【2025届上海高三数学二模】2025届上海长宁区高三数学二模试卷与答案

这是一份【2025届上海高三数学二模】2025届上海长宁区高三数学二模试卷与答案，共11页。试卷主要包含了已知，，用、表示_______，一项过关游戏的规则规定等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．
2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．
3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知集合，，则_______．
2．复数，，则_______．
3．已知数列是等差数列，且，，则其前7项和_______．
4．某水果店的苹果，来自A基地，来自B基地，A基地苹果的新鲜率为，B基地苹果的新鲜率为，从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是_______．
5． 为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量，则可推断_______原假设．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平，．）
6．已知随机变量的分布是，则其方差=_______．
7．已知，，用、表示_______．
8．顶角为的等腰三角形被称为黄金三角形，其底边和腰之比正好为黄金比，用黄金比表示=_______．
9．一项过关游戏的规则规定：在第关要投掷骰子次，如果这次投掷所得的点数之和大于，则算过关，问一个人连过第一、二关的概率为_______．
10．已知点、分别是三角形的边、的中点，且,,则三角形的面积的取值范围是_______．
11．现有一块正四面体木料，其边长为，现需要将木料进行切割，要求切割后底面上任意一点到顶点的距离不大于，沿的连线对木料进行切割，则切割好后，木料体积的最大值是_______．（结果保留）
12．已知函数和，其中，且是定义在上的函数，其图像关于原点对称，当时，．若对任意的，存在，使得，则的取值范围是_______．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知非零实数，则下列命题中成立的是（ ）．
14．某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入（千元）和书籍销量（百本）的情况进行了调研，并统计得到右表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）．
A．变量、之间呈正相关；
B．预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本；
C．；
D．拟合误差．
15．如图，等腰直角三角形中，，点是边的中点，点是边上一点（不与重合），将三角形沿逆时针翻折，点的对应点是，连接，设为二面角大小，．在翻折过程中，下列说法当中不正确的是（ ）．
A．存在点和，使得；
B．存在点和，使得；
C．存在点和，使得；
D．存在点和，使得．
16．椭圆具有如下光学性质：如图，、分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题：
①若是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与轴的交点为，则；
②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为；
则以下说法正确的是（ ） ．
A．①是真命题，②是真命题；
B．①是真命题，②是假命题；
C．①是假命题，②是真命题；
D．①是假命题，②是假命题．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.
已知向量，，．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若函数在区间上恰有2个零点，求实数的取值范围．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.
如图，在直三棱柱中，，，，点是棱的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离以及三棱锥的体积．
19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题第①问满分5分，第②问满分5分）.
为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了 “消费满减乐翻天” 的优惠活动，顾客消费满800元（含800元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）．
方案1：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元（即总共减650元）；
方案2：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠．
（1）顾客A选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率；
（2）顾客B恰好消费了 800 元，
①若他选择抽奖方案1，求他实付金额的分布列和期望（结果精确到0.01）；
②试从实付金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.
已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是其左顶点，点是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线的离心率，．
（1）求双曲线的方程；
（2）若三角形是等腰三角形，求点的坐标；
（3）直线不垂直于轴，且与双曲线的另一个交点为，若是锐角，求直线的斜率的取值范围．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.
已知函数的定义域，对任意实数，定义集合．
（1）已知，求；
（2）已知，若集合只有一个元素，求的值；
（3）已知，其中且，求证：集合是一个区间．
参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．； 2．； 3．77； 4．； 5． 拒绝； 6．；7．；
8．（或或或）； 9．； 10．； 11．； 12．；
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．D； 14． C； 15． B； 16．A.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.
解：（1）
，…………………………………………………………………………3分
因为单调递减，所以，………………………………………1分
即：
所以的单调递减得单调递减区间是；……………………………2分
（2）函数在区间上恰有2个零点，即在上恰有两个解，
令，，所以在上恰有两个解，………………………2分
当时，函数单调递增，且，…………………………………2分
当时，函数单调递减，且，……………………………………2分
所以当时，函数在区间上恰有2个零点．………………………………2分
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.
解：（1）连结，与交于点，
因为点是棱的中点，所以，
因为是直三棱柱，
所以面，面，四边形是平行四边形，
从而，，所以，
因为，，所以，即有四边形是正方形，
所以=，且互相平分，从而有，……………………………………………………2分
同理，
与相交于点，所以平面，……………………………………………………2分
平面，所以平面平面；……………………………………………………2分
因为平面平面，平面平面，
由四边形是正方形，可得，
所以平面，…………………………………………………………………………………2分
所以点到平面的距离，………………………………………………………………2分
，
所以，………………………………………………………………2分
三棱锥的体积.……………………………………………………2分
或建系
（1）如图，建立空间直角坐标系，则
，，，，，，
，，，
平面的法向量，………………………………2分
平面的法向量，……………………………………………………………………2分
，
所以平面平面；………………………………………………………………………2分
（2）点到平面的距离，………………………………………………4分
体积的解法同上.
19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题第①问满分5分，第②问满分5分）.
解：（1）已知顾客A第一次摸出红球，能够享受优惠的概率，………………4分
或设事件M：顾客A第一次摸出红球，事件N：顾客A能够享受优惠
则，，………………………………………………2分
所以已知顾客A第一次摸出红球，能够享受优惠的概率；……2分
（2）①设顾客B实付金额为，
，，
，，……………………………4分
；……………………………………1分
②若顾客B选择方案2，设其实付金额为，
，，，…………………3分
，…………………………………………………………1分
因为，所以选方案2更合理.………………………………………………………………1分
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.
解：（1），所以，………………………………………………………………………2分
由，可得，，…………………………………………………………………2分
所以双曲线的方程为
（2）若，则在直线上，
直线与双曲线不相交，所以不存在满足条件的点，…………………………………………2分
设，若，则，得，……………2分
若，则，得，………………………………………………2分
综上，点的坐标是、.
（3）设直线的解析式为，，
由，
可得 ，………………………………………………………………2分
，直线与双曲线有两个交点，所以，
， ，………………………………………………………… 2分
因为点在第一象限，所以或
可得 ，………………………………………………………………… 2分
得或，
所以，直线斜率的取值范围是. ………………………2分
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.
解：（1）由题意得：，……………………………………………………………………2分 解得：或，即，………………………………………………2分
（2）集合只有一个元素，则满足的有且只有1个，
令，
若，则，函数 严格增，
当趋于时，趋于，所以满足的不止1个，舍；……2分
若，由于，所以的解集为空集，舍；………………………………1分
若，则函数在上严格增，在上严格减
即有，
由于满足的有且只有1个，
所以，即；……………………………………………………………………………3分
（3），……………………………………………………2分
若，则，且仅当时，，所以函数在上严格减，
当趋于时，趋于，当趋于时，趋于，
又，所以为区间，………………………………………………………2分
若，则函数在上严格减，在上严格增，在上严格减，
且当趋于时，趋于，当趋于时，趋于，
即函数在处取得极小值，在处取得极大值，…………………………………2分
因为，所以，即
由于，且趋于时，趋于，
所以由零点存在定理，知存在，使得
又由于，所以存在，使得
则为区间，……………………………………………………………………………1分
同理，若，函数在处取得极小值，在处取得极大值，
因为，所以，即
由于，且趋于时，趋于，
所以存在，使得
又由于，所以存在，使得
则为区间.……………………………………………………………………………1分
A．；
B．；
C．；
D．．
3
4
5
6
5
6.2
7.4