2024-2025学年天津市静海区第一中学高一下学期3月学生学业能力调研数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年天津市静海区第一中学高一下学期3月学生学业能力调研数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知A1,0、B2,1，若向量是与AB⇀方向相同的单位向量，则a=( )
A. 1,1B. 1,0C. 22,− 22D. 22, 22
2.已知a，b均为单位向量，(2a+b)⋅(a−2b)=−3 32，则a与b的夹角为( )
A. π6B. π3C. π4D. π2
3.在▵ABC中，若a=5 2，c=10，A=30 ∘，则B等于( )
A. 105°B. 60°或120°C. 15°D. 105°或15°
4.设a，b是非零向量，“a⋅b=ab”是“a//b”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.在▵ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a= 3，A=60∘，若cs2B=12，则b=( )
A. 1B. 3C. 2D. 2 2
6.如图，在▵ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M,N，若AB=mAM，AC=nAN，m>0,n>0，则2m+8n的最小值( )
A. 2B. 8C. 9D. 18
7.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，CO=3CE，BE的延长线与CD交于点F.若AB→=a→，AD→=b→，则EF→=( )
A. 67a−16bB. −130a+16bC. 130a+16bD. 67a+16b
8.已知▵ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确个数是( )
①若sin2A=sin2B，则▵ABC定为等腰三角形
②若a2+b2−c2>0，则▵ABC一定是锐角三角形
③若点M是边BC上的点，且AM=23AB+13AC，则▵AMC的面积是▵ABC面积的13
④若▵ABC平面内有一点O满足：OA+OB+OC=0，且OA=OB=OC，则▵ABC为等边三角形
⑤若OA⋅(AC|AC|−AB|AB|)=OB⋅(BC|BC|−BA|BA|)=0，则点O是▵ABC的内心
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
9.已知向量a=(−2,2),b=(1,1)，则a−b在b方向上的投影向量为 ．
10.在ΔABC中，若ac=8，a+c=7，B=π3，则b= ．
11.已知向量a=1,2，b=x,1.若a,b为锐角，则x的取值范围是 ．
12.如图，要计算西湖岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得AD⊥CD,AD=10km,AB=14km,∠BAD=60∘,∠BCD=135∘，则两景点B与C的距离为 km．
13.在平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA⋅DC=1,BA⋅BC=12，则AC= ；BD⋅CD= ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题12分)
已知平面向量a=−3e1+2e2，b=5e1+e2，其中e1=1,0，e2=0,1．
(1)求与的夹角θ；
(2)若c=4e1−2e2与ka+b共线，求实数k的值．
15.(本小题12分)
在▵ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsinB，ac= 5(a2−b2−c2)．
(I)求csA的值；
(II)求sin(2B−A)的值．
16.(本小题12分)
在三角形ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=3 2，b=3，csA=cs2B．
(1)求边c的长；
(2)若D为直线BC上的一点，且CD⇀=2BD⇀，求AD⇀．
17.(本小题12分)
如图，在边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，且AP=25AC，则
(1)求DP⋅BP；
(2)若点M为线段BD(含端点)上的动点，求MP⋅MB的最小值；
(3)求数量积是向量中常见常考的问题，根据本题试总结常用的求数量积的方法以及每个方法适用范围．
18.(本小题12分)
在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知asinB=bsin2A．
(1)求角A的大小．
(2)若b=3，▵ABC的面积为3 3，求▵ABC的周长．
(3)若▵ABC为锐角三角形，求2csB+csC的取值范围．
参考答案
1.D
2.A
3.D
4.A
5.A
6.C
7.B
8.B
9.−b/−1,−1
10.5
11.(−2,12)∪(12,+∞)
12.3 2
13.1 ；1+ 32
14.(1)因为e1=1,0，e2=0,1，
所以a=−3e1+2e2=(−3,2)，b=5e1+e2=(5,1)，
a⋅b=−3×5+2=−13，|a|= 13,|b|= 26，
∴csθ=a→⋅b→|a→||b→|=−13 13× 26=− 22，
∵0≤θ≤π，∴θ=3π4．
(2)c=4e1−2e2=(4,0)−(0,2)=(4,−2)，ka+b=k(−3,2)+(5,1)=(5−3k,2k+1)，
∵c=4e1−2e2与ka+b共线，∴4(2k+1)+2(5−3k)=0，
解得k=−7．
即实数k的值为−7．

15.(Ⅰ)解：由asinA=4bsinB，及asinA=bsinB，得a=2b．
由ac= 5a2−b2−c2，及余弦定理，得csA=b2+c2−a22bc=− 55acac=− 55．
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)，可得sinA=2 55，代入asinA=4bsinB，得sinB=asinA4b= 55．
由(Ⅰ)知，A为钝角，所以csB= 1−sin2B=2 55.于是sin2B=2sinBcsB=45，
cs2B=1−2sin2B=35，故
sin2B−A=sin2BcsA−cs2BsinA=45×− 55−35×2 55=−2 55．
16.(1)方法一：∵a=3 2，b=3，∴sinA= 2sinB①.
又csA=cs2B ②，所以①与②平方相加得2sin2B+cs22B=1，
即cs22B−cs2B=0，∴cs2B=0或cs2B=1．
又a>b，∴B为锐角，∴0