宁夏回族自治区石嘴山市平罗中学2024−2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份宁夏回族自治区石嘴山市平罗中学2024−2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数z满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，则（ ）
A．(4，3)B．(5，1)
C．(5，3)D．(7，8)
4．已知平面向量，且，则（ ）
A．B．C．D．3
5．在中，内角的对边分别为，已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则一定是
A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
8．如图在梯形中，，，设，，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共2小题）
9．已知向量，，则（ ）
A．若与垂直，则B．若，则的值为-5
C．若，则D．若，则与的夹角为60°
10．下列说法正确的有（ ）
A．已知，若与共线，则
B．若，则
C．若，则一定不与共线
D．若为锐角，则实数的范围是
三、单选题（本大题共1小题）
11．如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ）
A．船头方向与水流方向垂直B．
C．D．该船到达对岸所需时间为分钟
四、填空题（本大题共3小题）
12．设是虚数单位，是实数，若是实数，则 ．
13．在中，若，，，则 .
14．在中，，且三点共线，若，则的最小值是 ．
五、解答题（本大题共5小题）
15．已知平面向量，的夹角为，且，，．
(1)当时，求；
(2)当时，求的值．
16．为绘制海底地貌图，测量海底两点，间的距离，海底探测仪沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得，两点的距离为海里.
（1）求的面积；
（2）求，之间的距离.
17．已知
（1）当为何值时，与垂直
（2）若，且三点共线，求的值．
18．在中，角，，的三边长分别为，，，已知，．
(1)求角；
(2)求周长的取值范围．
19．在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，作，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定．
(1)分别根据下列已知条件求：
①，；②，；
(2)若向量，求证：；
(3)若A，B，C是以О为圆心的单位圆上不同的点，记，，．
（i）当时，求的最大值；
（ii）写出的最大值．（只需写出结果）
参考答案
1．【答案】D
【详解】,
所以，
故选D.
2．【答案】B
【详解】由题意，化简得，所以复数的虚部为.
故选B.
3．【答案】B
【详解】∵，
∴．
故选B.
4．【答案】A
【详解】向量，则，
由，得，所以.
故选A.
5．【答案】D
【详解】，
所以.
故选D.
6．【答案】A
【分析】根据题意，结合向量的运算法则，求得，结合向量的投影向量的计算方法，即可求解.
【详解】由向量和满足，，，
可得，解得，
所以向量在向量上的投影向量.
故选A.
7．【答案】D
【详解】由余弦定理得，则，即，所以.
∵
∴是等边三角形.
故选D.
8．【答案】D
【解析】根据题中，由向量的线性运算，直接求解，即可得出结果.
【详解】因为，，
所以，
又，，
所以.
故选D.
9．【答案】ABC
【详解】对于A，若与垂直，则，解得，故A正确；
对于B，若，则，解得，此时，故B正确；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，若，则，注意到此时，
与的夹角的余弦值为，故D错误.
故选ABC.
10．【答案】AD
【详解】A：若与共线，则，正确；
B：当时，，但不一定成立，错误；
C：，无法确定两个向量的方向，两个向量可能共线，错误；
D：由题设有，解得，正确；
故选AD.
11．【答案】B
【详解】由题意可知，，当船的航程最短时，，而船头的方向与同向，
由，可得，，A选项错误，B选项正确；
，C选项错误；
该船到达对岸所需时间为（分钟），D选项错误.
故选B.
12．【答案】1
【详解】因为是实数，所以，所以．
13．【答案】/
【详解】因为，为三角形内角，则，
则由正弦定理得，即，解得.
14．【答案】8
【详解】因为，，
所以，
又因为三点共线，
所以，
所以，
当且仅当时等号成立，此时.
15．【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1）
，故．
（2）由条件知，故，
所以．
16．【答案】（1）平方海里；（2）海里
【详解】（1）如图所示,在中
由正弦定理可得，，
则的面积（平方海里）
（2），
在中，由余弦定理得，
即（海里）
答：的面积为平方海里，，间的距离为海里.
17．【答案】（1）；（2）．
【详解】解：（1），
因为垂直，所以，
即，得.
（2）
因为三点共线，所以．
所以，即，所以.
18．【答案】(1)
(2)周长
【详解】（1）由正弦定理得，
在中，，，
所以，
所以.
（2）因为，，
由余弦定理可得：
所以，
所以，
在中，，
所以，
所以周长.
19．【答案】(1)答案见详解
(2)证明见详解
(3)（i）；（ii）
【分析】（1）由求解；
（2）由证明；
（3）（i）设， 由求解；（ii）设，求解.
【详解】（1）因为，，
且，
所以；
又，，
所以；
（2）因为向量，，
且向量，
则，
所以，
同理，
所以；
（3）（i）设，因为，
所以，
所以，
，
当，即时，
取得最大值；
（ii）设不包含的，不包含的，不包含的所对的圆心角分别是.
不妨设，否则适当地将中一点改为其对径点，则不变，但情况变为.
又因为，所以
.
当是正三角形时，有，此时.
所以的最大值为．