， ， ，求∠MPN 的余弦值.
19. 已知 O 为坐标原点，对于函数 ，称向量 为函数 的相伴特征向
量，同时称函数 为向量 的相伴函数．
（1）记向量 的相伴函数为 ，若 且 ，求 的值；
（2）设 （ ），试求函数 的相伴特征向量 ，并求出与
方向相反的单位向量﹔
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（3）已知 ， ， ，为函数 （ ）的相伴特征向量，
，请问在 的图象上是否存在一点 P，使得 ？若存在，求出点 P 的坐标；
若不存在，说明理由．
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