山西省太原市2025届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份山西省太原市2025届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了解答题解答应写出必要的文字说明等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：上午8∶00－9∶30）
说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器．答题时间90分钟．
一、选择题（本大题共10个小题）在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．
1. 用配方法解一元二次方程时，应在方程两边同时加上（ ）
A. 1B. 2C. D. 4
答案：A
解：由题意得：方程两边同时加上1；
故选：A．
2. 平面直角坐标系中的下列各点，在反比例函数的图象上的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：A.把点代入得，故A选项不符合题意；
B.把点代入得，故B选项不符合题意；
C.把点代入得，故C选项符合题意；
D.把点代入得，故D选项不符合题意．
故选：C．
3. 中国古代的数学研究成果辉煌，产生的一些数学名词，颇有趣味．如《九章算术》中的“刍童”，原指
上、下底面都是长方形的草垛．如图是一个“刍童”形状的几何体，它的主视图和左视图如图所示，则其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解：俯视图是
，
故选：D ．
4. 如图，已知直线，两条直线，分别与a，b，c交于点A，B，C，D，E，F．下列线段的比与一定相等的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
5. 如图，矩形的对角线交于点，若，，则的长为（ ）
A. 2B. 3C. D. 4
答案：A
解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∵∠ACB=30°，AB=2，
∴AC=2AB=2×2=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OA=AC=2．
故选：A．
6. 课堂上，同学们围绕一元二次方程的根的情况展开讨论，其中一次项系数被遮挡，下面四位同学的观点中正确的是（ ）
A. 无论“▲”为何值，该方程都有两个相等的实数根
B. 无论“▲”为何值，该方程都有两个不相等的实数根
C. 无论“▲”为何值，该方程都只有一个实数根
D. 因为“▲”的值不确定，无法判定该方程有没有实数根
答案：B
解：由，可知，
无论取何值，
一定有两个不相等的实数根．
故选：B
7. 北京时间12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．现将四张大小相同的正方形卡片拼成如图所示的正方形靶盘（其中两张卡片上是“春”字，另外两张上是“福”字）．现向该靶盘随机掷两次飞镖，则两次射中的卡片上的字不相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解：设正方形靶盘被分为四个相等的正方形区域，分别标记为“春1”，“春2”，“福1”，“福2”．
两次射中卡片的总情况有16种，即每张卡片都有可能被射中两次，形成种组合．
射中“春”和“福”的组合有8种，即（春1，福1），（春1，福2），（春2，福1），（春2，福2），以及反向的（福1，春1），（福1，春2），（福2，春1），（福2，春2）．这8种情况满足条件．
因此，两次射中卡片上的字不相同的概率为，
故选：A．
8. 如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图像于点，以为边作平行四边形，其中，在轴上，则四边形的面积为（ ）
A. 6B. 5C. 3D. 2.5
答案：B
解：连接、，设交y轴于E，如图，
∵平行四边形，
∴轴，
∴轴，
∴，，
∴，
∵平行四边形，
∴平行四边形的面积．
故选：B．
9. 如图的矩形为学校教学楼区域的平面示意图，其中的阴影部分为“弓”字形楼体，“弓”字形各部分的宽度均相同．已知的长为80米，的长为200米，空地面积是整个矩形区域面积的．若设“弓”字形楼体各部分的宽度为米，则应满足的方程是（ ）
A.
B.
春1
春2
福1
福2
春1
春1春1
春2春1
福1春1
福2春1
春2
春1春2
春2春2
福1春2
福2春2
福1
春1福1
春2福1
福1福1
福2福1
福2
春1福2
春2福2
福1福2
福2福2
C.
D.
答案：A
解：由题意可得方程为；
故选A．
10. 图1是机场常用的一种圆锥形直饮水杯，这种设计是为了方便清洁和节省存储空间．小明画出这种纸杯的截面图如图2所示，其中点为杯底顶点，，分别表示杯口、水面，，．若杯中水的高度是杯子高度的，则水的体积与杯子容积的比最接近于（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解：设杯子的高度为h，则杯中水的高度为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴水的体积为；
杯子的体积为，
∴；
故选：D．
二、填空题（本大题共5个小题）把答案写在答题卡相应的位置．
11. 反比例函数的图象在第______象限．
答案：一、三
解：由反比例函数可知：，所以该函数图象在第一、三象限；
故答案为一、三．
12. 已知，四边形是平行四边形，对角线，交于点．若增加一个条件，将它边的数量关系特殊化，可使，则增加的一个条件可以是______．（写出一个即可）
答案：（答案不唯一）
解：∵四边形为平行四边形，
∴当时，为菱形，
此时．
∴增加的一个条件可以是．
故答案为：（答案不唯一）．
13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，小华想画一个三角形，使它与关于原点位似，若点A对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是______．
答案：
解：设，
∵与关于原点位似，若的对应点的坐标是，
点的对应点，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
14. 在学习了《图形的相似》之后，同学们利用黄金分割原理设计图案．如图，四边形是正方形，点是线段的黄金分割点（），以为边在正方形内作正方形．按此方式继续构造正方形，得到如图所示的图案．若的长为，则，两点之间的距离为______．
答案：
解：连接，
∵正方形，
∴，
∵点是线段的黄金分割点（），
∴，
∵正方形，
∴，，
∴．
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，点是延长线上的一点，连接，，点是边
的中点，的延长线交于点，若，，则线段的长为______．
答案：##
解：过点E作于H，交于P，如图，
∵矩形，
∴，，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴即，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题）解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．
16. 解方程：
（1）；
（2）．
答案：（1），
（2），
【小问1详解】
将原方程化为它的一般形式，得，
∵，
∴，
∴，．
【小问2详解】
∴，
∴，
∴或
∴，．
17. 质朴大方的中华灯、崭新的汉白玉栏杆、花朵点缀的隔离带……，翻新后的迎泽大桥成为了网红打卡地，迎来了各地游客前来拍照留念．小徐和小亮收集了五张迎泽大桥的不同时期的图片（除正面图案外完全相同，分别记为A，B，C，D，E）．现将五张图片背面朝上放置于桌面，搅匀后小徐先从中随机抽取一张，不放回，小亮再从剩余图片中随机抽取一张，求小徐、小亮两人取到的恰好都是新中国成立后的迎泽大桥图片的概率．
答案：
解：所有可能的结果列表如下（树状图同样得分）：
由表格可知，共有20种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中两人取到的恰好都是新中国成立后迎泽大桥图片的结果有6种，
∴两人取到恰好都是新中国成立后迎泽大桥图片概率为．
18. 已知：如图，中，，点是边的三等分点（）．
第2张
第1张
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E

求作：线段的三等分点（）．
作法：①在边上截取；
②分别以点和点为圆心，以长为半径作弧，在内部交于点，连接；
③延长交于点．点即为线段的三等分点．
请你按上述作法完成作图、标清字母，并说明这种作法的合理性．
答案：图和字母见解析，过程见解析
解：如图1：

理由：如图2，连接．

由作图可知，，
四边形为菱形．
，即．
．
∵点是的三等分点，且，
．
∵，
．
．
点是的三等分点．
19. 问题情境：区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度与行驶时间的数据如右表．
小型车辆
行驶时间
平均速度
建立模型：
（1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度是行驶时间的函数．求与之间的函数关系式；
问题解决：
（2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，求它的平均速度；
（3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？
答案：（1）；（2）它的平均速度是；（3）行驶时间应大于等于．
解：（1）方法1：根据题意，测速区间的路程是定值．
因为平均速度，
所以，汽车在该测速区间内的平均速度是行驶时间的反比例函数．
A
0.5
60
B
0.3
100
C
0.6
50
D
0.4
75
根据表格数据，当时，，所以测速区间路程为．
所以，与之间的函数关系式为．
方法2：根据表格数据，，，，，
表中各组平均速度与行驶时间对应值均满足，
所以，汽车在该测速区间内的平均速度是行驶时间的反比例函数．
与之间的函数关系式为；
（2）根据题意，得50分钟，
将代入，
得，
答：它的平均速度是．
（3）方法一：解：将代入，
得，解得．
因为，且，
所以，随的增大而减小，即当时，．
答：行驶时间应大于等于．
方法二：解：根据题意，，
所以．
因为，解得．
即当时，．
答：行驶时间应大于等于．
20. 12月13日，文化和旅游部网站发布拟确定19家旅游景区为国家级旅游景区的公示，山西省太原市晋祠天龙山景区在列，这将填补太原没有级景区的空白．某经销商以每套18元的价格购进一批晋祠冰箱贴套装，结合销售记录发现，若按每套30元的价格销售，平均每天可售出60套；若每套的售价每降低1元，平均每天的销售量增加10套．为了减少库存，该经销商决定降价销售．请通过计算判断，经销
商每天销售该冰箱贴套装的利润能否达到810元？如果能，请求出冰箱贴每套的售价；如果不能，请说明理由．
答案：能，销售单价应定27元/个．
解：设每个冰箱贴的售价降低元，
根据题意，得．
整理，得．
解得．
此时，（元）．
答：经销商每天销售该冰箱贴套装的利润能达到810元，销售单价应定为27元/个．
21. 学科实践——测量物体的高度
活动课题：借助标杆测量校园内路灯的高度．
活动工具：标杆、皮尺、激光仪等工具，
方案设计：如图，表示路灯的高度．在路灯旁的水平空地上直立一根高米的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过，．（图中各点均在同一竖立平面内）
测量数据：笃行小组按照上述方案，测得米，米．
问题解决：
（1）根据笃行小组的测量数据，计算路灯的高度．
质疑反思：在交流中，一位同学对笃行小组的方案提出质疑：如果路灯底部不可直接到达，将无法测得线段的长，因此不能求得路灯高度．笃行小组在此基础上对原有方案作出补充：如图，在点处再直立一根同样高度的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过，．按照此方案，笃行小组的同学认为再测量一条线段，即可求出路灯的高度．
（2）他们计划测量的线段是______，若用表示该线段的长，则路灯的高度可用含的代数式表示为______米．
答案：（1）路灯的高为米；
（2）；．
【小问1详解】
解：，
，
，
米，米，米，
米，
，
解得：米；
【小问2详解】
解：他们计划测量的线段是，
，
，
，
又米，米，
，
整理得：，
，
，
，
又米，米，，
，
，
解得：．
故答案为：；
22. 综合与实践——数学拼图活动
问题情境：图1是一张菱形纸片，其中，．点是对角线上的一点，且，剪去（阴影部分）得到如图2所示的不规则多边形纸片．

数学思考：
（1）图1中线段的长为______；
实践操作：
（2）在图2中，以连接某两个顶点的线段为裁剪线，使经过裁剪后的两部分纸片可拼接为图3所示的五边形．在图2画出裁剪线，在图3中画出拼接线．（要求：拼接时，两部分纸片无终隙、不重叠且没有剩余）；
（3）图4是一个与图3全等的五边形．请你在图4中画一条裁剪线，使该五边形沿你所画的裁剪线剪开后，可以拼得一个矩形．要求：只能用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，标明裁剪线，并直接写出所拼得的矩形的周长．
答案：（1）；（2）见解析；（3）图见解析，周长为
解：如图，作于点H，
∵，
∴．
∵菱形纸片，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）如图，为裁剪线，
如图，或为拼接线，
或
（3）如图，
如图1，作于点G，
∵菱形纸片，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
由作图可知，，，，
∴所拼得的矩形的周长．
23. 综合与探究——课堂上，同学们探究正方形旋转中的数学问题
问题情境：如图1，已知正方形与正方形的边长相同，点在对角线上（不与，重合），点在的延长线上，线段交边于点，线段交边于点．
初步思考：（1）“乐学”小组发现，改变点的位置，四边形始终是正方形，请你证明；
动态分析：（2）如图2，“善思”小组将正方形绕点顺时针旋转，线段交边于点，线段交边于点，对角线交边于点．他们提出如下问题，请你解答：当时，猜想线段与之间的数量关系，并说明理由；
拓展探究：（3）“好问”小组在“善思”小组的基础上继续将正方形绕点顺时针旋转，设直线交边于点，直线交边于点．若正方形的边长为6，，当直线经过点时，直接写出四边形的面积．
答案：（1）见解析
（2），理由见解析
（3）11
（1）证明：如图，
∵正方形，
∴，，，
∴，，
∴，
同理，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴四边形矩形，
∴四边形是正方形．
（2），
理由：如图，
由（1）知：，
∵正方形，正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（3）如图，过点E作于M，作于N，
∵正方形，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，， ，
∴
∴
∵
∴
∴，，
∴，
∴，
∵正方形
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴．