安徽省淮北市五校联考2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份安徽省淮北市五校联考2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 若二次根式有意义，则的值可以是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 0
2. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（ ）
A. B. 4C. D. 5
3. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
5. 估计的值在（ ）
A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间
6. 如图，数轴上的点表示的数是0，点表示的数是，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，点表示的数为（ ）
A. B. C. D.
7. 若为实数，在“”的“”中添上一种运算符号（在“+”“-”“×”“÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则的值不可能是（ ）
A B. C. D.
8. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是3，4，5，7，9．选取其中三块（可重复选取）按下图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A. 3，4，5B. 3，4，7C. 4，5，9D. 3，7，9
9. 如图，在Rt中，，，，，平分交于点，为边上一点，则线段长度的最小值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
10. 实数、满足，则（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算结果等于______．
12. 已知是方程的一个根，则代数式的值为___________．
13. 三国时期数学家赵爽为《周髀算经》作注解写《勾股圆方图注》时给出了“赵爽弦图”，如图1，连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的较长直角边为4，斜边为，那么图2中阴影部分的面积为___________．
14. 如图，在中，，，，是上的动点，已知，．
（1）___________；
（2）若，则___________．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
16. 解方程：．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在小正方形边长都为1的网格中，的顶点都在网格点上．
（1）分别求出的长；
（2）求的度数．
18. 中国古代《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折者高几何．意思是：一根竹子，原高1丈（1丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 某种品牌的手机经过8、9月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了1600元．若每次下降的百分率相同，请解答：
（1）求每次下降的百分率；
（2）若10月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌手机10月份售价为每部多少元？
20. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程总有实数根；
（2）若是方程的两根，且，求的值．
六、（本题满分12分）
21. 某居民小区有块形状为矩形的绿地，长为米，宽为米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．
（1）求矩形的周长．（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
七、（本题满分12分）
22. 某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．
（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝ 米；
（2）若饲养场（矩形ABCD）面积为180平方米，求边CD的长；
（3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由．
八、（本题满分14分）
23. 在中，，，是内的一条射线且与交于点，如图1，分别过点和点作，垂足分别为．
（1）证明：；
（2）已知：
①连接，若，如图2，求的长；
②若，求的长．
八年级数学（沪科版）
（试题卷）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 若二次根式有意义，则的值可以是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求解即可．
【详解】解；∵二次根式有意义，
∴，
∴，
∴四个选项中，只有A选项中的数符合题意，
故选：A．
2. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（ ）
A. B. 4C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标系中两点距离计算公式，坐标系中点和点的距离为，据此求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点到原点的距离为，
故选；D．
3. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的步骤为：把常数项移到等号右边；把二次项系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．用配方法解一元二次方程得到，即可得到答案．
详解】解∶
，
用配方法解一元二次方程，配方结果为，
故选：B．
4. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∴原方程没有实数根，
故选：C．
5. 估计的值在（ ）
A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式乘法计算，无理数估算，先根据二次根式乘法计算法则求出的结果，再根据无理数的估算方法求解即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
6. 如图，数轴上的点表示的数是0，点表示的数是，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，点表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，先根据题意得到的长，再利用勾股定理得到的长，进而得到的长，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
由作图可知，
∴点表示的数为，
故选：A．
7. 若为实数，在“”的“”中添上一种运算符号（在“+”“-”“×”“÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则的值不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查分母有理化，根据有理化因式的特征，二次根式的运算逐项进行判断即可．
【详解】解：如果“□”中添上的是“+”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项D中的数，因此选项D不符合题意；
如果“□”中添上的是“-”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项A、B中的数，因此选项A、选项B不符合题意；
如果“□”中添上的是“×”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项D、B中的数，因此选项B、选项D不符合题意；
如果“□”中添上的是“÷”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项A中的数，因此选项A不符合题意；
综上所述，m的值不可能是选项C中的代数式，
故选：C．
8. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是3，4，5，7，9．选取其中三块（可重复选取）按下图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A. 3，4，5B. 3，4，7C. 4，5，9D. 3，7，9
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，设三个正方形的边长为：a、b、c（，），根据勾股定理可得，则小的两个正方形的面积等于大正方形的面积，再分别进行判断，即可得到面积最大的三角形．
【详解】设三个正方形的边长为：a、b、c（，），且使所围成的三角形是直角三角形，
∴，
∴两个较小的正方形面积等于最大的正方形面积；
A．∵，
∴此时不能围成直角三角形，故不符合题意；
B．∵，
∴此时能围成直角三角形，且该直角三角形的两直角边长分别为，
∴三角形的面积为；
C．∵，
∴此时能围成直角三角形，且该直角三角形的两直角边长分别为，
∴三角形的面积为；
D．∵，
∴此时不能围成直角三角形，故不符合题意；
∵，
∴面积最大的一组是4，5，9，
故选：C．
9. 如图，在Rt中，，，，，平分交于点，为边上一点，则线段长度的最小值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线性质和定义，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，三角形内角和定理，过点D作于H，先由角平分线的定义和三角形内角和定理求出，则可证明，据此求出的长，进而由角平分线的性质得到的长，再根据垂线段最短即可得到答案．
【详解】解；如图所示，过点D作于H，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
由垂线段最短可知，当时，线段长度最小，即点E与点H重合时线段长度最小，最小值为2，
故选：D．
10. 实数、满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意可得实数、可以看做是关于的方程的两个不同的实数根，则由根与系数的关系可得，则，据此可得．
【详解】解：∵实数、满足，
∴实数、可以看做是关于的方程的两个不同的实数根，
∴，
∴，
∴，
，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算的结果等于______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的计算、平方差公式，利用平方差公式进行计算是解题的关键．先利用平方差公式化简，再利用二次根式的性质计算即可求解．
【详解】解：．
故答案为：1．
12. 已知是方程的一个根，则代数式的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解，由是方程的一个根，得到，则，然后利用整体代入求值即可，
【详解】解：将a代入代数式可得：
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 三国时期数学家赵爽为《周髀算经》作注解写《勾股圆方图注》时给出了“赵爽弦图”，如图1，连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的较长直角边为4，斜边为，那么图2中阴影部分的面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，先利用勾股定理求出直角三角形较短直角边的长，再根据阴影部分面积等于四个直角三角形面积加上中间一个正方形面积求解即可．
【详解】解；由题意得，直角三角形较短的直角边的长度为，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在中，，，，是上的动点，已知，．
（1）___________；
（2）若，则___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）直接利用勾股定理求解即可；
（2）将绕点A逆时针旋转90度得到，连接，设，先证明，由旋转的性质可得，，则可得，利用勾股定理可得，再证明，可得，再根据线段的和差关系建立方程求解即可．
【详解】解：（1）∵在中，，，
∴，
故答案为：；
（2）如图所示，将绕点A逆时针旋转90度得到，连接，设，
∵，
∴，
由旋转的性质得到，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，根据二次根式加、减、乘、除混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程左边利用提公因式法分解因式，进而解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
解得．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在小正方形的边长都为1的网格中，的顶点都在网格点上．
（1）分别求出的长；
（2）求的度数．
【答案】（1）；；；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理和勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
（1）根据勾股定理求出边的长度即可；
（2）根据勾股定理的逆定理判断即可．
小问1详解】
解：由勾股定理得：
；
；
；
【小问2详解】
解：，
∴是直角三角形，
∴．
18. 中国古代《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折者高几何．意思是：一根竹子，原高1丈（1丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？
【答案】3.2尺
【解析】
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】解：如图．设折断处离地面的高度为x尺，
则AB＝（10－x）尺，BC＝6尺．
在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，
即x2＋62＝（10－x）2

即折断处离地面的高度为3.2尺
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 某种品牌的手机经过8、9月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了1600元．若每次下降的百分率相同，请解答：
（1）求每次下降的百分率；
（2）若10月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌手机10月份售价为每部多少元？
【答案】（1）每次下降的百分率为
（2）这种品牌的手机10月份售价为每部1280元
【解析】
【分析】本题考查了增长率问题，解题关键是牢记增长率模型，即，其中a是原来的量，x是变化率，b是现在的量．
（1）直接代入增长率模型公式即可求解；
（2）将9月份的量代入公式计算即可．
【小问1详解】
解：设每次下降的百分率为x，
，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
答：每次下降的百分率为．
【小问2详解】
（元）
答：这种品牌的手机10月份售价为每部1280元．
20. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程总有实数根；
（2）若是方程的两根，且，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据题意只需要证明即可；
（2）由根与系数的关系得到，，再根据得到关于m的方程，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
证明：由题意得，
，
∴无论取何值，方程总有实数根；
【小问2详解】
解：∵是关于的一元二次方程的两根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得．
六、（本题满分12分）
21. 某居民小区有块形状为矩形的绿地，长为米，宽为米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．
（1）求矩形的周长．（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【答案】（1）米
（2）336元
【解析】
【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的运算法则计算可得；
（2）先用长方形ABCD的面积减去2个花坛的面积，求出通道的面积，再计算花费．
【小问1详解】
解：矩形的长为米，宽为米，
∴矩形的周长为（米）．
答：矩形的周长为米．
【小问2详解】
解：通道的面积为（平方米），
则购买地砖需要花费（元）．
答：购买地砖需要花费336元．
【点睛】本题考查二次根式混合运算的实际应用，熟练掌握平方差公式、二次根式运算法则是解题的关键．
七、（本题满分12分）
22. 某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．
（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝ 米；
（2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长；
（3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由．
【答案】（1）24 （2）10米
（3）不能，见解析
【解析】
【分析】（1）直接根据图形计算即可；（2）根据矩形的面积等于长乘宽，即可列方程求解；（3）列出方程，根据一元二次方程根的判别式计算．
【小问1详解】
解：BC＝45﹣8﹣2×（8﹣1）+1＝24（米）．
故答案为：24．
【小问2详解】
设CD＝x（0＜x≤15）米，
则BC＝45﹣x﹣2（x﹣1）+1＝（48﹣3x）米，
依题意得：x（48﹣3x）＝180，
整理得：x2﹣16x+60＝0，
解得：x1＝6，x2＝10．
当x＝6时，48﹣3x＝48﹣3×6＝30（米），
30＞27，不合题意，舍去；
当x＝10时，48﹣3x＝48﹣3×10＝18（米），符合题意．
答：边CD的长为10米．
【小问3详解】
不能，理由如下：
设CD＝y（0＜y≤15）米，
则BC＝45﹣y﹣2（y﹣1）+1＝（48﹣3y）米，
依题意得：y（48﹣3y）＝210，
整理得：y2﹣16y+70＝0．
∵＝（﹣16）2﹣4×1×70＝256﹣280＝﹣24＜0，
∴该方程没有实数根，
∴饲养场的面积不能达到210平方米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 在中，，，是内的一条射线且与交于点，如图1，分别过点和点作，垂足分别为．
（1）证明：；
（2）已知：
①连接，若，如图2，求的长；
②若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）①2；②
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）由证即可；
（2）①由得，证明，在中由勾股定理得，从而可得结论；
②由勾股定理得，，根据可求出的长．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
又，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①由（1）知，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，（负值舍去）
∴；
②过点A作于点P，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，