山西大学附属中学校2024-2025学年高一下学期（3月）开学考试（总第二次） 数学试题（含解析）

这是一份山西大学附属中学校2024-2025学年高一下学期（3月）开学考试（总第二次） 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了 已知向量，，若，则， 在中，，，则的值为， 在中，，E为AD的中点，则， 已知向量满足，则， 已知向量，则等内容，欢迎下载使用。
2024～2025学年第二学期高一（3月）开学考试（总第二次）
数 学 试 题
考查时间：120分钟 满分：100分 考查内容：平面向量
一．选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设，为非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系.
【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立，
故得不到，
若，则，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
2. 在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，根据平面向量的线性运算依次判断选项即可.
【详解】如图，在平行四边形中，且，
A：，故A正确；
B：，故B正确；
C：由，得，故C错误；
D：，故D正确.
故选：C
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
【详解】解：若，
则，即，
向量，，
则，解得
故选：C
4. 在中，，，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理建立一元二次方程进行求解即可．
【详解】解：中，，
，
即，化简得，
解得或（不合题意，舍去），
，
故选：B．
5. 在中，，E为AD的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】选定基向量，利用向量的线性运算计算出，再由平面向量基本定理而得.
【详解】中，不共线，又因为，
则，
因为为的中点，，
所以.
故选：A.
6. 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据得到与的关系，再结合向量的数量积公式来求解.
【详解】已知，移项可得，
因为，所以，
对两边同时平方可得，
根据完全平方公式则，
又因为，，所以可化为，
由，移项可得，则，
根据向量的数量积公式，将，，代入可得：，
则.
故选：D.
7. 如图，在平行四边形ABCD中，已知，，，，则的值是（ ）
A. 8B. 12C. 22D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】以为基底，表示出向量，，再根据向量数量积的运算可得结果.
【详解】易知：，，且，.
由.
故选：C
8. 已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】可设，，，由得到满足的关系，再求的最小值.
【详解】可设，，，
则.
可设：，则
.
故选：B
【点睛】方法点睛：由题意可知：，都是单位向量，且夹角确定，所以可先固定，，这样就只有发生变化，求最值就简单了一些.
二．选择题：本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，则（ ）
A.
B.
C. 与的夹角可能为
D. 向量与不可能垂直
【答案】AD
【解析】
【分析】利用平面向量的模长公式可判断选项AB;利用向量夹角的计算可判断选项C;利用向量垂直的坐标表示可判断选项D.
【详解】对于A:因为，所以，故A正确.
对于B:因为，所以,
当时, ，故B错误.
对于C:因为，二者不可能反向，所以与的夹角不可能为，故C错误.
对于D:因为
所以,
令,无解，所以向量与不可能垂直，故D正确.
故选：AD.
10. 的内角的对边分别为，若，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 是锐角三角形
C. 若，则外接圆半径为4
D. 的最大内角是最小内角的2倍
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据已知条件求出三边的比例关系，再结合正弦定理、余弦定理以及三角形外接圆半径公式等知识逐一分析选项.
【详解】设，，.
将这三个式子相加可得：，即.
用分别减去，，，可得：
，，.
所以.
根据正弦定理（为外接圆半径），
可得，故选项A正确.
因为最大，所以角最大.
根据余弦定理，将，，代入可得：
csC=(4k)2+(5k)2−(6k)22×4k×5k=16k2+25k2−36k240k2=18>0，所以角锐角.
因为最大角为锐角，所以是锐角三角形，故选项B正确.
已知，由，可得，则.
由正弦定理，，可得.
所以，则，故选项C错误.
因为最小，所以角最小.
.
，而，所以.
因为，是三角形内角，所以，故选项D正确.
故选：ABD.
11. 如图，延长正方形边至点E，使得，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（ ）
A. 满足的点P必为的中点B. 满足的点P有两个
C. 满足的点P有且只有一个D. 的点P有两个
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立坐标系，讨论，，，四种情况，依次求出的范围，再判断每个选项的正误，即可得出结果.
【详解】如图建系，取，∵，

∴，
动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，
当时，有且，∴，∴，
当时，有且，则，∴，∴，
当时，有且，则，∴，∴，
当时，有且，则，∴，∴，
综上，，
选项A，取，满足，此时，因此点不一定是的中点，故A错误；
选项B，当点取点或的中点时，均满足，此时点有两个，故B正确；
选项C，当点取点时，且，解得，为，故C正确；
选项D，当点取中点或的中点时，均满足，此时点有两个，故D正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：
求解本题的关键在于根据题中所给条件，利用建系的方法，讨论的位置，根据，确定的范围，即可求解.（向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化）
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知点，，若，则点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】设点的坐标为，求得的坐标，代入，即可求得点的坐标,
【详解】设点的坐标为，
因为点，，
则，
又，
所以，
所以，则的坐标为.
故答案为：.
13. 已知，在方向上的投影向量的模为1，则坐标可以是__________写一个即可
【答案】
【解析】
【分析】设，由向量投影向量的模长公式建立等式，得到满意题意的向量坐标.
【详解】设
则满足方程的点均可.
故答案为：.
14. 在中，，为重心，的中垂线交于点，且，则________．
【答案】
【解析】
【分析】作于点，知在上的投影向量为，由已知条件和平面向量的数量积的运算求得，得到，判定，得到，进而利用两个向量的数量积运算公式计算即可.
【详解】如图，作于点，则在上的投影向量为．
由于，
因，故，又为的重心，则，所以，
可得，故，
即在上的投影向量为．
所以．
故答案为：36.
四．解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知向量，，．
（1）求；
（2）若向量，试用表示；
（3）若，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先写出的坐标，再计算模长即可；
（2）按照向量的坐标运算解方程即可；
（3）先求出向量的坐标，再结合的坐标按照向量共线解方程即可.
【小问1详解】
因为，，
所以，
所以.
【小问2详解】
由题可知与不共线，故设()，
即，
所以，解得，．
因此.
【小问3详解】
由题意得．
因为，
所以，
解得.
16. 在中，角所对的边分别为，已知.
（1）若，求角的大小；
（2）若，求边上的高.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理求得，再判断角的范围,即可求得角；
（2）先由余弦定理求出角，再借助于直角三角形中三角函数的定义计算即得.
【小问1详解】
由正弦定理，，即，
因，故,即是锐角，故；
【小问2详解】
如图，由余弦定理，，
知角是锐角，则，
作于点，在中，,
即边上的高是.
17. 的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若的面积为．求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用和差角的正弦公式化简即得.
（2）利用三角形面积公式及余弦定理求解即得.
【小问1详解】
在中，由，得，
则，整理得，
而，则，又，
所以.
【小问2详解】
由，得，即，
又，则，整理得，
因此，解得，所以的周长为.
18. 在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且．
（1）求的值；
（2）若为线段上任意一点，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系，根据题中条件求出点、的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值；
（2）设，其中，求出向量、的坐标，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【小问1详解】
解：以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系，
则、、、，
因，，，
所以，所以，所以点，
设，则，，
因为，所以，解得，
所以，，则．
【小问2详解】
解：由（1）知，，设，其中，
则，
所以，
因为，故当时，取得最大值，
当时，取得最小值，
故的取值范围为．
19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为．
（1）已知，求；
（2）①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是；
②在中，且，若，求．
【答案】（1）1 （2）①证明见解析 ；②
【解析】
【分析】（1）直接根据“相高度”的定义代入向量坐标计算；
（2）①需要利用向量夹角公式和“相高度”的定义进行推导证明；
②先根据已知条件，结合重心性质，求出、的坐标关系，再代入“相高度”公式计算.
【小问1详解】
因为，
所以.
【小问2详解】
①因为
，
且，，则，
所以.
若，等价于，即，
所以的充分必要条件是；
②因，
则，
可得，
即，可得，
又因为，可知点为的重心，则，
可得，
则，
，
，
可得，
所以.