2025年中考数学专题重难题型分类练习含答案

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1.(2024日照)在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字.现有一列数：2，4，进行第1次构造，得到新的一列数:2,6,4,第2次构造后,得到一列数:2,8,6,10,4,…,第n次构造后得到一列数:2,x₁,x₂,x₃,…,x₄,4,记 an=2+x1+x2+x3+⋯+xk+4.某小组经过讨论得出如下结论，错误的是 ( )
A.a5=84 B.an3为偶数 C.an+1=3an−6 D. k=2n-1
2. (2024江西)观察a, a2,a3,a4,⋯,根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 .
3. (2024眉山)已知 a1=x+1(x≠0且 x≠−1),a2=11−a1,a3=11−a2,⋯, an=11−an−1,则a₂024的值为 . a2024
4.(2024山东省卷)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”.在平面直角坐标系xOy中，将点(x，y)中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数.例如，点(6，3)经过第1次运算得到点(3，10)，经过第2次运算得到点(10，5)，以此类推.则点(1，4)经过2024次运算后得到点 .
5.(2023嘉兴)观察下面的等式： 32−12=8×1,52−32=8×2,72−52=8× 3,92−72=8×4,⋯
(1)写出 192−172的结果；
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示，n为正整数)；
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的.
类型二 图形规律
考向1 累加型
6.(2024重庆B卷)用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，……，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是 ( )
A. 20 B. 21 C. 23 D. 26
7.(2024牡丹江)如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形，⋯，按照此规律排列下去.第674个图中三角形的个数是 ( )
A. 2 022 B. 2023 C. 2024 D. 2 025
8.(2024青海省卷)如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第(7)个图案中有 个火柴棒.
9. (2024泰安)如图所示，是用图形“。”和“•”按一定规律摆成的“小屋子”.
按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“”个数是图形“·”个数的3倍.
10. (2024遂宁)在等边△ABC三边上分别取点D,E,F,使得AD=BE=CF,连接三点得到△DEF,易得△ADF≌△BED≌△CFE,设 S△ABC=1,则 S△DEP=1−3S△ADF
如图①，当 ADAB=12时， S△DEF=1−3×14=14
如图②，当 ADAB=13时， S△DEF=1−3×29=13
如图③，当 ADAB=14时， S△DEF=1−3×316=716
…
直接写出，当 ADAB=110时， S△DEF=_.
11.(2024凉山州)阅读下面材料，并解决相关问题：
下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，…
容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10.
(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为 ，前15行的点数之和为 ，那么，前n行的点数之和为 ；
(2)体验：三角点阵中前n行的点数之和 (填“能”或“不能”)为500;
(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，…，第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排?
12. (2023安徽)【观察思考】
【规律发现】
请用含 n的式子填空：
(1)第n个图案中“◎”的个数为 ；
(2)第1个图案中“*”的个数可表示为 1×22,第2个图案中“*”的个数可表示为 2×32,第3个图案中“*”的个数可表示为 3×42,第4个图案中“*”的个数可表示为 4×52,⋯,第n个图案中“*”的个数可表示为 ；
【规律应用】
(3)结合图案中“*”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和 1+2+3++n等于第n个图案中“◎”的个数的2倍.
考向2 成倍递变型
13.(2023烟台)如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点 P 为位似中心作正方形. PA1A2A3,正方形 PA4A5A6,⋯,按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形 PA1A2A3的顶点坐标分别为 P(−3, 0),A1−21,A2−10,A3(−2, −1),则顶点 A100的坐标为 ( )
A. (31,34)
B.31−34
C. (32,35)
D. (32,0)
14.(2024齐齐哈尔)如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O 的坐标为(0，0)，点B 的坐标为(1，0)，点C在第一象限， ∠OBC=120∘.将 △OBC沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O 的对应点为 0',点C的对应点为 C',OC与 O'C'的交点为 A1,称点 A1为第一个“花朵”的花心，点 A2为第二个“花朵”的花心；…；按此规律， △OBC滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 .
15. (2024达州)如图,在 △ABC中， AE1,BE1分别是内角 ∠CAB、外角 ∠CBD的三等分线，且 ∠E1AD=13∠CAB,∠E1BD=13∠CBD,在 △ABE1中， AE2,BE2分别是内角 ∠E1AB,外角 ∠E1BD的三等分线.且 ∠E2AD=13∠E1AB,∠E2BD=13∠E1BD,⋯,以此规律作下去.若 ∠C=m∘.则 ∠En=_.度.
考向3 周期变化型
16.(2022玉林)如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF的顶点A处.两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是 ( )
A.4 B.23 C.2 D. 0
17. (2024绥化)如图,已知 A11−3,A23−3,A340,A4(6,0) ,A573,A693,A7100,A811−3,⋯。依此规律，则点 A2024的坐标为 .
18.(2023怀化)在平面直角坐标系中， △AOB为等边三角形，点A的坐标为(1,0),把 △AOB按如图所示的方式放置，并将 △AOB进行变换：第一次变换将 △AOB绕着原点O 顺时针旋转 60∘,同时边长扩大为 △AOB边长的2倍，得到 △A1OB1;第二次旋转将 △A1OB1绕着原点O顺时针旋转 60∘,，同时边长扩大为 △A1OB1边长的2倍，得到 △A2OB2,⋯,依次类推，得到 △A2023OB2023,则 △A2023OB2023的边长为 ，点 A2023的坐标为 .
19.(2024龙东地区)如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP 顶点M的坐标为(3,0), △OAB是等边三角形，点B 坐标是(1，0)， △OAB在正方形OMNP 内部紧靠正方形OMNP 的边(方向为O→M→N→P→O→M→⋯)做无滑动滚动,第一次滚动后,点A 的对应点记为 A1,A1的坐标是(2，0)；第二次滚动后， A1的对应点记为 A2,A2的坐标是(2，0)；第三次滚动后， A2的对应点记为 A3,A3的坐标是 3−3212;如此下去，….则 A2024的坐标是 .
类型三 与函数图象结合
20.(2024武汉)如图，小好同学用计算机软件绘制函数 y=x3−3x2÷3x-1的图象，发现它关于点(1，0)中心对称若点 A10.1y3, A20.2y2,A30.3y3,⋯,A191.9y19,A202y20都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则 y1+y2+y3+ ⋯+y19+y20的值是 ( )
A. - 1 B. - 0.729 C.0 D. 1
(2024广安)己知,直线 l:y=33x−33与x轴相交于点 A1,以OA₃为边作等边三角形( OA1B1,点 B1在第一象限内，过点. B1作x轴的平衡线与直线l交于点. A2,与y轴交于点 C1,以C₁A₂为边作等边三角形 C1A2B2(点 B2在点 B1的上方)，以同样的方式依次作等边三角形 C2A3B3,等边三角形 C3A4B4,⋯,则点 A2004的横坐标为 .
题型一 规律探索
1. D 【解析】第1次构造得 a1=2+6+4=12,k=1=21−1，第2次构造得 a2=2+8+6+10+4=30=a1+18=a1+ 6×31,k=3=22−1,第3次构造得 a3=2+10+8+14+6+ 16+10+14+4=84=a2+54=a2+6×32,k=7=23−1故A选项正确；第n次构造为 an=an−1+6×3n−1,则 an−an−1= 6×3n−1,an−1−an−2=6×3n−2,an−2−an−3=6×3n−3,⋯,a2− a1=6×31,相加得 an−a1=6×3n−1+6×3n−2+6×3n−3+⋯+ 6×31=6×3n−1+3n−2+⋯+31,令 S=3n−1+3n−2+⋯+31= 31+32+⋯+3n−2+3n−1①,，则 3S=32+33++3n2.,由①-②得,-2S=3-3",∴S=³"- 32即 an−a1=6×(3n−1+3n−2 +⋯+31)=3n+1−9,∴an=3n+1+3,则 an+1=3n+2+3,即 an+1=3an−6,故C选项正确 an3=3n+1为偶数，故B选项正确；第n次构造为 an=an−1+6×3n−1,k=2n−1,故 D选项错误.
2. a¹⁰⁰ 【解析】根据题意可得，第n个式子为a",∴第100个式子为a¹⁰⁰.
3.−1x 【解析】 ∵a1=x+1,∴a2=11−a1=11−x+1= =11x+1=x+1,∴a5=−1x,a6=xx+1,⋯,由上可得，每三个为一个循环，∵ 2024÷3=674⋯2,∴a2024=−1x.解题技巧一般情况下，求次数很大项的结果都是循环的，只需观察每个式子都与前一项有关，计算出前几项即可发现循环规律，根据规律求解即可.
4. (2,1) 【解析】根据题意,得点(1,4)经过第1次运算得到点(4，2)，经过第2次运算得到点(2，1)，经过第3次运算得到点(1，4)，经过第4次运算得到点(4，2)，…，观察可知，经过第4次运算得到的点与经过第1次运算得到的点相同,∵2 024÷3=674……2,∴点(1，4)经过2024次运算得到的点与经过第2次运算得到的点相同，∴点(1，4)经过2 024次运算后得到点(2,1).
类题通法 对于循环型的数字规律探索题：
1. 先找出循环周期n；
2.用N(设问中给出的第N次变化)除以n，当商b余m(0≤m