2025年河北省沧州市献县中考一模数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2025年河北省沧州市献县中考一模数学试题（原卷版+解析版），共31页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟．
注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
卷Ⅰ（选择题）
一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1 若，则等于（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 32
2. 在中，，，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果等于（ ）

A. 0B. C. D.
4. 如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
5. 化学原子键长石墨烯具有优异光学、电学、力学特性，在多个领域具有重要的应用前景，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为米，此键长用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
6. 小莉用几个体积是1立方厘米的正方体摆成了一个几何体．如图是从不同方向看到的图形．这个几何体的体积是（ ）立方厘米．
A. 4B. 5C. 6D. 7
7. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 跨学科如图是我国陆地地形分布统计图，下列说法中错误的是（）
A. 我国陆地地形分为5类，其中山地面积最大B. 统计图中“高原”所占扇形的圆心角度数为
C. 丘陵和盆地的总面积占我国陆地总面积的D. 平原面积和丘陵面积相差约20万平方千米
9. 如图，在中，点O是边上的点．按下列要求作图：
①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交线段于点；
②以点O为圆心、长为半径画弧，交线段于点F；
③以点F为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线同侧；
④作直线，交线段于点M．
下列结论不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能是（ ）
A 105B. 77C. 98D. 56
11. 已知在中，，，点是延长线上任意一点，作于点，于点，连接，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
12. 有依次排列的3个数：2，9，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，7，9，，7，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：2，5，7，2，9，，，9，7，继续依次操作下去，问：从数串2，9，7开始操作第10次以后所产生的那个新数串的所有数之和是（ ）
A. 58B. 63C. 68D. 73
卷Ⅱ（非选择题）
二、填空题（共4小题，每题3分，共12分）
13. 某校规定，学生的学期学业成绩由两部分组成：平时成绩占，期末成绩占，小明的平时、期末成绩分别为85分，95分，则小明本学期的学业成绩为_______分．
14. 若m和n互为相反数，p和q互为倒数，a是最大的负整数，则的值为_______．
15. 如图，是反比例函数的图象上的两点，若是等腰三角形，且，，则的值是_____．
16. 如图，已知菱形的边长为，，点G、E、F分别是上的点，若，则的值是_______．
三、解答题（本题共8个题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知，．
（1）求的值； （2）求的值．
18. 2024世界航海装备大会，以“承载人类梦想 驶向星辰大海”为主题，于2024年11月15日至18日在福州海峡国际会展中心举办．为进一步提升学生对航海知识的了解，学校精心组织了一场航海知识竞赛，竞赛设置了A，B，C，D四个赛道．甲，乙两名同学被随机安排参加其中一个赛道，每名同学被安排到各赛道的可能性相同．
（1）求甲同学参加A赛道的概率；
（2）请用画树状图或列表的方法求甲，乙两名同学至少有一人参加A赛道的概率．
19. 某足球特色学校在商场购进、两种品牌的足球，已知购买品牌足球花费了2500元，购买品牌足球花费了2000元，且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的2倍，购买一个品牌足球比购买一个品牌足球多花30元，
（1）分别求、品牌足球的单价；
（2）由于喜欢足球的人数增加，学校再次购进与第一次购买数量相同的、两种品牌足球，同时商场对两种品牌足球的售价进行了调整，品牌足球售价比第一次购买时提高了品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，则此次购买足球比第一次费用高还是低？
20. 已知是半圆O的直径，，点C在半圆O上，过点A作，垂足为点D，的延长线与弦交于点E，与半圆O交于点F（点F不与点B重合）．
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，若，求的长．
21. 某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/，12元/，这两种苹果的销售额（元）与销售量之间的关系如图所示．

（1）求甲种苹果的销售额与销售量之间的函数关系式；
（2）求点的坐标，并写出点表示的实际意义；
（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1650元，求的值．
22. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，延长到点E，使，连接，连接交于点F，交于点G．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求及的值．
23. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
（1） ， ；
（2）若、是抛物线上的两点，当，时，均有，求实数m的取值范围；
（3）抛物线上一点，直线与y轴交于点E，动点M在线段上，当时，求点M的坐标．
24. 已知等边中，点为射线上一点，作，交直线于点．
（1）如图1，当点在线段上时，线段、、之间的数量关系是______；
（2）如图2，当点在的延长线上时，（1）中的、、数量关系是否成立，若成立，说明理由，若不成立，求出、、之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点，过点A作于，当时，求的长．
2025年献县初中毕业生中考模拟考试
数学试题
本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟．
注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
卷Ⅰ（选择题）
一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若，则等于（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，掌握同底数幂的运算法则是解答本题的关键．
根据同底数幂的乘除法法则求解即可．
【详解】∵
∴
∴．
故选：C．
2. 在中，，，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用勾股定理求出，再直接利用公式求出答案即可．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了求角度的正切值，勾股定理，熟记正切值的计算公式及勾股定理的计算公式是解题的关键．
3. 已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果等于（ ）

A. 0B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握是解题关键．
首先根据数轴确定，的符号，然后根据二次根式的性质即可进行化简．
【详解】解：根据数轴可以得到：，
，，
原式
．
故选：D．
4. 如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键．根据正六边形的性质求出的度数，再由扇形面积的计算方法进行计算即可．
【详解】解：六边形是正六边形，
，，
，
故选：B
5. 化学原子键长石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在多个领域具有重要的应用前景，石墨烯中每两个相邻碳原子间的键长为米，此键长用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：．
故选：B．
6. 小莉用几个体积是1立方厘米的正方体摆成了一个几何体．如图是从不同方向看到的图形．这个几何体的体积是（ ）立方厘米．
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据上面看到的图形确定下层正方体的个数，根据正面和左面看到的图形确定上层正方体的个数，即得．
本题主要考查了由三视图推断小正方体的个数．解决问题的关键是熟练掌握由俯视图掌握小正方体的堆叠方式，由另两种视图确定小正方体的个数．
【详解】观察从三个方向看到的图形，从上面看到的图形由4个正方体排成两行三列，下层有4个正方体；从正面看到的图形有两层，上层左列只有1个正方体；从左面看到的图形有两层，上层后行只有1个正方体．
可得该几何体如图所示，
，
由5个体积是1立方厘米的正方体摆成，
∴这个几何体的体积是5立方厘米．
故选：B．
7. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的减法运算、代数式求值等知识点，对代数式进行正确变形成为解答本题的关键．
由可得，然后对变形，最后整体代入计算即可．
【详解】解：∵
∴，即
∴．
故选：A．
8. 跨学科如图是我国陆地地形分布统计图，下列说法中错误的是（）
A. 我国陆地地形分为5类，其中山地面积最大B. 统计图中“高原”所占扇形的圆心角度数为
C. 丘陵和盆地的总面积占我国陆地总面积的D. 平原面积和丘陵面积相差约20万平方千米
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．利用扇形统计图中提供的数据进行判断即可．
【详解】解：A、由扇形统计图可得，我国陆地地形分为5类，其中山地面积最大，故此选项不合题意；
B、由扇形统计图可得，统计图中“高原”所占扇形的圆心角度数为，故此选项不合题意；
C、由扇形统计图可得，丘陵和盆地的总面积占我国陆地总面积的，故此选项不合题意；
D、由扇形统计图无法得出平原面积和丘陵面积相差约20万平方千米，故此选项符合题意；
故选：D．
9. 如图，在中，点O是边上的点．按下列要求作图：
①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交线段于点；
②以点O为圆心、长为半径画弧，交线段于点F；
③以点F为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线同侧；
④作直线，交线段于点M．
下列结论不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据不一定相等，可得不一定相等．
【详解】解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意；
B．∵，
∴，一定成立，故C不符合题意；
∴一定成立，故B不符合题意；
D．∵不一定相等，
∴不一定相等，
∴不一定成立，故D符合题意．
故选：D．
10. 如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能是（ ）
A. 105B. 77C. 98D. 56
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设这个数中最小的数为，则这个数的和为，分别代入各选项中的数，解之可得出的值，结合为整数，即可得出结论．
【详解】解：设这个数中最小的数为，则另外个数分别为，，，，，，
这个数的和为．
A．根据题意得：，
解得：，
∵在第一列，符合题意，
这个数的和可以是，选项D不符合题意；
B．根据题意得：，
解得：，
∵2在第五列，
这个数的和可以是，选项B不符合题意；
C．根据题意得：，
解得：，
∵在第1列，
这个数的和可以是，选项C不符合题意；；
D．根据题意得：，
解得：，不符合题意，
这个数的和不可以是，选项符合题意；
故选：D．
11. 已知在中，，，点是延长线上任意一点，作于点，于点，连接，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，用函数思想确定的表达式是解题的关键．设，则，则，在中，，则，由，即可求解．
【详解】解：过点作于点，设交于点，过点作于点，
，，，
，，，
则，
设，则，
则，
在中，，
则，
则，
故的最小值为，
故选：A
12. 有依次排列的3个数：2，9，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，7，9，，7，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：2，5，7，2，9，，，9，7，继续依次操作下去，问：从数串2，9，7开始操作第10次以后所产生的那个新数串的所有数之和是（ ）
A. 58B. 63C. 68D. 73
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了数字变化的规律，根据题意，依次求出每次操作后所产生的新数串的所有数之和，发现规律即可解决问题，能通过计算发现操作第n次后所产生的新数串的和为是解题的关键．
【详解】解：由题知，当开始的数串为2，9，7时，
操作第1次后所产生的新数串为：2，7，9，，7，它们的和为：；
操作第2次后所产生的新数串为：2，5，7，2，9，，，9，7，它们的和为：；
操作第3次后所产生的新数串为：2，3，5，2，7，，2，7，9，，，9，，11，9，，7，它们的和为：；
，
∴操作第n次后所产生的新数串的和为
当时，，
即操作第10次后所产生的新数串的和为，
故选：．
卷Ⅱ（非选择题）
二、填空题（共4小题，每题3分，共12分）
13. 某校规定，学生的学期学业成绩由两部分组成：平时成绩占，期末成绩占，小明的平时、期末成绩分别为85分，95分，则小明本学期的学业成绩为_______分．
【答案】91
【解析】
【分析】本题主要考查加权平均数，根据加权平均数的计算方法计算即可．
【详解】解：小明本学期的学业成绩为：（分）．
故答案为：91．
14. 若m和n互为相反数，p和q互为倒数，a是最大的负整数，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相反数，倒数，负整数．根据相反数、倒数、负整数的性质求出相关数据，代入所给代数式计算即可求解．
【详解】解：∵m和n互为相反数，p和q互为倒数，是最大的负整数，
∴，，，
∴．
故答案为：．
15. 如图，是反比例函数的图象上的两点，若是等腰三角形，且，，则的值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握解直角三角形是关键．
作第一象限的角平分线，根据图象对称性得到点、关于直线对称，作轴，垂足为点，可得到，利用解直角三角形得到点坐标，继而求出值．
【详解】解：如图，作第一象限的角平分线，则反比例函数在第一象限分支关于直线对称，
，
点、关于直线对称，
，
作轴，垂足为点，
，
，
，，
，
点反比例函数图象上，
．
故答案为：．
16. 如图，已知菱形的边长为，，点G、E、F分别是上的点，若，则的值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，连接，过A作于M，在上截取，连接，由菱形的性质推出，，判定，推出，得到，判定是等边三角形，求出，判定F、G、K共线，且，由菱形的性质推出，，求 出，得到，于是．
【详解】解：连接，过A作于M，在上截取，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴F、G、K共线，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
三、解答题（本题共8个题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知，．
（1）求值； （2）求的值．
【答案】（1）15；（2）76.
【解析】
【分析】（1）原式利用多项式乘多项式法则计算，把已知等式代入计算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．
【详解】解：（1）∵，，
∴ =
=
=9＋3×10－24=15；
（2）∵，，
∴==102－24=76
【点睛】此题考查了多项式乘多项式，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18. 2024世界航海装备大会，以“承载人类梦想 驶向星辰大海”为主题，于2024年11月15日至18日在福州海峡国际会展中心举办．为进一步提升学生对航海知识的了解，学校精心组织了一场航海知识竞赛，竞赛设置了A，B，C，D四个赛道．甲，乙两名同学被随机安排参加其中一个赛道，每名同学被安排到各赛道的可能性相同．
（1）求甲同学参加A赛道的概率；
（2）请用画树状图或列表的方法求甲，乙两名同学至少有一人参加A赛道的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要查了利用画树状图法或列表法求概率：
（1）直接根据概率公式解答，即可求解；
（2）根据题意，列出表格，可得一共有16种等可能结果，其中甲，乙两名同学至少有一人参加A赛道的有7种，再由根据概率公式解答，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意得：甲同学参加A赛道的概率为；
【小问2详解】
解：根据题意，列出表格如下：
一共有16种等可能结果，其中甲，乙两名同学至少有一人参加A赛道的有7种，
所以甲，乙两名同学至少有一人参加A赛道的概率为．
19. 某足球特色学校在商场购进、两种品牌的足球，已知购买品牌足球花费了2500元，购买品牌足球花费了2000元，且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的2倍，购买一个品牌足球比购买一个品牌足球多花30元，
（1）分别求、品牌的足球的单价；
（2）由于喜欢足球的人数增加，学校再次购进与第一次购买数量相同的、两种品牌足球，同时商场对两种品牌足球的售价进行了调整，品牌足球售价比第一次购买时提高了品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，则此次购买足球比第一次费用高还是低？
【答案】（1）购买一个品牌的足球需50元，购买一个品牌的足球需80元
（2）第二次购买费用与第一次费用相同
【解析】
【分析】（1）本小问主要考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系，列出方程，并且一定要检验，即可得到答案；
（2）本小问一定要认真审题，先根据（1）的结果分别求出购买球的数量，再根据总价=单价×数量，把前后两次花费的总钱数进行比较即可；
【小问1详解】
解：设购买一个品牌的足球器元，则购买一个品牌的足球箭元，则
解得 ，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：购买一个品牌的足球需50元，购买一个品牌的足球需80元．
【小问2详解】
解：第一次购买品牌足球个，购买品牌足球个，
第一次购买足球总费用为：
第二次总费用为：，
答：第二次购买费用与第一次费用相同，
20. 已知是半圆O的直径，，点C在半圆O上，过点A作，垂足为点D，的延长线与弦交于点E，与半圆O交于点F（点F不与点B重合）．
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，若，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，弧弦圆心角三者关系以及含30度的直角三角形性质，熟练掌握基本性质是解题关键．
（1）通过垂径定理可知，再通过直径算出半径，进而得到，再通过勾股定理计算即可；
（2）先证得，进而得到的度数，进而通过含30度的直角三角形性质以及勾股定理计算即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
在中，∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
21. 某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/，12元/，这两种苹果的销售额（元）与销售量之间的关系如图所示．

（1）求甲种苹果的销售额与销售量之间的函数关系式；
（2）求点的坐标，并写出点表示的实际意义；
（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1650元，求的值．
【答案】（1）
（2）点的坐标为，点表示的实际意义是当销售量为时，甲和乙的销售额相同，都是1200元
（3）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据图象设甲种苹果的销售额与销售量之间的函数关系式是，将代入解析式，求出的值即可；
（2）当时，设乙对应的函数解析式为，将点，代入解析式，得出的值，再联立方程组，即可得出点的坐标，再写出点表示的实际意义即可；
（3）根据利润（售价进价）销售量，然后列出相应的方程，求解即可．
【小问1详解】
解：根据图象，设甲种苹果的销售额与销售量之间的函数关系式是，
∵点在该函数图象上，
∴，
解得，
∴甲种苹果的销售额与销售量之间的函数关系式是；
【小问2详解】
解：当时，设乙对应的函数解析式为，
∵点，在该函数图象上，
，
解得，
∴当时，乙对应的函数解析式为，
联立，得，
解得，
即点的坐标为，
点表示的实际意义是当销售量为时，甲和乙的销售额相同，都是1200元；
【小问3详解】
解：由图象可得，甲种苹果的销售单价为（元），
当时，乙种苹果销售单价为（元），
当时，乙种苹果的销售单价为（元），
∴，
解得．
22. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，延长到点E，使，连接，连接交于点F，交于点G．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求及的值．
【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
【分析】（1）证明且，即可得到结论；
（2）证明，再求出，，证明，则，得到，，即可得到，由四边形是平行四边形，得到，即可求出的值．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
且.
∵，
且，
四边形是平行四边形
【小问2详解】
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，∵，，
∴设则，
∵
∴
解得或（不合题意，舍去）
，，
∵，
∴.，
，
，，
，
∵四边形是平行四边形，
，
.
【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，证明四边形是平行四边形和熟练掌握相似三角形的的性质是解题的关键．
23. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
（1） ， ；
（2）若、是抛物线上的两点，当，时，均有，求实数m的取值范围；
（3）抛物线上一点，直线与y轴交于点E，动点M在线段上，当时，求点M的坐标．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，一次函数、等腰直角三角形性质，确定、均为等腰直角三角形是本题解题的关键．
（1）把，两点代入，解方程组即可得到结论；
（2）由（1）知，函数对称轴为：，则和关于对称轴对称，故其函数值相等，即可求解；
（3）确定、均为等腰直角三角形，即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴，
解得，
故答案为：，；
【小问2详解】
由（1）知抛物线，函数的对称轴为：，
则和关于对称轴对称，故其函数值相等，
又，时，均有，
结合函数图象可得，
解得；
【小问3详解】
如图，连接、，过点D作于点G，
而点B、C、D的坐标分别为：、、，
则，，，，
故、均为等腰直角三角形，
∴，
在中，，
，
则，
将点B、D坐标代入一次函数表达式：并解得：
直线BD的表达式为：，故点，
设点，
过点M作于点F，
则，，
，
解得：，
故点．
24. 已知等边中，点为射线上一点，作，交直线于点．
（1）如图1，当点在线段上时，线段、、之间的数量关系是______；
（2）如图2，当点在的延长线上时，（1）中的、、数量关系是否成立，若成立，说明理由，若不成立，求出、、之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点，过点A作于，当时，求的长．
【答案】（1）
（2）不成立，
（3）
【解析】
【分析】（1）过点D作，交于点M，可证是等边三角形，则有，然后可证，所以，，所以；
（2）过作交的延长线于N，得，为等边三角形，同理可证，得，可得；
（3）连接，证明，可得，证明 ，得，可得，得，由，得．
小问1详解】
解：∵为等边三角形，
∴，
过点D作，交于点M，如图所示，
则，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
解：不成立．
过作交的延长线于N，如图所示，
则，
∴，是等边三角形，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：连接，如图，
∵，
∴，
∴，
平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形和全等三角形．熟练掌握等边三角形的性质与判定，全等三角形判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形性质，含30度的直角三角形性质，添加合适的辅助线，构造全等的三角形，是解决本题的关键．
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）