2024-2025学年宁夏石嘴山市平罗中学高一（下）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年宁夏石嘴山市平罗中学高一（下）第一次月考数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.设z=(1+2i)(1−i)，则|z|=( )
A. 1B. 2C. 5D. 10
2.已知复数z满足(1−i)2z=2−4i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为( )
A. 2B. 1C. −2D. i
3.已知向量a=(1,−2),b=(3,5)，则2a+b=( )
A. (4,3)B. (5,1)C. (5,3)D. (7,8)
4.已知平面向量a=(1,2)，b=(2x,x−1)，且a//(b−a)，则x=( )
A. −13B. 13C. 53D. 3
5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=5，b=2，C=π3，则c=( )
A. 2 6B. 39C. 29D. 19
6.已知向量a和b满足|a|=3，|b|=2，|a+b|= 7，则向量b在向量a上的投影向量为( )
A. −13aB. −aC. 13aD. a
7.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B=60°，b2=ac，则△ABC一定是( )
A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
8.如图，在梯形ABCD中，BC=2AD，DE=EC，设BA=a，BC=b，则BE=( )
A. 12a+14bB. 13a+56bC. 23a+23bD. 12a+34b
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量a=(1,−2)，b=(−1,m)，则( )
A. 若a与b垂直，则m=−12B. 若a/​/b，则a⋅b的值为−5
C. 若m=2，则|a−b|=2 5D. 若m=−2，则a与b的夹角为60°
10.下列说法正确的有( )
A. 已知a=(−1,2)，b=(2,x)，若a与b共线，则x=−4
B. 若a/​/b，b/​/c，则a/​/c
C. 若|a|≠|b|，则a一定不与b共线
D. 若AB=(3,1)，AC=(m−1,m)，∠BAC为锐角，则实数m的范围是m>34
11.如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度v1的大小为|v1|=8km/ℎ，水流速度v2的大小为|v2|=2km/ℎ，船的速度与水流速度的合速度为v，那么当航程最短时，下列说法正确的是( )
A. 船头方向与水流方向垂直B. cs=−14
C. |v|=2 17km/ℎD. 该船到达对岸所需时间为3分钟
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.设i是虚数单位，a是实数，若(1+i)(1−ai)是实数，则a= ．
13.在△ABC中，若a=3，b=4，csB=14，则sinA= ______．
14.在△ABC中，AC=2AE，且B、P、E三点共线，若AP=xAB+yAC，则2x+1y的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知平面向量a，b的夹角为2π3，且|a|=2，|b|=3，c=λa+b．
(1)当λ=−1时，求|c|；
(2)当b⊥c时，求λ的值．
16.为了绘制海底地图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内．海底探测仪测得∠BAC=30°，∠DAC=45°，∠ABD=45°，∠DBC=75°，A，B两点的距离为 3海里．

(1)求△ABD的面积；
(2)求C，D之间的距离．
17.已知a=(1,0),b=(2,1)
(1)当k为何值时，ka−b与a+2b垂直
(2)若AB=2a+3b,BC=a+mb，且A、B、C三点共线，求m的值．
18.在△ABC中，角A，B，C的三边长分别为a，b，c，已知a=3，asinB=2bsinAcsA．
(1)求角A；
(2)求△ABC周长l的取值范围．
19.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对任意两个向量m=(x1,y1)，n=(x2,y2)，作：OM=m，ON=n.当m，n不共线时，记以OM，ON为邻边的平行四边形的面积为S(m,n)=|x1y2−x2y1|；当m，n共线时，规定S(m,n)=0．
(1)分别根据下列已知条件求S(m,n)：
①m=(2,1)，n=(−1,2)；②m=(1,2)，n=(2,4)；
(2)若向量p=λm+μn(λ,μ∈R,λ2+μ2≠0)，
求证：S(p,m)+S(p,n)=(|λ|+|μ|)S(m,n)；
(3)若A，B，C是以O为圆心的单位圆上不同的点，记OA=a，OB=b，OC=c．
(ⅰ)当a⊥b时，求S(c,a)+S(c,b)的最大值；
(ⅱ)写出S(a,a)+S(b,c)+S(c,a)的最大值．(只需写出结果)
参考答案
1.D
2.B
3.B
4.A
5.D
6.A
7.C
8.D
9.ABC
10.AD
11.B
12.1
13.3 1516
14.8
15.解：(1)λ=−1时，|c|2=|−a+b|2=(−a+b)2
=a2+b2−2(a⋅b)
=a2+b2−2|a||b|cs120°
=4+9−2⋅2⋅3⋅(−12)=19，
所以|c|= 19．
(2)当b⊥c时，b⋅c=0，
所以0=b⋅c=b⋅(λa+b)=λ(a⋅b)+b2=λ|a||b|cs120°+|b|2=−3λ+9，
解得λ=3．
16.解：(1)∠ADB=180°−30°−45°−45°=60°，
在△ABD中，由正弦定理，得BDsin∠BAD=ABsin∠ADB，
∴BDsin∠75°= 3sin∠60°，解得BD= 6+ 22．
∴S△ABD=12AB⋅BDsin∠ABD=12× 3× 6+ 22×sin45°=3+ 34；
(2)△ABC中，∠ACB=180°−30°−45°−75°=30°，
∴BC=BA= 3，
△BCD中，由余弦定理，得CD2=BC2+BD2−2BC⋅BDcs∠DBC
=3+( 6+ 22)2−2× 3× 6+ 22× 6− 24=5，
∴CD= 5．
17.解：(1)ka−b=k(1,0)−(2,1)=(k−2,−1)，a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2)，
因为ka−b与a+2b垂直，所以5(k−2)+(−1)×2=0，
即5k−10−2=0，得k=125．
(2)AB=2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3)，
BC=a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m)
因为A，B，C三点共线，所以AB//BC．
所以8m−3(2m+1)=0，即2m−3=0，
所以m=32．
18.
19.解：(1)因为m=(2,1),n=(−1,2)，
且S(m,n)=|x1y2−x2y1|，
所以S(m,n)=|2×2−1×(−1)|=5；
又m=(1,2),n=(2,4)，
是S(m,n)=|1×4−2×2|=0；
(2)因为向量m=(x1,y1),n=(x2,y2)，
且向量p=λm+μn(λ,μ∈R,λ2+μ2≠0)，
则p=(λx1+μx2,λy1+μy2)，
所以S(p,m)=|(λx1+μx2)y1−(λy1+μy2)x1|=|μ||x1y2−x2y1|，
同理S(p,n)=|λ||x1y2−x2y1|．
所以S(p,m)+S(p,n)=(|λ|+|μ|)S(m,n)；
(3)(i)设〈c,a〉=α，因为a⊥b，
所以〈c,b〉=3π2−α，
所以S(c,a)+S(c,b)=sinα+sin(3π2−α)，
=sinα−csα= 2sin(α−π4)．
当α−π4=π2，即α=3π4时，
S(c,a)+S(c,b)取得最大值 2；
(ii)S(a,b)+S(b,c)+S(c,a)的最大值为3 32．