精品解析：2024年山东省济南市槐荫区九年级中考二模数学试题(含答案与解析)

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（2024．05）
本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分，考试时间为120分钟。
答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 若某市某日上午温度上升15℃记作℃，那么傍晚温度下降10℃记作（ ）
A. ℃B. ℃C. ℃D. ℃
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了正负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】解：“正”和“负”相对，所以，若某市某日上午温度上升15℃记作+15℃，那么傍晚温度下降10℃记作℃．
故选：C
2. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．苔花的花粉直径约为米，用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：用科学记数法表示为，
故选B．
3. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形．”及“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形．”逐一进行判断即可．
【详解】解：A. 既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
B. 不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不合题意；
C. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不合题意；
D. 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，理解定义，会用定义进行判断是解题的关键．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的加减法则，二次根式的性质与化简，合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方法则，根据以上法则逐项判断即可．
【详解】解：A、,正确，符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：A
5. 如图，平移到的位置，则下列说法错误的是（ ）
A. B.
C. D. 平移距离为线段BD的长
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平移的性质，平移前后图形的大小和形状不发生改变，对应线段相等且互相平行，对应点之间的连线互相平行，根据平移的性质逐项进行判断即可．
【详解】解：由平移的性质可知，，故选项A不符合题意；
由平移的性质可知，，故选项B不符合题意；
由平移的性质可知，，故选项C不符合题意；
由平移的性质可知，平移距离为线段的长，故选项D符合题意；
故选：D．
6. 化简为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同分母分式的减法运算，根据同分母分式的减法法则运算即可．
【详解】解：，
故选：D
7. 如图，是楷书“欧柳颜赵”四大家的书法碑帖，若从中随机取两本，则抽取的两本字帖恰好是“柳体”和“颜体”的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了不放回型的概率计算，利用画树状图法计算即可．
【详解】根据题意，
画树状图如下：一共有种等可能性，其中，两本字帖恰好是“柳体”和“颜体”的有2种等可能性．
故两本字帖恰好是《玄秘塔碑》和《多宝塔碑》的概率是，
故选C．
8. 某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的总长为，设长方形靠墙的一边长为，面积为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查根据实际问题列函数关系式，利用长方形面积等于长乘宽计算即可．
【详解】由题意得：长方形靠墙的一边长为，则平行墙的边长为，
∴面积，
故选：D．
9. 如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来，在中点O的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O的距离L（单位：）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足．以L的数值为横坐标，F的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F关于L的函数图象大致是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意代入数据求得，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，函数为反比例函数，
当时，，
即函数图象经过点．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用以及函数图象，根据题意求出函数关系式是解题的关键．
10. 已知二次函数．当时，的取值范围是，且该二次函数的图象经过点，两点，则整数解的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 无数个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标的特征．依据题意，可得该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出s范围，进而选出符合条件的选项．
【详解】解：根据题意可知，该二次函数开口向上，
∴对称轴为直线，
∵，
∴P与点Q相比，点Q更靠近对称轴．
∴，
整理得，
∴，
∴．
∴满足题意的整数s为，0，共2个．
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
注意事项：
所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等。
不按以上要求作答，答案无效．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）
11. 因式分解：______．
【答案】m（m﹣1）
【解析】
【分析】
【详解】解：m2﹣m=m（m﹣1）
故答案为：
12. 分式方程的解为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键．
先去分母，将分式方程化成整式方程，求整式方程的解，最后进行检验即可．
【详解】解：，
，
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
故答案为：3．
13. 如图，中，，是斜边上中线．
某同学按照如下步骤画图：
（1）取的中点F；
（2）连接并延长到E，使；
（3）连接，．所得四边形的形状是__________．
【答案】菱形
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，菱形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，根据作图可得是的中点，则是的中位线，得出，，即可得出结论．
【详解】解：∵中，，是斜边上的中线，
∴，
∵，点F为的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
故答案为：菱形。
14. 如图，正方形网格中，点A，O，B，E均在格点上．⊙O过点A，E且与AB交于点C，点D是⊙O上一点，则___________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据圆周角定理得出∠CDE＝∠EAC，进而得出tan∠CDE＝tan∠EAC，求出答案即可．
【详解】解：由题意可得：∠CDE＝∠EAC，
则tan∠CDE＝tan∠EAC＝．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确得出tan∠CDE＝tan∠EAC是解题关键．
15. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图，一把二胡的弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长为__________（保留根号）．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义即可解决问题．熟知黄金分割的定义是解题的关键．
【详解】解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短，
则令“千斤”下面一截琴弦长为，
所以，
解得，
所以“千斤”下面一截琴弦长．
故答案为：．
16. 如图所示，正方形的边长为，在平面内任取一点（与点不重合），以DE为一边作正方形．设，点F、G与点的距离分别为、，则的最小值为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查正方形性质，连接， 证得则 ，故当点在同一直线上时， 最小，最小值为线段长，根据勾股定理求出即可.
【详解】如图， 连接，
正方形和正方形中，
，
，
，
，
，
∴当点在同一直线上时 (此时点与点重合) ， 最小，最小值为线段长，
在 中，，
∴的最小值为
故答案为：2.
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，利用算术平方根、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂分别运算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
．
18. 解不等式组，并求其整数解．
【答案】，整数解为
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解即可．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集是，
∴不等式组的整数解为．
19. 如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，先由矩形的性质得到，，再证明，得到，则由线段的和差关系即可证明．
【详解】证明：四边形是矩形，
，，
在和中，，
，
，
，即．
20. 如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，液压杆与底盘夹角为．已知液压杆米，，当，时．（结果精确到0.01米）（参考数据：，，，，，）
（1）求液压杆顶端到底盘的距离的长；
（2）求的长．
【答案】（1）米
（2）米
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，
（1）根据即可求解；
（2）利用，先求出，再利用，求出，问题随之得解．
【小问1详解】
在中，，．
，
，
即的长为米；
【小问2详解】
在中，，，
，
，
，
，
，
（米），
即的长为米．
21. 《全唐诗》是清代康熙年间编校的一本唐诗合集，收录二千二百余名诗人的诗作．“春”“夏”“秋”“冬”哪个字最入诗呢？以前有人熟读全书，但却不能归类分析，现在我们用大数据分析《全唐诗》，发现这四个字出现的次数由多到少依次为：春、秋、夏、冬，其中，“夏”、“冬”两字出现的次数大约占和．
（1）《全唐诗》中“夏”字约出现了___________次，“秋”字约出现了___________次，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“秋”字所在的圆心角是___________度；
（3）《全宋词》荟萃了宋代三百年间的词作，若其中“春”“夏”“秋”“冬”四字共出现了20000次，依据唐朝诗人对四季的爱好，请你估计《全宋词》中“春”字大约出现了多少次．
【答案】（1）2600；15200；统计图见解析
（2）
（3）10500次
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体：
（1）用“冬”出现的次数除以其占比求出总次数，进而求出“夏”和“秋”的次数，最后补全统计图即可；
（2）用360度乘以“秋”字的占比即可得到答案；
（3）用20000乘以《全唐诗》中“春”字的占比即可得到答案．
【小问1详解】
解：（次），
（次），
（次），
∴《全唐诗》中“夏”字约出现了2600次，“秋”字约出现了15200次，
补全统计图如下所示：
【小问2详解】
解：，
∴扇形统计图中“秋”字所在的圆心角是，
故答案为：；
【小问3详解】
解：（次），
∴估计《全宋词》中“春”字大约出现了10500次．
22. 如图，是的直径，，过点作的切线交的延长线于点，连接．

（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理：
（1）由切线的性质得到，再由圆周角定理证明，进一步证明，则，即．
（2）先求出，再推出．解直角三角形得到，则半径．
【小问1详解】
证明：连接OC，
是的切线，
，
，
，
∵
，
，
，
，即．
【小问2详解】
解：如图所示，连接AD，
是的直径，
，
，
，
．
在中，，
，
半径．
23. 茶道被视为一种修身养性的生活艺术，图中的茶筒、茶漏、茶夹、茶匙、茶针、茶则等六样器具，被饮茶爱好者统称为“茶道六君子”．某网店销售甲、乙两种“茶道六君子”套装，若购买1套甲种套装和3套乙种套装共需用200元；若购买2套甲种套装和2套乙种套装共需用240元．
（1）求甲、乙两种套装的单价．
（2）某学校社团开展茶文化学习活动，需要从该网店购进甲、乙两种套装共10套，且总金额不超过500元，请通过计算说明最多可购买多少套甲种套装．
【答案】（1）甲种套装的单价为80元，乙种套装的单价为40元；
（2）最多购买2套甲种套装．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设甲种套装的单价为元，乙种套装的单价为元，根据“购买1套甲种套装和3套乙种套装共需用200元；购买2套甲种套装和2套乙种套装共需用240元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买套甲种套装，则购买套乙种套装，利用总价单价数量，结合总价不超过500元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
【小问1详解】
解：设甲种套装的单价为元，乙种套装的单价为元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种套装的单价为80元，乙种套装的单价为40元；
【小问2详解】
解：设购买套甲种套装，则购买套乙种套装，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为2．
答：最多购买2套甲种套装．
24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于，交轴于．
（1）求m、n的值及反比例函数的表达式；
（2）求的面积：
（3）将直线向下平移个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求的值．
【答案】（1），，
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键．
（1）将，代入求出，的值，再把点坐标代入反比例函数，求出的值即可；
（2）先求出的长，再利用即可得出结论；
（3）先得出直线平移后的解析式，再与反比例函数的解析式联立得出关于的一元二次方程，由直线与反比例函数的图象有唯一交点得出的值，再由即可得出结论．
【小问1详解】
解：将，代入得，
，，
解得，，
将代入，得，即；
【小问2详解】
解：，当时，，
即，
，
，
；
【小问3详解】
解：直线向下平移个单位得新直线，
与联立得，
消得，化简得，
直线与反比例函数的图象有唯一交点，
，
解得或，
，
（舍去），
即．
25. 如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点，，是第一象限内二次函数图象上一动点，过点作于点，交于点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）求的最大值．
（3）如图2，过点作的垂线，交轴于点，交二次函数图象的对称轴于点，连接、，是否存在点使得？若存在，直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，点的横坐标为1或
【解析】
【分析】（1）根据求出点C的坐标，再把点A，C坐标代入，求出a，c的值即可；
（2）求出直线的解析式，设，求出的长，再根据二次函数的性质可得出的最大值；
（3）根据勾股定理求出的值，证明，得，得一元二次方程，求出方程的解即可得出点P的横坐标．
【小问1详解】
，
，
，
，
，
把代入，得：，解得，
二次函数表达式为；
【小问2详解】
如图1，过点作于点，
设直线解析式为，
把代入得：，解得，
直线的解析式为，
设，则，
，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
，
最大值为．
【小问3详解】
存在点使得，此时点的横坐标为1或．
理由如下：
如图2，过点作于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，
轴，
，
，
，
，，
同理可得，，
，
在中，，
在对称轴上，则，
，
，
，
，
，
，
，，，
，，，
，
，
，
，解得，，
存在点使得，此时点的横坐标为1或．
【点睛】本题主要考查运用待定系数法求函数关系式，求函数的最值，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，求出，，的值是解答本题的关键．
26. 矩形中，，．点在边、上运动，连接，将射线绕点逆时针旋转，交直线CD于点．
（1）如图1，当点恰好与点重合时，则__________度；
（2）过点作于点，连接．
①如图2，当F落在线段上时．求的度数；
如图3，当落在线段的延长线上且时，求．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）利用矩形的性质，结合三角函数，即可作答；
（2）①连接，先证明 ，再证明，即有，问题即可作答；②连接，过点G作交延长线于点P，的延长线于点Q，根据①的方法同理可证明，易得四边形是矩形，再证明，即有， 在中，可得，设，，即有 ，，可得，问题随之得解．
【小问1详解】
∵在矩形中，，，
∴，，
∴在中，，
∴，
当点恰好与点重合时，则，
故答案为：；
【小问2详解】
①连接，如图，
在（1）中已求出，则有，
根据旋转可知：，
∵，
∴在中，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②连接，过点G作交延长线于点P，的延长线于点Q，
根据①的方法同理可证明，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
设，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，灵活运用相似三角形的判定与性质，作出科学的辅助线，是解答本题的关键．