2025年中考第一次模拟考试卷：数学（甘肃兰州卷）（解析版）

这是一份2025年中考第一次模拟考试卷：数学（甘肃兰州卷）（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．﹣8的相反数是（ ）
A．8B．﹣8C．±8D．不存在
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【解答】解：﹣8的相反数是8．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
2．若∠A＝47°，则∠A的余角的度数为（ ）
A．133°B．123°C．43°D．33°
【分析】根据互余两角之和等于90°即可得出答案．
【解答】解：∵∠A＝47°，
∴∠A的余角＝90°﹣∠A＝90°﹣47°＝43°．
故选：C．
【点评】本题考查了余角的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟记互余两角之和等于90°．
3．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（ ）
A．2.15×107B．0.215×108C．2.15×106D．21.5×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将21500000用科学记数法表示为：2.15×107．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝5B．（x+3）2＝13C．（x﹣3）2＝13D．（x﹣3）2＝7
【分析】先移项，再配方，再得出选项即可．
【解答】解：x2﹣6x﹣4＝0，
移项，得x2﹣6x＝4，
配方，得x2﹣6x+9＝4+9，
即（x﹣3）2＝13，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
5．如图是根据某班50名同学每天课外阅读的时间制成的条形统计图，根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．这组数据的平均数是12.5
B．这组数据的众数是20
C．这组数据的中位数是2
D．这组数据的中位数是17.5
【分析】根据图表，分别求出这组数据的平均数，众数以及中位数进行判断即可．
【解答】解：由题意得：
平均数为：，
众数为：3，
中位数为：2，
故选：C．
【点评】本题主要考查条形统计图，平均数，众数及中位数的计算，熟练掌握平均数，众数及中位数的概念和计算方法是解决本题的关键．
6．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ）
A．B．C．D．网
【分析】根据人数是不变的和每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：设物价是x钱，根据题意可得，
＝，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
7．如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A，B的对应点分别为A′，B′，点A，B，A′，B′均在图中的格点上．若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（ ）
A．（﹣，n ）B．（m，n ）C．（m， ）D．（， ）
【分析】根据A，B两点坐标以及对应点A′，B′点的坐标得出坐标变化规律，进而得出P′的坐标．
【解答】解：∵△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上，
即A点坐标为：（4，6），B点坐标为：（6，2），A′点坐标为：（2，3），B′点坐标为：（3，1），
∴线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为：（， ）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质，根据已知得出对应点坐标的变化是解题关键．
8．给出下列函数：①y＝﹣3x+2；②；③y＝5x2；④y＝3x，上述函数中符合条件“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大”的是（ ）
A．①③B．②③C．②④D．③④
【分析】分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案．
【解答】解：①y＝﹣3x+2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项不符合题意；
②y＝，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项不符合题意；
③y＝5x2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大，故此选项符合题意；
④y＝3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的性质，正确把握相关性质是解题关键．
9．定义新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a﹣2b．若关于x的不等式x⊗m＞1的解集为x＞﹣1，则m的值（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】根据定义新运算的法则得出不等式，解不等式，再根据解集列方程即可求出m的值．
【解答】解：∵a⨂b＝a﹣2b，
∴x⨂m＝x﹣2m．
∵x⨂m＞1，
∴x﹣2m＞1，
∴x＞2m+1．
∵关于x的不等式x⨂m＞1的解集为x＞﹣1，
∴2m+1＝﹣1，
∴m＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查解一元一次不等式、新定义，读懂新定义并熟练的解不等式是解题的关键．
10．如图，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠CAB＝15°，再根据三角形外角的性质可得∠ACD＝30°，再根据直角三角形的性质可得，即可．
【解答】解：由条件可知：∠B＝∠CAB＝15°，
∴∠ACD＝∠B+∠CAB＝15°+15°＝30°，
∵AD⊥BC，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质及直角三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
11．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝40°，过点B作BD∥AC，交⊙O于点D，连接CD，则∠DCB的大小为（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【分析】由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解∠ACB＝70°，利用圆周角定理可求得∠BDC＝40°，结合平行线的性质可求解∠ACD＝40°，进而可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∠BDC＝∠BAC＝40°，
∵BD∥AC，
∴ACD＝∠BDC＝40°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝70°﹣40°＝30°，
故选：B．
【点评】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，求解∠ACB，∠ACD的度数是解题的关键．
12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，点P从点A出发沿A→B→C的路径运动到点C停止，点Q以相同的速度沿A→C的路径运动到点C停止，连接PQ，设点P的运动路程为x，△APQ的面积为y，则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分0≤x≤3、3＜x≤5、5＜x≤7三种情况，画出点P、Q的位置计算y值即可．
【解答】解：由AB＝3，AC＝5，知BC＝4，
则sinA＝，则sinC＝，
当0≤x≤3时，如图，
过点Q作QH⊥AB于点H，
则y＝AP•AQsinA＝×x•x×＝x2，该函数图象为开口向上的二次函数，
当3＜x≤5时，如图，
过点Q作QN⊥AC于点N，
则y＝×3×4﹣（3+4﹣x）×（5﹣x）sinC﹣×3×（x﹣3）＝﹣x2+x，该函数图象为开口向下的二次函数，
当5＜x≤7时，
同理可得：y＝﹣x+，该函数图象为一次函数，
故选：C．
【点评】本题考查的是动点问题的函数图象，涉及到二次函数、一次函数、解直角三角形等知识，确定函数表达式是本题解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．若关于x，y的方程组的解满足x+y＞6，则m的取值范围是 m＜﹣4 .．
【分析】方程组中两个方程相加得3x+3y＝﹣3m+6，整理得x+y＝﹣m+2，结合x+y＞6，知﹣m+2＞6，解之即可得出答案．
【解答】解：方程组中两个方程相加得3x+3y＝﹣3m+6，
则x+y＝﹣m+2，
∵x+y＞6，
∴﹣m+2＞6，
解得m＜﹣4，
故答案为：m＜﹣4．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的解和解一元一次不等式，根据题意列出关于m的不等式是解答此题的关键．
14．实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝ 0 ．
【分析】判断出绝对值里面的数的符号，进而去掉绝对值化简即可．
【解答】解：∵c＜b＜0＜a，
∴b﹣a＜0，c﹣a＜0，b﹣c＞0，
∴原式＝|b﹣a|﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝a﹣b﹣（a﹣c）+b﹣c＝a﹣c﹣a+c＝0．
故答案为：0．
【点评】考查绝对值的化简问题；判断出绝对值里面的式子的符号是解决本题的关键；用到的知识点为：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，以点C为圆心，CA为半径画弧，分别与AB、CB交于点D、E，若图中阴影部分的面积为，则AC＝ ．
【分析】如图所示，过点D作DG⊥AC于G，连接CD，先解Rt△ABC得到BC＝AC，再证明△ACD是等边三角形得到∠ACD＝60°，∠ECD＝30°；解Rt△CDG求出GD＝AC，最后根据S阴影＝S△BCD+S扇形CDA﹣S△ACD﹣S扇形CDE进行求解即可．
【解答】解：如图所示，过点D作DG⊥AC于G，连接CD，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴BC＝AC•tan∠BAC＝AC，
∵以AC的长为半径画弧，分别交AB，BC于点D，E，
∴CA＝CD＝CE，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，AG＝CG＝AC，
∴∠ECD＝30°，
在Rt△CDG中，GD＝CD•sin∠DCG＝AC，
∴S阴影＝S△BCD+S扇形CDA﹣S△ACD﹣S扇形CDE
＝GC•BC+﹣AC•GD﹣
＝AC2+﹣AC2﹣，
＝AC2＝，
∴AC＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，解直角三角形，等边三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键．
16．计算：12+22+32+…+n2＝n（n+1）•（2n+1），按以上式子，那么22+42+62+…+602＝ 37820 ．
【分析】根据12+22+32+…+n2＝n（n+1）•（2n+1），可得22+42+62+…+602＝22（12+22+32+⋯+302）＝4×（×30×31×61），计算即可．
【解答】解：∵12+22+32+…+n2＝n（n+1）•（2n+1），
∴22+42+62+…+602
＝22（12+22+32+⋯+302）
＝4×（×30×31×61）
＝37820，
故答案为：37820．
【点评】本题考查的是数字的变化规律和有理数的混合运算，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键．
三、解答题（本大题共12个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（4分）计算：．
【分析】先计算乘方、零次幂、负整数指数幂及绝对值再合并即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝11．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，掌握相应的运算法则是关键．
18．（4分）先化简，再求值：，其中x＝﹣3．
【分析】首先运用分式除法法则计算，再运用分式减法法则计算，然后把x＝﹣3代入化简式计算即可．
【解答】解：
＝•﹣
＝
＝，
当x＝﹣3时，原式＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
19．（4分）如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且AC＝2AB．请用尺规完成基本作图：作出∠BAC的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）
【分析】根据题意作出图即可；
【解答】解：如图：
猜想：DF＝3BF，
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB，
∵AC＝2AB，
∴AO＝AB．
∵∠BAC的角平分线与BO交于点F，
∴点F是BO的中点，即BF＝FO，
∴OB＝OD＝2BF，
∴DF＝DO+OF＝3BF，即DF＝3BF．
【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质．关键在于利用平行四边形的对角线互相平分得到△ABO是等腰三角形．
20．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长．
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【分析】（1）根据题意先证明四边形ABCD是平行四边形，再由AB＝AD可得平行四边形ABCD是菱形；
（2）根据菱形的性质得出OB的长以及∠AOB＝90°，利用勾股定理求出OA的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出OE＝AC，即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝，OB＝OD＝，
∴OB＝＝3，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
∴OA＝，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，O为AC中点，
∴＝4．
【点评】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
21．（6分）六月是水蜜桃大量上市的季节，某果农在销售时发现：若水蜜桃的售价为15元/千克，则日销售量为50千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，现设水蜜桃售价为x元/千克（x≥15，且x为正整数）．
（1）若某日销售量为40千克，则该日水蜜桃的单价为多少元？
（2）若政府将销售价格定为不超过30元/千克，设每日销售额为W元，求W关于x的函数表达式，并求W的最大值和最小值．
【分析】（1）根据售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，且某日销售量为40千克，列方程求解即可；
（2）根据题意，利用每日销售额等于销售量乘以销售单价，列出函数关系式，并将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）由题意得：50﹣2（x﹣15）＝40，
解得：x＝20，
答：该日水蜜桃的单价为20元/千克；
（2）根据题意得：W＝x[50﹣2（x﹣15）]＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，
∵政府将销售价格定为不超过30元/千克，
∴15≤x≤30，且x为正整数，
∵﹣2＜0，
∴x＝20时，W有最大值是800元，x＝30时，W有最小值是﹣2×（30﹣20）2+800＝600（元）．
答：W＝﹣2x2+80x，W最大值是800元，W最小值是600元；
【点评】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．（6分）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）．（参考数据：sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60）
【分析】在Rt△CAD中，利用锐角三角函数可得AD，Rt△CBD中，可得BD＝CD，进而可得CD的长．
【解答】解：在Rt△CAD中，，
则，
在Rt△CBD中，∠CBD＝45°，
∴BD＝CD，
∵AD＝AB+BD，
∴，
解得，CD＝45（m）．
答：这座灯塔的高度CD约为45m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
23．（6分）为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
（1）随机抽取一张卡片，“A志愿者被选中”的概率是 ．
（2）用列表法或画树状图法求抽签活动中A，B两名志愿者被同时选中的概率．
【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）随机抽取一张卡片，“A志感者被选中”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，其中抽签活动中A，B两名志愿者被同时选中的有2种结果，
所以抽签活动中A，B两名志愿者被同时选中的概率为＝．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
24．（6分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制如图所示的两幅不完整的统计图．
请结合图中所给出的信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是 200 ．
（2）补全条形统计图；
（3）若某商场一天内有3000人次支付记录，估计选择微信支付的人数．
【分析】（1）从统计图中可以得到使用支付宝的人数有50人，占调查人数的25%，可求出调查人数，即样本容量，
（2）求出现金支付人数，其它方式支付人数，即可补全条形统计图，
（3）样本估计总体，样本中使用微信支付的占，估计总体中微信支付的占比也是，用总人数乘以这个占比即可．
【解答】解：（1）50÷25%＝200人，
挂答案为：200，
（2）现金支付的人数：200×30%＝60人，
其它支付的人数：200﹣60﹣50﹣60＝30人，补全的条形统计图如图所示：
（3）3000×＝900人，
答：选择微信支付的人数由900人．
【点评】考查条形统计图、扇形统计图的制作方法，两个统计图结合起来获取数量和数量之间的关系式解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
25．（6分）如图，一次函数y1＝mx+n的图象与坐标轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C，D（3，a），过点C作CP⊥x轴于点P，已知OP＝2OA＝6，OB＝2．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）连接PD，求△CPD的面积；
（3）当mx+n﹣＞0时，根据图象直接写出x的取值范围．
【分析】（1）根据意义可得A（﹣3，0），B（0，﹣2），再根据待定系数法求得，再算出点D坐标为（3，﹣4），代入反比例函数中即可求解；
（2）由题意得PA＝3，点C的横坐标为﹣6，代入二次函数表达式中求得C（﹣6，2），则PC＝2，再由S△CPD＝S△CPA+S△PAD＝即可求解；
（3）分析题意可得要求一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围，观察图形即可求解．
【解答】解：（1）∵OP＝2OA＝6，OB＝2，
∴OA＝3，
∴A（﹣3，0），B（0，﹣2），
∵一次函数y1＝mx+n的图象过点A、B，
∴，
解得：，
∴一次函数表达式为，
∵一次函数的图象过点D（3，a），
∴＝﹣4，
∴D（3，﹣4），
将点D（3，﹣4）代入中得：，
解得：k＝﹣12，
∴反比例函数的表达式为；
（2）∵OP＝2OA＝6，
∴PA＝3，P（﹣6，0），
∵CP⊥x轴，
∴点C的横坐标为﹣6，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴＝2，
∴C（﹣6，2），
∴PC＝2，
∴S△CPD＝S△CPA+S△PAD＝＝＝9；
（3）当mx+n﹣＞0，即时，
也就是一次函数的值大于反比例函数的值，
观察图象可知，此时x＜﹣6或0＜x＜3．
【点评】本题主要考查用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、反比例函数和一次函数的交点问题，利用数形结合思想解决问题是解题关键．
26．（7分）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，点E是的中点．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝6，求CE的长．
【分析】（1）连接OC，证明△PAO≌△PCO，得到∠PCO＝∠PAO＝90°，证明结论；
（2）连接AE、BE，作BM⊥CE于M，分别求出CM和EM的长，求和得到答案．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∵PA切⊙O于点A，
∴∠PAO＝90°，
∵BC∥OP，
∴∠AOP＝∠OBC，∠COP＝∠OCB，
∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠AOP＝∠COP，
在△PAO和△PCO中，
，
∴△PAO≌△PCO，
∴∠PCO＝∠PAO＝90°，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AE、BE，作BM⊥CE于M，
∴∠CMB＝∠EMB＝∠AEB＝90°，
∵点E是 的中点，
∴∠ECB＝∠CBM＝∠ABE＝45°，
CM＝MB＝3，
BE＝AB•cs45°＝5，
∴EM＝＝4，
则CE＝CM+EM＝7．
【点评】本题考查的是切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，添加辅助线是解题的关键，记住特殊三角形三边关系，属于中考常考题型．
27．（8分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求线段CD的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法，把点A和点B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，求出b，c的值，即可求出抛物线解析式；
（2）利用配方法得到y＝﹣（x﹣2）2+，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x＝2，如图，设CD＝t，则D（2，﹣t），根据旋转性质得∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，则P（2+t，﹣t），然后把P（2+t，﹣t）代入y＝﹣x2+2x+得到关于t的方程，求出点D的坐标，可得结论；
（3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，），利用抛物线的平移规律确定E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，利用梯形面积公式得到•（m++2）•2＝8，当m＜0时，利用梯形面积公式得到•（﹣m++2）•2＝8，然后分别解方程求出m，即可解决问题．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和点B（0，）代入y＝﹣x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+；
（2）∵y＝﹣（x﹣2）2+，
∴C（2，），抛物线的对称轴为直线x＝2，
如图，设CD＝t，则D（2，﹣t），
∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，
∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，
∴P（2+t，﹣t），
把P（2+t，﹣t）代入y＝﹣x2+2x+得﹣（2+t）2+2（2+t）+＝﹣t，
整理得t2﹣2t＝0，解得t1＝0（舍去），t2＝2，
∴D（2，），
∴线段CD的长＝﹣＝2；
（3）∵P点坐标为（4，），D点坐标为（2，），
又∵抛物线平移，使其顶点C（2，）移到原点O的位置，
∴抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位，
而P点（4，）向左平移2个单位，向下平移个单位得到点E，
∴E点坐标为（2，﹣2），
设M（0，m），
当m＞0时，•（m++2）•2＝8，解得m＝，此时M点坐标为（0，）；
当m＜0时，•（﹣m++2）•2＝8，解得m＝﹣，此时M点坐标为（0，﹣）；
综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，﹣）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，旋转变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
28．（9分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为 1 ；
（2）如图2，在矩形ABCD中，∠DBC＝30°，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为 ；
【类比探究】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD；
【拓展延伸】（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝8，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，且DE⊥CF，求的值．
【分析】（1）利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用矩形的性质，直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质解答即可；
（3）过点C作CM⊥AF交AF的延长线于点M，利用矩形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
（4）连接AC交BD于H，过点C作CG⊥AD于点G，利用三角形的面积公式和勾股定理求得线段CG，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝90°．
∵DE⊥CF，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，
∴∠AED＝∠CFD．
在△AED和FDC中，
，
∴△AED≌FDC（AAS），
∴DE＝CF，
∴＝1．
故答案为：1；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB＝∠A＝∠ADC＝90°，AD＝BC，
∴∠ADE+∠ABD＝90°．
∵DB⊥CE，
∴∠ADB+∠DEC＝90°，
∴∠ABD＝∠DEC．
∴△ABD∽△DEC，
∴．
∵∠DBC＝30°，∠BCD＝90°，
∴tan∠DBC＝，
∴＝，
∴．
故答案为：；
（3）证明：过点C作CM⊥AF交AF的延长线于点M，如图，
∵∠M＝∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABCM为矩形，
∴AB＝CM，
∵CG⊥EG，
∴∠G＝90°，
∴∠FCM+∠CFM＝∠DFG+∠FDG＝90°，
∵∠CFM＝∠DFG，
∴∠FCM＝∠FDG＝∠ADE，
∵∠A＝∠M＝90°，
∴△DEA∽△CFM，
∴，
∴，
∴DE•AB＝CF•AD；
（4）解：连接AC交BD于H，过点C作CG⊥AD于点G，如图，
∵将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，
∴AC⊥BD，AH＝CH，
∴AC＝2AH．
∵∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝8，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵CF⊥DE，CG⊥AD，
∴∠FCG+∠CFG＝∠CFG+∠ADE＝90°，
∴∠FCG＝∠ADE，
∵∠BAD＝∠CGF＝90°，
∴△DEA∽△CFG，
∴，
∵AD＝8，，
∴．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，翻折的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．