202-2025学年江苏省常州市第一中学高一下学期3月质量检测数学试卷（含答案）

这是一份202-2025学年江苏省常州市第一中学高一下学期3月质量检测数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=1,1,b=−1,2，则a+b=( )
A. 0,3B. 2,−1C. 1,0D. 1
2.已知α，β均为锐角，且csα= 1010，sinβ=2 55，则csα+β=( )
A. 7 210B. −7 210C. − 22D. 22
3.若△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2 +b2−c2=ab，则C=
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
4.已知RtΔABC，点D为斜边BC的中点，AB⇀=6 3，AC⇀=6，AE⇀=12ED⇀，则AE⇀⋅EB⇀等于
A. −14B. −9C. 9D. 14
5.已知5csαsinα−π4=sinπ4，则tanα=( )
A. 2B. 2或−3C. −3D. 2或3
6.在△ABC中，AD=23AC，点E在BD上，若AE=xBA+13BC，则x=( )
A. −23B. −45C. −56D. −67
7.点P在边长为1的正三角形ABC的外接圆上，则AP⋅AB的最大值为( )
A. 33+12B. 3+12C. 2 33D. 32
8.记▵ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若c=2 6,ccsA−B+2 3asinBcsC=−ccsC，则AB边上的中线CD长度的最小值为( )
A. 12B. 22C. 2D. 2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(1, 3)，b=(csα,sinα)，则下列结论正确的是( )
A. 若a⊥b，则tanα=− 33 B. 若a//b，则α=π3
C. 若b在a上的投影向量为−14a，则向量a与b的夹角为2π3 D. |a−b|的最大值为3
10.已知函数fx= 34sin4x+14cs4x+34，则下列说法正确的是( )
A. fx的最小正周期为π
B. fx在0,π4上的值域为12,54
C. 将fx的图象向左平移π12个单位长度得到gx的图象，则gx的图象关于y轴对称
D. 若方程fx+m=0在0,5π24上恰有一个根，则m的取值范围为−1,−34
11.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为 2，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是( )
A. BG=2AH
B. AD在AB向量上的投影向量为 22+1AB
C. 若OA⋅FC=1+ 2PA⋅ED，则P为ED的中点
D. 若P在线段BC上，且AP=xAB+yAH，则x+y的取值范围为1,2+ 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知sinπ3−α=23，则cs2α+π3= ．
13.在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且3a=2c,csB=13，则sinAsinB= ．
14.在▵ABC中，AB=4,AC=3,∠A=60∘,AD=3DB,P为线段CD上一点．AP=xAC+35AB，则x= ；若P在线段CD上运动，则AP⋅BP的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
设a,b是不共线的两个非零向量．
(1)若4a+12kb与12ka+b共线，求实数k的值．
(2)已知向量a,b满足|a→|=5,|b→|=4,(a→+b→)⊥b→.求2a+b；
16.(本小题12分)
在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b=4 3sinB,A=2π3．
(1)求a的值；
(2)若a2+c2−b2=2 33ac．
(i)求csB的值：
(ii)求cs(2B−A)的值．
17.(本小题12分)
已知f(x)= 3sinωxcsωx+cs2ωx+m，其图象一个对称轴为x=π6，ω∈(0,2)
(1)求f(x)的解析式及单调递减区间；
(2)若函数f(x)在区间0,π2上有零点，求m的取值范围；
(3)若f(x)在0,π6上最小值为1，求使不等式f(x)≥0成立的x的取值集合．
18.(本小题12分)
如图，某公园有一块扇形人工湖OMN，其中圆心角∠MON=π4，半径为1千米，为了增加观赏性，公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形ABCD(四个顶点都落在扇形边界上)；再建造一个观景台，形状为▵DAM，记∠MOD=α.
(1)当角α取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积．
(2)若在OA的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元(不计桥的宽度)；且建造观景台的费用为每平方千米16万元，求建造总费用的范围．
19.(本小题12分)
三角形在数学中是十分常用的图形，将向量运用在三角形中同时会迸发出火花!
(1)如图1，在▵ABC中，∠C=90∘，点E是BC上一点，且满足：AB+AC=2AE，以点A为圆心，AC的长为半径作圆交AB于点D，交AE于点F.若BD=4,BC=2AC，求EF的值．
(2)如图2，在▵ABC中，点D分BC所成的比为32，点O为线段AD上一动点，若AD=4，求OA⋅2OB+3OC的最小值．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.D
5.D
6.C
7.A
8.C
9.ACD
10.BC
11.BD
12.−19
13.23
14.15/0.2 ；−134,3
15.解：(1)由 4a+12kb 与 12ka+b 共线，则存在实数 λ ，
使得 4a+12kb=λ(12ka+b) ，
即 (4−12λk)a+(12k−λ)b=0 ，又 a,b 是不共线的两个非零向量，
因此 4−12λk=012k−λ=0 ，解得 λ=2k=4 ，或 λ=−2k=−4 ，实数 k 的值是 ±4；
(2)因为 (a→+b→)⊥b→ ，所以 (a+b)⋅b=a⋅b+b2=0,a⋅b=−b2=−16 ，
所以 |2a+b|2=4a2+4a⋅b+b2=4×25+4×(−16)+16=52 ，
所以 |2a+b|=2 13 ．

16.(1)由正弦定理asinA=bsinB及b=4 3sinB,A=2π3，
得a=4 3× 32=6.
(2)(i)由余弦定理有csB=a2+c2−b22ac=2 33ac2ac= 33，
(ii)因为B∈(0,π)，所以sinB>0，
从而sinB= 1−cs2B= 1− 332= 63，
则sin2B=2sinBcsB=2× 63× 33=2 23，
cs2B=2cs2B−1=2× 332−1=−13,
cs(2B−A)=cs2BcsA+sin2BsinA=−13×−12+2 23× 32=2 6+16.

17.(1)由已知得f(x)= 32sin2ωx+cs2ωx+12+m，
= 32sin2ωx+12cs2ωx+12+m=sin2ωx+π6+12+m，
因为图象一个对称轴为x=π6，所以2×π6ω+π6=π2+kπ,(k∈Z)，
解得ω=1+3k(k∈Z)，又因为ω∈(0,2)，所以ω=1．
所以f(x)=sin2x+π6+12+m，令2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2,(k∈Z)，
解得kπ+π6≤x≤kπ+2π3,(k∈Z)，
所以函数的单调递减区间为kπ+π6,kπ+2π3,(k∈Z)．
(2)因为x∈0,π2，所以2x+π6∈π6,7π6，
又因为函数f(x)在区间0,π2上有零点，
所以令f(x)=0,x∈0,π2，即sin2x+π6=−12−m，
则y=sin2x+π6和y=−12−m有交点即可，
因为2x+π6∈π6,7π6，所以sin2x+π6∈−12,1，
则−12−m∈−12,1，即−12≤−12−m≤1，
解得−32≤m≤0，则m∈−32,0．
(3)因为x∈0,π6，所以2x+π6∈π6,π2，
则f(x)min=f(0)=12+12+m=1+m=1，解得m=0，
故f(x)=sin2x+π6+12，而f(x)≥0，
即sin2x+π6+12≥0，得到sin2x+π6≥−12，
则−π6+2kπ≤2x+π6≤7π6+2kπ,k∈Z，解得−π6+kπ≤x≤π2+kπ,k∈Z，
所以使f(x)≥0成立的x的取值集合为x|−π6+kπ≤x≤π2+kπ,k∈Z

18.(1)由题意可得OA=csα,AD=sinα，其中0