山西大学附属中学校2024~2025学年高三上学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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数 学 试 题
考查时间：120分钟 满分：150分
一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 设集合，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及集合的包含关系列式计算即得.
【详解】由，得，即，此时，
由，得，而，所以.
故选：A
2. 若复数满足（其中是虚数单位），则虚部是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用复数的运算法则化简，然后根据虚部的概念求解即可.
【详解】依题意，，的虚部是.
故选：B
3. 已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性、定义域结合三角函数的性质判定即可.
【详解】观察图象可知函数为偶函数，
对于A，，为奇函数，排除；
对于B，，为奇函数，排除；
同理，C、D选项为偶函数，而对于C项，其定义域为，不是R，舍去，故D正确.
故选：D
4. 我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示．若圆柱材料的截面圆的半径长为3，圆心为O，墙壁截面ABCD为矩形，且劣弧的长等于半径OA长的2倍，则圆材埋在墙壁内部的阴影部分截面面积是（ ）
A. B. C. D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】先计算出扇形的面积，再求出，相减得到答案.
【详解】由题意得，劣弧，
故扇形的面积为，
设圆心角为，则，
故，
故圆材埋在墙壁内部的阴影部分截面面积为.
故选：A
5. 已知，，则使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用充分不必要条件定义逐项分析判断即得.
【详解】对于A，令，显然有，而，A不是；
对于B，当，时，，B不是；
对于C，当，时，由，得，
当且仅当时取等号，反之取，满足，而不成立，
因此是成立的一个充分不必要条件，C是；
对于D，令，不等式成立，而，D不是.
故选：C
6. 基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键．其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“九章算术”，“古今数学思想”，“数学原理”，“世界数学通史”，“算术研究”五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为（ ）．
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】A
【解析】
【分析】根据分组分配问题，结合排列组合即可求解.
【详解】先将五门课程分成3,1,1和2,2,1这样两种情况，再安排到三个学年中，
则共有种选修方式
故选：A
7. 在边长为4的菱形中，．将菱形沿对角线折叠成大小为的二面角．若点为的中点，为三棱锥表面上的动点，且总满足，则点轨迹的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二面角的平面角可结合余弦定理求解求，进而利用线面垂直可判断点轨迹为，求解周长即可．
【详解】连接、，交于点，连接，
为菱形，，
所以，，，
所以为二面角的平面角，
于是，
又因为，
所以，
取中点，取中点，连接、、，所以、，
所以、，，相交，
所以平面，
所以在三棱锥表面上，满足的点轨迹为，
因为，，，
所以的周长为，
所以点轨迹的长度为．
故选：A．
8. 已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先把化成，求出的零点的一般形式为，根据在区间内没有零点可得关于的不等式组，结合为整数可得其相应的取值，从而得到所求的取值范围.
【详解】由题设有，
令，则有即.
因为在区间内没有零点，
故存在整数，使得，
即，因，所以且，故或，
所以或，
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数在给定范围上的零点的存在性问题，此类问题可转化为不等式组的整数解问题，本题属于难题.
二．选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分）
9. 已知向量，不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. 向量，在上的投影向量相等D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件，结合向量加法几何意义可得，再借助数量积的运算律逐项分析判断即得.
【详解】作向量，在中，，，
由向量平分与的夹角，得是菱形，即，
对于A，与不一定垂直，A错误；
对于B，，即，B正确；
对于C，在上的投影向量，
在上的投影向量，C正确；
对于D，由选项A知，不一定为0，则与不一定相等，D错误.
故选：BC
10. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，当时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，则，下列说法中正确的是（ ）
A. 关于的函数是偶函数
B. 若在时刻，游客甲距离地面的高度相等，则的最小值为30
C. 摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟
D. 若甲、乙两游客分别坐在两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧的弧长米
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A，先根据题意确定各参数的值，再根据三角函数的奇偶性判断即可；对B，根据代入解析式可得，或，进而可判断；对C，求解即可；对D，由题意每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为，进而可得劣弧的弧长.
【详解】对A，由题意，，
所以，当时，可得，所以，
故，所以是非奇非偶函数，故A错误；
对B，由题意，即，
即，所以，或，
，即或，，故B正确；
对C，由题意，即，即，
所以，，解得.
所以摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟，故C正确；
对D，因为摩天轮的圆周上均匀地安装着36个座舱，
故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为，
因为两个座舱相隔5个座舱，所以劣弧对应的圆心角是，
故（m）.故D正确.
故选：BCD
11. 已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据为奇函数可求出判断A，再由为奇函数，为偶函数求出可得周期，据此可判断B，根据函数的周期可求的周期判断CD.
【详解】因为非常数函数及其导函数的定义域均为，
若为奇函数，则，则的图象关于点对称，且，故A错误；
因为为偶函数，所以，即，
则，又，所以，
所以，即，所以，
故的周期为8，所以，，在中，令，得，所以，故B正确；
对两边同时求导，得，
所以导函数的周期为8，所以，故C正确；
由周期，得，，对两边同时求导，得，令，得，
所以，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：（本题共3 小题，每小题5分，共．）
12. 的展开式中常数项为______.（用数字作答）
【答案】84
【解析】
【分析】根据二项展开式的通项公式求解.
【详解】根据通项公式,
令 ,解得,所以,
故答案为:84.
13. 意大利著名数学家斐波拉契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，其中从第三项起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波拉契数列”.那么是斐波拉契数列中的第_____________项.
【答案】2024
【解析】
【分析】利用代入原式计算即可.
【详解】由已知
，
.
即是斐波拉契数列中的第2024项.
故答案为：2024.
14. 已知函数，则方程恰好有6个不同的解，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】令，，作出图象，作出图像，通过图象分析解的各种情况．
【详解】令，，
作出图象，作出图像，
时，
有两根，设为，，
则，，
即，此时有2个根，
，此时有2个根，
共4个根，不满足条件.
时，，
解得或或6，
即，无解，
，2解，
，2解，
共4个解，不满足条件.
时，，
有四个根，设为，，，，
其中，，，，
即，无解，
，无解，
，2解，
，2解，
共4个解，不满足条件.
时，有4个根，0，2，，（），
，1解，
，1解，
，2解，
，2解，
共6解，满足条件.
时，，
有3个根，设为，，，
其中，，，
即有2解，
有2解，
有2解，
共6解，满足条件.
时，，
有两根和3，
有2个根，
有2个根，
共4个根，不满足条件，
综上.
故答案为.
【点睛】本题考查函数与方程根的分布问题，解题时可把复杂的方程简单化，如设，方程化为，，这样可作出两个函数和的图象，由图象分析方程根的所有可能情形，从而得出结论．数形结合思想是解这类问题的重要思想方法．
四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15. 已知递增的等比数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解首项和公比即可，
（2）利用错位相减法求解即可.
【小问1详解】
设等比数列an公比为，
由题意有，解得，
所以．
【小问2详解】
，
所以，
，
．
16. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别为上的点，且.

（1）证明：平面；
（2）若平面为的中点，，求二面角的正切值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用面面平行，然后得到线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解面面夹角，从而求解.
【小问1详解】
证明：如图，在CD上取一点，使得，连接，，CE，
因为底面是平行四边形，所以，所以BE=DG，
因为，，所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以 平面，
又因为，所以，所以，
因为平面，平面，所以 平面，
又因为，平面，所以平面 平面，
因为平面，所以 平面.
【小问2详解】
当为AB中点，，，易知，为中点，
又因为平面，所以两两垂直，
则以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如（1）图，
设，则，，，，
所以，，.
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
所以，
故二面角的正弦值为，
所以正切值为.
故二面角的正切值为.
17. 在直角坐标系中，抛物线与直线交于两点．
（1）若点的横坐标为4，求抛物线在点处的切线方程；
（2）探究轴上是否存在点，使得当变动时，总有？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在；
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求解；
（2）总有，即直线与直线的倾斜角互补，即恒有，联立直线与抛物线方程，得到韦达定理代入运算，判断得解.
【小问1详解】
由已知，得，因为，所以，斜率，
因此，切线方程为，即．
【小问2详解】
存在符合题意的点，理由如下：
设点为符合题意的点，，直线的斜率分别为．
联立方程，得，
因，则，可得，
从而
，
因为不恒为0，可知当且仅当时，恒有，
则直线与直线的倾斜角互补，故，
所以点符合题意．
18. 已知函数
（1）求函数的周期和对称轴方程；
（2）若将的图像上的所有点向右平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像．若方程在上的零点从小到大依次为，，，求的值；
（3）若方程在上的解为，求．
【答案】（1），对称轴方程，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先利用诱导公式及辅助角公式化一，再根据正弦函数的周期性和对称性求解即可；
（2）先根据平移变换和周期变换的原则求出函数hx的解析式，再根据正弦函数的性质求解即可；
（3）由题意可得为方程在0,π上的两解，不妨设，求出，再根据二倍角的余弦公式即可得解.
【小问1详解】
，
，
令，得
∴对称轴方程；
【小问2详解】
由题意可得，
由方程由，可得，
因为，则，
令，则，所以，，
设，
直线与函数在上的图象有四个交点，
点、关于直线对称，点、关于直线对称，
点、关于直线对称，
所以，，，即，
即，解得；
【小问3详解】
方程在0,π上的解为，
∴为方程在0,π上的两解，不妨设，
当x∈0,π时，，
，，，，
，，，，
，，
，，
∴．
【点睛】方法点睛：给值求值的方法：
（1）直接法：当已知两个角时，所求角一般表示为两个角的和或差的形式；
（2）常值代换：用某些三角函数代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，我们把这种代换称之为常值代换，其中要特别注意的是“”的代换，如，，等，、、、、等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数使用；
（3）角的代换：将未知角利用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的方法就是角的代换，常见的有：
，，，
，，
，等.
19. 在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”.
（1）判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由；
（2）已知函数是“旋转函数”，求的最大值；
（3）若函数是“旋转函数”，求的取值范围.
【答案】（1）不是，理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数的定义直接判断即可.
（2）将已知条件转化为函数与直线最多一个交点，利用两个函数图象的交点与对应方程根的关系，分离，构造新函数，转化为新函数在上单调，进而求解.
（3）同问题（2）根据已知条件构造新函数，转化为新函数在上单调，求导，分离参数，转化为恒成立问题求最值即可.
【小问1详解】
函数不是“旋转函数”，理由如下：
逆时针旋转后与轴重合，
当时，有无数个与之对应，与函数的概念矛盾，
因此函数不是“旋转函数”.
【小问2详解】
由题意可得
函数与函数最多有1个交点，
且，
所以最多有一个根，
即最多有一个根，
因此函数与函数R最多有1个交点，
即函数在上单调，
因为，且，
所以，所以，
即，，即的最大值为.
【小问3详解】
由题意可得函数与函数最多有1个交点，
即，
即函数与函数最多有1个交点，
即函数在上单调，
，当时，
所以，
令，则，
因为在上单调减，且，
所以存在，使，
即，
所以在单调递增，单调递减，
所以，
即.
【点睛】方法点睛：利用函数的零点与对应方程的根的关系，我们经常进行灵活转化：
函数的零点个数方程的根的个数函数与图象的交点的个数；
另外，恒成立求参数范围问题往往分离参数，构造函数，通过求构造函数的最值来求出参数范围，例：若恒成立，只需，恒成立，只需.