山西大学附属中学校2024−2025学年高一下学期（3月）开学考试（总第二次） 数学试题（含解析）

这是一份山西大学附属中学校2024−2025学年高一下学期（3月）开学考试（总第二次） 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设，为非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
4．在中，，，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．在中，，E为AD的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
6．已知向量满足，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在平行四边形ABCD中，已知，，，，则的值是（ ）
A．8B．12C．22D．24
8．已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（ ）
A．B．0C．1D．2
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知向量，则（ ）
A．
B．
C．与的夹角可能为
D．向量与不可能垂直
10．的内角的对边分别为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．是锐角三角形
C．若，则外接圆半径为4
D．的最大内角是最小内角的2倍
11．如图，延长正方形的边至点E，使得，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（ ）
A．满足的点P必为的中点B．满足的点P有两个
C．满足的点P有且只有一个D．的点P有两个
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知点，，若，则点的坐标为 ．
13．已知，在方向上的投影向量的模为1，则坐标可以是 写一个即可
14．在中，，为的重心，的中垂线交于点，且，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量，，．
(1)求；
(2)若向量，试用表示；
(3)若，求实数的值．
16．在中，角所对的边分别为，已知.
(1)若，求角的大小；
(2)若，求边上的高.
17．的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若的面积为．求的周长．
18．在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且．
(1)求的值；
(2)若为线段上任意一点，求的取值范围．
19．在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为．
(1)已知，求；
(2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是；
②在中，且，若，求．
参考答案
1．【答案】B
【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立，
故得不到，
若，则，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选B.
2．【答案】C
【详解】如图，在平行四边形中，且，
A：，故A正确；
B：，故B正确；
C：由，得，故C错误；
D：，故D正确.
故选C.
3．【答案】C
【详解】解：若，
则，即，
向量，，
则，解得
故选C.
4．【答案】B
【详解】解：中，，
，
即，化简得，
解得或（不合题意，舍去），
，
故选B．
5．【答案】A
【详解】中，不共线，又因为，
则，
因为为的中点，，
所以.选A.
6．【答案】D
【详解】已知，移项可得，
因为，所以，
对两边同时平方可得，
根据完全平方公式则，
又因为，，所以可化为，
由，移项可得，则，
根据向量的数量积公式，将，，代入可得：，
则.
故选D.
7．【答案】C
【详解】易知：，，且，.
由.
故选C.
8．【答案】B
【详解】可设，，，
则.
可设，
则.
故选B.
9．【答案】AD
【详解】对于A:因为，所以，故A正确.
对于B:因为，所以,
当时, ，故B错误.
对于C:因为，二者不可能反向，所以与的夹角不可能为，故C错误.
对于D:因为
所以,
令,无解，所以向量与不可能垂直，故D正确.
故选AD.
10．【答案】ABD
【详解】设，，.
将这三个式子相加可得：，即.
用分别减去，，，可得：
，，.
所以.
根据正弦定理（为外接圆半径），
可得，故选项A正确.
因为最大，所以角最大.
根据余弦定理，将，，代入可得：
，所以角为锐角.
因为最大角为锐角，所以是锐角三角形，故选项B正确.
已知，由，可得，则.
由正弦定理，，可得.
所以，则，故选项C错误.
因为最小，所以角最小.
.
，而，所以.
因为，是三角形内角，所以，故选项D正确.
故选ABD.
11．【答案】BCD
【详解】如图建系，取，∵，

∴，
动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，
当时，有且，∴，∴，
当时，有且，则，∴，∴，
当时，有且，则，∴，∴，
当时，有且，则，∴，∴，
综上，，
选项A，取，满足，此时，因此点不一定是的中点，故A错误；
选项B，当点取点或的中点时，均满足，此时点有两个，故B正确；
选项C，当点取点时，且，解得，为，故C正确；
选项D，当点取的中点或的中点时，均满足，此时点有两个，故D正确；
故选BCD.
12．【答案】
【详解】设点的坐标为，
因为点，，
则，
又，
所以，
所以，则的坐标为.
13．【答案】
【详解】设
则满足方程的点均可.
14．【答案】
【详解】如图，作于点，则在上的投影向量为．
由于，
因，故，又为的重心，则，所以，
可得，故，
即在上的投影向量为．
所以．
15．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，，
所以，
所以.
（2）由题可知与不共线，故设()，
即，
所以，解得，．
因此.
（3）由题意得．
因为，
所以，
解得.
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理求得，再判断角的范围,即可求得角；
（2）先由余弦定理求出角，再借助于直角三角形中三角函数的定义计算即得.
【详解】（1）由正弦定理，，即，
因，故,即是锐角，故；
（2）
如图，由余弦定理，，
知角是锐角，则，
作于点，在中，,
即边上的高是.
【方法总结】（1）由正弦定理求得，再判断角的范围,即可；
（2）先由余弦定理求出角，再借助于三角函数的定义计算即得.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，由，得，
则，整理得，
而，则，又，
所以.
（2）由，得，即，
又，则，整理得，
因此，解得，所以的周长为.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系，
则、、、，
因为，，，
所以，所以，所以点，
设，则，，
因为，所以，解得，
所以，，则．
（2）解：由（1）知，，设，其中，
则，
所以，
因为，故当时，取得最大值，
当时，取得最小值，
故的取值范围为．
19．【答案】(1)1
(2)①证明见解析 ；②
【详解】（1）因为，
所以.
（2）①因为
，
且，，则，
所以.
若，等价于，即，
所以的充分必要条件是；
②因，
则，
可得，
即，可得，
又因为，可知点为的重心，则，
可得，
则，
，
，
可得，
所以.