2023届内蒙古赤峰市高三4月模拟考试理科数学试题（含答案）

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赤峰市高三年级4·20模拟考试试题

理科数学

注意事项：

1、  答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．

2、  回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3、  考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、     选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、设全集,,,则集合为（    ）

A． B． C． D．

2、棣莫弗公式，（是虚数单位，）是由法国数学家棣莫弗（）发现的.根据棣莫弗公式，在复平面内的复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3、在“万众创业”的大背景下，“直播电商”已经成为我国当前经济发展的新增长点，已知某电商平台的直播间经营化妆品和食品两大类商品，年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一个季度的收入翻了一番，其前三季度的收入情况如图所示，则（    ）

A．该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的倍；

B．该直播间第三季度化妆品收入是第一季度化妆品收入的倍；

C．该直播间第三季度化妆品收入是第二季度化妆品收入的倍；

D．该直播间第三季度食品收入低于前两个季度的食品收入之和.

4、函数在上的图像大致为（    ）

A． B． C． D．

5、九连环是中国杰出的益智游戏，九连环由个相互连接的环组成，这个环套在一个中空的长形柄中，九连环的玩法就是要将这个环从柄上解下来(或套上)，规则如下:如果要解下(或套上)第环，则第号环必须解下(或套上)，往前的都要解下(或套上)才能实现.记解下连环所需的最少移动步数为，已知，若要解下环最少需要移动圆环步数为（    ）

A． B． C． D．

6、下列选项中，命题是命题的充要条件的是（    ）

A．在中，，. 

B．已知,是两个实数，，. 

C．对于两个实数,,，或. 

D．两条直线方程分别是，,，

或.

7、记函数的最小正周期为.若,为的零点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

8、四叶草曲线是数学中的一种曲线，因形似花瓣，又被称为四叶玫瑰线(如右图)，其方程为，玫瑰线在几何学、数学、物理学等领域中有广泛应用。例如，它可以用于制作精美的图案、绘制图像、描述物体运动的轨迹等等。根据方程和图象，给出如下条性质，其中错误的是（    ）

A．四叶草曲线方程是偶函数，也是奇函数； 

B．曲线上两点之间的最大距离为； 

C．曲线经过个整点(横、纵坐标都是整数的点)；

D．四个叶片围成的区域面积小于.

9、在中，内角所对的边分别是，已知，，的面积为，则的周长是（    ）

A． B． C． D．

10、如图所示，在长方体中，点是棱上的一个动点，若平面与棱交于点，给出下列命题:

①四棱锥的体积恒为定值；

②直线与直线交于点，直线与直线交于点，则、、三点共线；

③当截面四边形的周长取得最小值时，满足条件的点至少有两个；

④为底面对角线和的交点，在棱上存在点，使平面，其中真命题是（    ）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④

11、已知，，，其中为自然对数的底数，则（    ）

A． B． C． D．

12、初中时代我们就说反比例函数的图像是双曲线，建立适当的平面直角坐标系可以求得这个双曲线的标准方程，比如，把的图象顺时针旋转可以得到双曲线.已知函数，在适当的平面直角坐标系中，其标准方程可能是（    ）

A． B． C． D．

二、     填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13、已知向量，，且与的夹角为，则          ．

14、已知，则          ．

15、某三棱锥的三视图如右图所示，则此三棱锥外接球的体积是          ．

16、已知抛物线，焦点为，过点作抛物线的两条切线，切点分别是，，已知线段的中点，则的值是          ．

三、     解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）         必考题：共60分．

17、（12分）

①函数对任意有，数列满足，令.

② 数列中，已知，对任意的都有，令.

在①、②中选取一个作为条件，求解如下问题（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

（1）数列是等差数列吗？请给予证明.

（2）设，，试比较与的大小.

18、（12分）

2022年中国新能源汽车销售继续蝉联全球第一，以生产充电电池起家的比亚迪在2002年才进入汽车行业，2022年2月已成为全球唯一一家同时掌握电池、电机、电控芯片、整车制造等全产业链核心技术的新能源汽车厂商，成为新能源汽车（纯电动和插电式混动）的销量冠军，在中国新能源汽车的总销量中占比约为.2022年4月3日，比亚迪宣布停止纯燃油汽车的整车生产，成了全球首家“断油”的企业，为了解中国新能源车的销售情况，随机调查10000辆新能源汽车的销售价格，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

（1）求的值，并求出中国新能源车的销售价格的平均数、众数、中位数；

（2）若从新能源车中随机的抽出3辆，设这3辆新能源车中比亚迪汽车的数量为，求的分布列与数学期望，并解释此期望值的含义.

19、（12分）

已知为等边三角形，其边长为，点为边的中点，点在边上，并且，将沿折起到.

（1）证明：平面平面；

（2）当平面与平面成直二面角时，在线段上是否存在一点，使得平面和平面所成二面角的正切值为，若存在，求出点的位置;若不存在，请说明理由.

20、（12分）

已知函数.

（1）在当时，分别求和过点的切线方程；

（2）若，求的取值范围.

21、（12分）

已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为,左右焦点为,点为椭圆上异于的动点，且的面积最大值为

（1）求椭圆的方程及的值（、分别指直线的斜率）

（2）设动直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且

①求证：直线过定点

②设的面积分别为，求的取值范围.

（二）         选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22、[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线的方程为

（1）求曲线的普通方程，曲线的直角坐标方程；

（2）若点，曲线，的交点为两点，求的值

23、[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数 ，若的解集为.

（1）求实数的值;

（2）已知均为正数，且满足，求证：.