河南省信阳市新县高级中学2024届高三第一轮复习适应性考试 数学试题（含解析）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则在复平面上所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 在梯形中，设，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数，则的最大值为 （ ）
A. B. C. D.
5. 在菱形中，是的中点，是上一点（不与，重合），与交于，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 设函数若存在且，使得，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，与其准线交于点，若，则（ ）
A. B. 1C. D. 4
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 过抛物线（）的焦点作直线，交抛物线于两点，若，则直线的倾斜角可能为（ ）
A. B. C. D.
10. 某中学选派甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加数学竞赛，他们的成绩统计如下：
则下列结论正确的为（ ）
A. 这位同学成绩的中位数是
B. 这位同学成绩的平均数是
C. 这位同学成绩的第百分位数是
D. 若去掉戊的成绩，则剩余四人成绩的方差保持不变
11. 将函数图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的为（ ）
A. 的最小正周期为B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上单调递减D. 图象与的图象关于对称
12. 已知点在棱长为的正方体的表面上运动，且四面体的体积恒为，则下列结论正确的为（ ）
A. 的轨迹长度为
B. 四面体的体积最大值为
C. 二面角的取值范围为
D. 当的周长最小时，
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设等差数列的前项和为，若，，则公差 ______
14. 的展开式中的常数项为__________．（用数字作答）．
15. 某学校拟开展研究性学习活动，现有四名优秀教师将对三个研究性学习小组予以指导，若每个小组至少需要一名指导教师，且每位指导教师都恰好指导一个小组，则不同的指导方案数为___________．
16. 已知A为圆C：上的动点，B为圆E：上的动点，P为直线上的动点，则的最大值为______________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知为数列的前项和，且满足．
（1）求数列通项公式；
（2）记，求数列前项和．
18. 如图，在△ABC中，AB=BC=2，D为△ABC外一点，AD=2CD=4，记∠BAD=α，∠BCD=β.
（1）求的值；
（2）若△ABD的面积为，△BCD的面积为，求的最大值.
19. 现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，．现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”．
（1）求；
（2）求．
20. 如下图所示，在三棱锥中，等腰直角三角形，，为等边三角形．
（1）证明：；
（2）若直线AC与平面ABD所成角为，点E在棱AD上，且，求二面角的大小．
21. 已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线；
（2）讨论的单调性；
22. 已知点为椭圆的左焦点，在C上．
（1）求C的方程；
（2）记（1）中轨迹为曲线C，在曲线C的上半部分取两点M，N，若，，且．
①当时，求四边形的面积；
②求四边形的面积最大时点M的坐标．
学生
甲
乙
丙
丁
戊
成绩