备战高一数学上学期期末（人教B）专题08 概率（5大经典基础题+1大优选提升题）（原卷版）

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随机现象与随机事件
1．（23-24高一下·河北邢台·期末）对于概率是千分之一的事件，下列说法正确的是（ ）
A．概率太小，不可能发生B．1000次中一定发生1次
C．1000人中，999人说不发生，1人说发生D．1000次中有可能发生1次
2．（23-24高一下·内蒙古通辽·期末）（多选）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．明天北京市不下雨
B．在标准大气压下，水在4℃时结冰
C．早晨太阳从东方升起
D．，则的值不小于0
3．（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·期末）（多选）下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．2021年8月18日，北京市不下雨
B．在标准大气压下，水在4℃时结冰
C．从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签
D．，则
4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机事件的是（ ）
A．3件都是正品B．至少有1件次品
C．3件都是次品D．至少有1件正品
5．（23-24高一下·山西太原·期末）投掷两枚质地均匀的硬币，用表示“第枚硬币正面朝上”，表示“第枚硬币反面朝上”，则该试验的样本空间 ．
频率与概率
1．（23-24高一下·广西河池·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
B．在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性
C．随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率
D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1
2．（23-24高一下·山西长治·期末）下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙二人进行羽毛球比赛，甲胜的概率为，则比赛4场，甲一定胜3场
B．概率是随机的，在试验前不能确定
C．事件，满足，则
D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%
3．（23-24高一下·浙江温州·期末）气象台预报“本市明天中心城区的降雨概率为30%，郊区的降雨概率为70%.”基于这些信息，关于明天降雨情况的描述最为准确的是（ ）
A．整个城市明天的平均降雨概率为50%
B．明天如果住在郊区不带伞出门将很可能淋雨
C．只有郊区可能出现降雨，而中心城区将不会有降雨
D．如果明天降雨，郊区的降雨量一定比中心城区多
4．（23-24高一下·江苏淮安·期末）已知某医院治疗一种疾病的治愈率为，下列说法正确的是（ ）
A．患此疾病的病人被治愈的可能性为
B．医院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈
C．如果前9位病人都没有治愈，第10位病人一定能被治愈
D．医院接收10位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的
5．（23-24高一下·四川达州·期末）将两枚质地均匀的骰子同时投掷，设事件“两枚骰子掷出点数均为偶数”，若连续投掷100次，则事件A发生的频数为（ ）．
A．20B．25C．50D．无法确定
6．（23-24高一下·山东枣庄·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（ ）
A．2%B．3%C．6%D．8%
7．（23-24高一上·陕西汉中·期末）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来石（古代容量单位），验得米内夹谷（假设一粒米与一粒谷的体积相等），抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．213石B．152石C．169石D．196石
8．（23-24高一下·陕西西安·期末）已知随机事件A，B满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
9．（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知样本空间，事件，，则（ ）
A．B．C．D．
10．（23-24高一下·河北·期末）已知，，，则 ．
11．（23-24高一下·云南曲靖·期末）（多选）下列说法不正确的是（ ）
A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖
B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水
12．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示．
若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为 ；在样本车辆中，车主是新司机的占15%，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为 ．
13．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）在一个不透明的纸盒中装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个.
14．（23-24高一下·湖南邵阳·期末）某地的中学生有40%的学生爱好篮球，有70%的学生爱好音乐，90%的学生爱好篮球或音乐，则在该地的中学生中随机调查一位学生，既爱好篮球又爱好音乐的概率为 ．
15．（23-24高一下·浙江宁波·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，记为事件A，B的对立事件，且，则=
互斥事件与对立事件
1．（23-24高一下·福建福州·期末）某小组有名男生和名女生，从中任选名学生参加比赛，事件“至少有名男生”与事件“至少有名女生” （ ）
A．是对立事件B．都是不可能事件
C．是互斥事件但不是对立事件D．不是互斥事件
2．（23-24高一下·河北邢台·期末）一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是（ ）
A．“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球”
B．“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球”
C．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”
D．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球”
3．（23-24高一下·广西来宾·期末）掷一枚质地均匀的骰子，记事件“出现的点数不超过3”，事件“出现的点数是3或5”，事件“出现的点数是偶数”，则事件、与的关系为（ ）
A．事件与互斥B．事件与对立
C．事件与独立D．事件与独立
4．（23-24高一下·福建宁德·期末）把红、蓝、黑、白张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁个人，每人分得张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）
A．对立B．相等C．相互独立D．互斥但不对立
5．（23-24高一下·山东枣庄·期末）如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，事件M=“甲元件故障”，N=“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（ ）
A．B．
C．D．
6．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高一下·吉林·期末）下列说法正确的是（ ）
A．同时发生的概率一定比中恰有一个发生的概率小
B．若，则事件与是对立事件
C．当不互斥时，可由公式计算的概率
D．某事件发生的概率是随着实验次数的变化而变化的
8．（23-24高一下·安徽合肥·期末）已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则（ ）
A．B．C．D．
9．（23-24高一下·山西长治·期末）已知事件，互斥，则下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．事件，互斥D．
10．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）（多选）从装有3只红球，3只白球的袋中任意取出3只球，则下列每对事件，是互斥事件，但不是对立事件的是（ ）
A．“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”
B．“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”
C．“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”
D．“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”
11．（23-24高一下·河南开封·期末）（多选）已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果互斥，那么D．如果互斥，那么
12．（23-24高一下·北京丰台·期末）设A，B是一个随机试验中的两个互斥事件，，，则 .
13．（23-24高一下·广东潮州·期末）设A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，，，则 .
14．（23-24高一下·吉林通化·期末）已知事件两两互斥，若，则 .
古典概型
1．（23-24高一下·湖南长沙·期末）掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为掷出的两个骰子点数之和是5，则事件A发生的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·浙江杭州·期末）如图是一个古典概型的样本空间和随机事件，其中，则（ ）

A．B．C．D．
3．（23-24高一下·贵州黔西·期末）中国古代数学著作主要有《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《四元玉鉴》，《张邱建算经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《九章算术》的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期末）甲､乙､丙､丁四人排队，则甲不排在第一位且丙，丁两人相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高一下·福建福州·期末）已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高一上·河南南阳·期末）（多选）甲乙两人约定玩一种游戏，把一枚均匀的骰子连续抛掷两次，游戏规则有如下四种，其中对甲有利的规则是（ ）
A．若两次掷出的点数之和是2，3，4，5，6，10，12其中之一，则甲获胜，否则乙获胜
B．若两次掷出的点数中最大的点数大于4，则甲获胜，否则乙获胜
C．若两次掷出的点数之和是偶数，则甲获胜；若两次掷出的点数之和是奇数，则乙获胜
D．若两次掷出的点数是一奇一偶，则甲获胜；若两次掷出的点数均是奇数或者偶数﹐则乙获胜
7．（23-24高一上·河南南阳·期末）（多选）下列情境适合用古典概型来描述的是（ ）
A．向一条线段内随机地投射一个点，观察点落在线段上不同位置
B．五个人站一排，观察甲乙两人相邻的情况
C．从一副扑克牌（去掉大、小王共52张）中随机选取1张，这张牌是红色牌
D．某同学随机地向靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，命中1环和脱靶
8．（23-24高一下·内蒙古·期末）在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为 .
9．（23-24高一下·陕西西安·期末）我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造，算筹一般为小圆棍，算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空．纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“—”，62记为“”．现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为 ．
10．（23-24高一下·江苏苏州·期末）在2，3，5，7，11，13这6个数中，任取两个不同的数，则这两数之和仍为素数的概率是 .
11．（23-24高一上·江西南昌·期末）如图，数轴上O为原点，点A对应实数6，现从1，2，3，4，5中随机取出两个数，分别对应数轴上的点B，C（点B对应的实数小于点C对应的实数）．

(1)记事件E为：线段OB的长小于等于2，写出事件E的所有样本点；
(2)记事件F为：线段OB，BC，CA能围成一个三角形，求事件F发生的概率．
12．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知甲、乙两袋中各装有4个质地和大小完全相同的小球，甲袋中有红球2个、白球1个、蓝球1个，乙袋中有红球1个、白球1个、蓝球2个.
(1)从两袋中随机各取一球，求取到的两球颜色相同的概率；
(2)从甲袋中随机取两球，从乙袋中随机取一球，求取到至少一个红球的概率.
13．（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）一个盒子中装有 6 支圆珠笔，其中 3 支一等品，2 支二等品和 1 支三等品.若从中任取 2 支，那么下列事件 的概率各是多少?
(1)“恰有 1 支一等品 ” ；
(2)“没有三等品 ”.
14．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）袋中有6个大小和质地相同的小球，分别为黑球、黄球、红球，从中任意取一个球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或红球的概率是.
(1)从中任取一个球，得到黑球、黄球、红球的概率各是多少？
(2)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？
15．（23-24高一下·安徽黄山·期末）从1～30这30个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被3整除，事件表示选到的数能被5整除，求下列事件的概率.
(1)这个数既能被3整除也能被5整除；
(2)这个数能被3整除或能被5整除；
(3)这个数既不能被3整除也不能被5整除.
独立事件
1．（23-24高一下·湖南株洲·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，B．当时，事件与事件不独立
C．当时，D．当时，事件与事件不独立
2．（23-24高一下·安徽黄山·期末）设事件与事件满足：，，，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件不是相互独立事件B．事件与事件不是相互独立事件
C．事件与事件是相互独立事件D．事件与事件不是相互独立事件
3．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知样本空间，事件，事件，事件，则下列选项错误的是（ ）
A．与独立B．与独立
C．与独立D．
4．（23-24高一下·江苏苏州·期末）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时，则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高一下·安徽六安·期末）概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局双方约定，各出赌金180枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这360枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（ ）
A．甲180枚，乙180枚
B．甲288枚，乙72枚
C．甲240枚，乙120枚
D．甲270枚，乙90枚
6．（23-24高一下·甘肃庆阳·期末）（多选）已知事件与事件，是事件的对立事件，是事件的对立事件，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若事件与事件是互斥事件，则
C．若事件与事件相互独立，则
D．若，则事件与事件相互独立
7．（23-24高一下·山东济南·期末）（多选）已知有限集为随机试验的样本空间，事件为的子集，则事件相互独立的充分条件可以是（ ）
A．B．
C．D．
8．（23-24高一下·湖北武汉·期末）（多选）设是一个随机试验的两个事件，则（ ）
A．若对立，则一定互斥
B．若，则
C．若，则相互独立
D．若，则一定对立
9．（23-24高一下·安徽黄山·期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率，乙中靶的概率为，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，若在一轮射击中，恰好有一人中靶的概率为，则 .
10．（23-24高一下·广西崇左·期末）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题.已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立.
(1)求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率；
(2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率.
11．（23-24高一下·天津·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个黑色球（标号为3和4），采用不放回简单随机抽样的方法从袋中依次摸出2个球．设事件“摸到的2个球颜色不相同”，事件“摸到的2个球的数字之和大于5”．
(1)用集合的形式写出试验的样本空间，并求，；
(2)求，并说明事件与是否相互独立．
12．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）甲、乙、丙三人组成一个小组代表学校参加一个“诗词大会”闯关活动团体赛.三人各自独立闯关，在第一轮比赛中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，甲、丙都闯关成功的概率为，每人闯关成功记分，三人得分之和记为小组团体总分.
(1)求乙、丙各自闯关成功的概率；
(2)求在第一轮比赛中团体总分为分的概率；
(3)若团体总分不小于分，则小组可参加下一轮比赛，求该小组参加下一轮比赛的概率.
有放回与无放回问题的概率
1．（23-24高一下·天津西青·期末）从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·河南郑州·期末）现有6个相同的盒子，里面均装有6张除图案外其它无区别的卡片，第个盒子中有k张龙形图案的卡片，张兔形图案的卡片．现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（23-24高一下·内蒙古通辽·期末）（多选）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ）
A．取出的3个球颜色相同的概率为
B．取出的3个球颜色不全相同的概率为
C．取出的3个球颜色全不相同的概率为
D．取出的3个球无红球的概率为
4．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）从分别写有1，2，3，4的4张卡片中有放回的随机抽取2次，每次抽取1张，则2次抽到的卡片上的数字之和为5的概率为 ．
5．（23-24高一下·天津·期末）抽取某车床生产的8个零件，编号为，，...，，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间内的零件为一等品.
(1)求从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
(2)从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率.
6．（23-24高一下·四川达州·期末）一个袋子中有10个大小相同的球，其中有7个红球，3个白球，从中随机摸球两次，每次摸取一个．
(1)求有放回地摸球第二次摸到白球的概率；
(2)求不放回地摸球第二次摸到白球的概率；
(3)求有放回地摸球摸到球颜色相同的概率；
(4)求不放回地摸球摸到球颜色相同的概率．
赔付金额/元
0
1000
2000
3000
4500
车辆数/辆
600
80
110
120
90
1
2
3
4
5
6
7
8
9