安徽省宿州市第二中学2024-2025学年高一下学期第一次过程性评价（3月）数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份安徽省宿州市第二中学2024-2025学年高一下学期第一次过程性评价（3月）数学试卷（原卷版+解析版），共24页。试卷主要包含了 设，向量，，，且，，则 ＝， 下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
分值：150分 时间：120分钟
命题人：周双喜 审题人：张传亭
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，是的共轭复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，那么（ ）
A. B. C. 或D.
3. 设，向量，，，且，，则 ＝
A. B. C. D. 10
4 已知向量不共线，，则（ ）
A. 三点共线B. 三点共线
C. 三点共线D. 三点共线
5. 已知、、是锐角的三个内角，向量，，则与的夹角是
A. 直角B. 钝角C. 锐角D. 不确定
6. 向量、满足，，且，是和同向的单位向量，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，则的最大值是（ ）
A. 2B. 4C. D.
8. 已知平面向量，，满足对任意都有，成立，且，，则的值为（ ）
A 1B. C. 2D.
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 复数的共轭复数是
B. 复数是纯虚数，则
C. 复数所对应的点在第二象限，则
D. 已知，则
10. 中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且，则（ ）
A. 外接圆的半径为
B. 若平分线与交于，则的长为
C. 若为的中点，则的长为
D. 若为的外心，则
11. 已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由3个和2个排列而成，记，表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则与无关；B. 若，则与无关；
C. 若，则；D. 若，，则的夹角为.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量不共线，若与共线，则实数的值为______．
13. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点间的距离为______.
14. 如图所示，扇形的弧的中点为，动点分别在上（包括端点），且，，，则的取值范围______．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知复数为虚数单位，且为纯虚数.
（1）求实数的值；
（2）若复数，求的模.
16. 已知向量与的夹角为，且，若.
（1）当时，求实数的值;
（2）当取最小值时，求向量与夹角余弦值.
17. 如图，已知是边长为2的正三角形，点P在边BC上，且，点Q为线段AP上一点．
（1）若，求实数的值；
（2）求的最小值；
18. 锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
（1）求角C的大小；
（2）若边，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
19. 如图所示，是一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.
（1）求证：；
（2）设，，，，求的值；
（3）如果是边长为的等边三角形，求的取值范围.
宿州二中2024-2025学年第二学期第一次过程性评价
高一数学试卷
分值：150分 时间：120分钟
命题人：周双喜 审题人：张传亭
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，是的共轭复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由共轭复数的定义和复数的除法，求，得虚部.
【详解】复数，则，，
所以，得的虚部为.
故选：B.
2. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，那么（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理可求出，再结合大边对大角即可得解.
【详解】因为，
由正弦定理，可得，
又因为，所以，故，所以.
故选：B.
3. 设，向量，，，且，，则 ＝
A. B. C. D. 10
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：∵，∴，即，∵，∴，即，
∴，∴，∴．
考点：向量的垂直、平行的充要条件，向量的模．
4. 已知向量不共线，，则（ ）
A. 三点共线B. 三点共线
C. 三点共线D. 三点共线
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量定理逐项判断即可得解.
【详解】对于A，令，即，则有，无解，
因此不存在t，使得，即 三点不共线，A错误；
对于B，，则，又直线MN，NQ有公共点N，
因此 ，，三点共线，B正确；
对于C，，令，即，
则有，无解，因此不存在m，使得，即三点不共线，C错误；
对于D，令，即，则有，无解，
因此不存在n，使得，即三点不共线，D错误.
故选：B
5. 已知、、是锐角的三个内角，向量，，则与的夹角是
A. 直角B. 钝角C. 锐角D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】
根据锐角三角形的性质可知，可得，从而可得结果.
【详解】因为是锐角的三个内角，
所以，即，
所以，
又因为向量，，
.
故的夹角为锐角.故选C.
【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标表示以及锐角三角形的性质、诱导公式以及正弦函数的单调性的应用，属于中档题. 平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是.
6. 向量、满足，，且，是和同向的单位向量，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量积的定义和运算性质，结合投影向量的定义进行求解即可.
【详解】因为，所以，即，
，
因为，
所以向量在向量方向上的投影向量为：，
故选：C
7. 如图，在中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，则的最大值是（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】以为坐标原点，的方向分别为轴、轴，建立坐标系，设，则，利用向量的坐标运算及三角恒等变换求解即可.
【详解】解：以为坐标原点，的方向分别为轴、轴，
如图所示：
则，
设，则，
所以，
所以
，
其中(为第二象限角)，
所以当时，取最大值，为2.
即的最大值为2.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题的关键是建立坐标系，利用向量的坐标运算求解.
8. 已知平面向量，，满足对任意都有，成立，且，，则的值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据任意都有可得，同理，再根据，得到终点和起点（三个向量的起点为同一个点）在一个圆上，据此可求的值.
【详解】如图，

设，则，
因为任意都有，故是诸向量的模的最小值，而为定点，
故是的最小值即即，同理，
设平面向量，，共起点，因为，故的终点在的终点的中垂线上，故的终点和起点可构成如下图形：

因为，故，而，
故，因，，
故四点共圆（据此可得在直径的同侧，否则与矛盾），
故，所以.
故选：C.
【点睛】本题考查向量的线性运算及模的计算，注意挖掘向量的模的不等式或等式所蕴含的几何意义，此问题属于难题.
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 复数的共轭复数是
B. 复数是纯虚数，则
C. 复数所对应的点在第二象限，则
D. 已知，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据共轭复数的概念判断A；由纯虚数概念列式计算求出a，判断B；根据复数的几何意义判断C；根据复数的乘法运算判断D.
【详解】对于A，复数的共轭复数是，故A错误；
对于B，复数是纯虚数，
则，解得，故B正确；
对于C，复数所对应的点在第二象限，
则，解得，故C正确；
对于D，，则，故D正确，
故选：BCD.
10. 中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且，则（ ）
A. 外接圆的半径为
B. 若的平分线与交于，则的长为
C. 若为的中点，则的长为
D. 若为的外心，则
【答案】BD
【解析】
【分析】依题意由正弦定理可得，根据余弦定理和三角形面积公式可求得，再由正弦定理可得A错误；根据等面积法可得角平分线的长为，即B正确；由可求得，即C错误；利用外接圆以及投影向量的几何意义可得D正确.
【详解】根据题意由，利用正弦定理可得，
不妨设，
利用余弦定理可得，又，可得；
又面积为，解得，
所以，
对于选项A，设外接圆的半径为，由正弦定理可得，
所以，即A错误；
对于B，分别作垂直于，垂足为，如下图所示：

易知的面积为，
可得，即B正确；
对于C，若为的中点，易知，如下图所示：

所以可得，
可得，即C错误；
对于D，延长交外接圆于点，连接；如下图所示：

易知即为直径，所以可知，；
利用投影向量的几何意义可得
，
即可得D正确.
故选：BD．
【点睛】方法点睛：在解三角形问题中遇到与角平分线或者中线相关的问题时，可根据题目信息采用等面积法求解角平分线长度，利用向量求解中线长度.
11. 已知两个不相等的非零向量，两组向量和均由3个和2个排列而成，记，表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是（ ）
A 若，则与无关；B. 若，则与无关；
C. 若，则；D. 若，，则的夹角为.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意确定可能有三种情况，比较大小，确定，利用，可得，判断A; 若，设,求得，判断B;若，则化简，判断C, 若，，利用数量积定义求得，判断D.
【详解】因为两组向量和均由3个和2个排列而成，
故可能有三种情况;
;②;③,
，
，
故；
若，则,则与无关,故A正确；
若，设，则，则与有关，B错误；
若，则，故C正确；
若，，则，
故，由于，故，故D错误；
故选：AC
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量不共线，若与共线，则实数的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据共线向量定理列方程求解即可
【详解】因为向量不共线，与共线，
所以存在唯一实数，使，
所以，解得，
故答案为：
13. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点间的距离为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，求得各个角度，即可得AD长，根据正弦定理，可得BD长，根据余弦定理，即可得答案.
【详解】因为，，
所以，，
所以，
又因为，
所以，
由正弦定理得：，即，解得，
在中，由余弦定理得，
所以，
解得.
故答案为：
14. 如图所示，扇形的弧的中点为，动点分别在上（包括端点），且，，，则的取值范围______．
【答案】
【解析】
【分析】连接、和，根据题意得到为平行四边形，设，其中，根据向量的运算法则，求得，，结合向量的数量积的运算公式，求得，结合二次函数的图象与性质，即可求解.
【详解】如图所示，连接、和，因为且为的中点，
可得为平行四边形，所以，
设，其中，
因为，可得，，
在中，可得，
在中，可得，
又因为且，所以，
所以
，
设，
根据二次函数的性质，可得函数的对称轴为，
且在在上单调递减，在在上单调增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，
又由，即函数的最大值为，
所以的取值范围.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知复数为虚数单位，且为纯虚数.
（1）求实数的值；
（2）若复数，求的模.
【答案】（1）2 （2）2
【解析】
【分析】（1）由复数的四则运算结合纯虚数的定义求解即可；
（2）由四则运算结合模长公式求解即可.
【小问1详解】
由，得，
为纯虚数
又；
【小问2详解】
，
.
16. 已知向量与夹角为，且，若.
（1）当时，求实数的值;
（2）当取最小值时，求向量与夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，所以，将代入可得，再由数量积的定义求得，代回即可求解；
（2）根据向量的模和二次函数求最值的方法求出的值，再根据向量的夹角公式计算即可.
【小问1详解】
因为，所以，即，
所以，
因为向量与的夹角为，且，
所以，
所以，所以.
【小问2详解】
因为，
所以，
由（1）知，且，
所以，
则，
故当时，最小为，
此时，
则，
又，
所以，
所以向量与夹角的余弦值为.
17. 如图，已知是边长为2的正三角形，点P在边BC上，且，点Q为线段AP上一点．
（1）若，求实数的值；
（2）求的最小值；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将用表示，再根据三点共线即可得解；
（2）设，将分别用，再根据数量积得运算律结合二次函数性质即可得解.
【小问1详解】
，
所以三点共线，
所以，解得；
【小问2详解】
设，，
则
，
，
故
，
当时，取得最小值，
所以的最小值为.
18. 锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
（1）求角C的大小；
（2）若边，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合同角三角函数基本关系以及正弦定理化简求解，因，所以；
（2）由余弦定理与正弦定理，然后结合三角函数性质求解其取值范围即可.
【小问1详解】
因为，所以，
即，
又因，所以
又由题意可知，
所以，因为，所以.
【小问2详解】
由余弦定理可得，
又，
则
，
由正弦定理可得，所以，
，
所以
，由题意得，解得，
则，
所以所以
所以所以中线CD长的取值范围为
19. 如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.
（1）求证：；
（2）设，，，，求的值；
（3）如果是边长为的等边三角形，求的取值范围.
【答案】（1）见详解 （2）3
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合向量加减法运算，即可证明；
（2）根据题意，用和表示， 结合，，三点共线，即可求解；
（3）根据题意，结合（1）（2）用和分别表示出和，进而可以表示出，再结合均值不等式与二次函数的最值，即可求解.
【小问1详解】
证明：因，所以，又因为的中点，所以，所以.
【小问2详解】
因，，，，所以，，又因，所以，又因，，三点共线，所以，即.
【小问3详解】
设，，，，由（1）（2）可知，，即.
因，，
所以
，
又因是边长为的等边三角形，
所以，
令，因，即，当且仅当时，等号成立，所以.
因此，
又因，所以，所以.