河南省开封市新世纪高级中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题（含解析）

这是一份河南省开封市新世纪高级中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题（含解析），文件包含河南省开封市新世纪高级中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题原卷版docx、河南省开封市新世纪高级中学2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式得集合，根据交集运算求解即可.
【详解】 由题意得，，
.
故选：A.
2. 已知由小到大排列的个数据、、、，若这个数据的极差是它们中位数的倍，则这个数据的第百分位数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出这四个数的极差与中位数，根据已知条件求出的值，然后利用百分位数的定义可求得结果.
【详解】由小到大排列的个数据、、、，则，
这四个数为极差为，中位数为，
因为这个数据的极差是它们中位数的倍，则，解得，
所以，这四个数由小到大依次为、、、，
因为，故这个数据的第百分位数是.
故选：B.
3. 平面与平面平行的充要条件是（ ）
A. 内有无数条直线与平行B. ，垂直于同一个平面
C. ，平行于同一条直线D. 内有两条相交直线都与平行
【答案】D
【解析】
【分析】根据面面平行的判定定理逐项判断即可.
【详解】对于A，内有无数条直线与平行，可得与相交或；
对于B，与垂直于同一个平面，可得与相交或；
对于C，与平行于同一条直线，可得与相交或；
对于D，内有两条相交直线平行于，结合面面平行的判定定理可得，
故选：D．
4. 已知分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断曲线与直线是否存在交点，若存在，则最短距离为0，若不存在，则当曲线在切点处的斜率为2时，切点到直线的距离最短.
【详解】令，
因，则，
故曲线和直线无交点，
，则，令，解得，
则曲线上的点到直线的距离，
则的最小值为.
故选：A
5. 男、女各3名同学排成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一性别的两名同学不相邻，则不同的排法种数为（ ）
A. 36B. 72C. 144D. 288
【答案】B
【解析】
【分析】先求出第一排有2名男生，1名女生，根据分步乘法计数原理求出不同的站法种数. 同理可得，第一排有1名男生，2名女生，不同的站法种数.然后根据分类加法计数原理，相加即可得出答案.
【详解】若第一排有2名男生，1名女生，则第一排女生只能站中间，第二排男生只能站中间，
不同的排法种数为；
同理可得：若第一排有1名男生，2名女生，不同的排法种数为.
根据分类加法计数原理可知，不同的排法种数为.
故选：B.
6. 已知函数的图象与y轴的交点为，与x轴正半轴最靠近y轴的交点为，轴右侧的第一个最高点与第一个最低点分别为（B位于M与N之间），若的面积为10（其中O为坐标原点），则函数的最小正周期为（ ）
A. 6B. C. 12D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由的面积求出，再通过代入，求出，再由即可求出周期.
【详解】由题意，作图如下：
因为，
所以，所以，
因为图象与y轴的交点为，
所以，即，
因为，所以，
所以，
又因为图象最靠近y轴的与x轴正半轴的交点为，
所以，所以，
所以，所以.
故选：C.
7. 已知点是圆上一点，点是圆上一点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用圆的最值问题和正弦定理即可求解.
【详解】圆的圆心，半径，
圆的圆心， 半径，
在三角形中，，
根据正弦定理可得，，即，
所以，
因为，，
所以，
因为，所以是锐角，
所以的最大值为.
故选：B.
8. 若函数 的最大值为 2，则常数 的取值可以为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先分别分析函数和的最大值，再根据三角函数的性质，即可求解.
【详解】因为函数的最大值为1，的最大值为1，
由题意可知，取得最大值1时，也取得最大值1，
即当时，，，
得，，，
当时，，其他值不满足等式.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. 与的图象关于直线对称
B. 与的图象关于点对称
C. 当时，
D. 当时，与的图象恰有4个交点
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据三角函数图象的平移变换得到，利用正弦函数图象的对称性判断AB；验证即可判断C；求出方程的解的个数即可判断D.
【详解】由题得，，
A：与的图象关于直线对称的函数为
，故A正确；
B：当时，，
，所以与的图象不关于点对称，故B错误；
C：，
当时，，
令，则，在上恒小于0，
所以在上恒大于0，即，即，故C正确；
D：令，即，
得（无解）或，
解得，
又，所以，
解得（），所以，
即函数图象共有4个交点，故D正确.
故选：ACD
10. 已知点Q在圆上，，动点满足：在中，．则（ ）
A. 记的轨迹方程为轨迹：B. 的最大值为
C. 最小值是D. （点O为坐标原点）的最小值为7
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意作出示意图，设点坐标，然后表示出，即可建立方程，求得的轨迹方程，判断A选项；设点在一象限，化简，由基本不等式求得的最值，从而得到角的范围，判断B选项；由抛物线的性质化简得，由的范围求得结果判断C选项；由图可知当在圆与轴的左交点处时，此时同时取最小，即可判断D选项.
【详解】由题意可知，设，过点作轴于点，如图：

则，，
∴，即，∴，A选项正确；
∵由对称性可假设点在一象限，则，∵，当且仅当，即时取等号，
所以，∴，B选项错误；
，∴，C选项正确；
当在圆与轴的左交点处时，此时同时取最小，，∴的最小值为：7，D选项正确.
故选：ACD.
11. 已知为抛物线：的焦点，为上一点，点到的距离的最小值为4，过的直线交于，两点，的过，的切线交于点，则（ ）
A. 的准线方程为
B. 若，则线段的中点到轴的距离为5
C. 若的坐标为，则的方程为
D. 的面积的最小值为64
【答案】BCD
【解析】
【分析】先应用抛物线的性质计算得出进而得出抛物线方程及准线判断A，应用焦半径公式计算求解判断B，求出导函数得出切线再得出的直线方程判断C，先联立直线及抛物线应用弦长公式计算面积判断D.
【详解】因为上的动点到焦点的距离的最小值为4，所以，即.
所以的方程为，设，.对于A，由，得其准线方程为，故A错误；
对于B，由，得，所以，
故线段的中点的纵坐标为5，即的中点到轴的距离为5，故B正确；
对于C，由，得，所以，故过的切线斜率为，
故切线的方程为，所以，又，故切线的方程为，
同理切线的方程为，因为为与的公共点，故，，
所以点，均在直线上，即的方程为，故C正确；
对于D，由题意知直线的斜率存在，设其方程为，代入，
得，所以且，，
由得即，取的中点，则，
连接，则轴，
所以，
因为，，
所以，
当时，取得最小值，且，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 等差数列的前n项和为，，则_______.
【答案】7
【解析】
【分析】由题意，根据等差数列的通项公式及前项和公式，列出关于和方程组，求解即可.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
由，可得，
解得，
所以.
故答案为：7
13. 已知，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据同角三角函数基本关系求出、的值，再利用两角差的正切公式计算即可求解.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
故答案为：.
14. 已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】求出得到，得到关于直线对称，对求导，判断当时的单调性，根据得到恒成立，即可求解.
【详解】因为，定义域为，
，
即，所以关于直线对称，
又，
当时，，，，所以，
所以在单调递增，在单调递减，
因为不等式对任意恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
所以，即，解得，
所以实数a的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
（1）求证：；
（2）若是锐角三角形，且角A的平分线交BC边于D，且，求边b的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理以及两角和差的正弦公式化简得到，再根据角的范围即可证明；
（2）根据三角形形状及交的关系确定角的范围，在中利用正弦定理求得关于角的表达式，构造函数，利用函数的单调性求解即可.
【小问1详解】
因为，由正弦定理有：，
所以，
，
，
，
因为、，所以，
又因为，所以，所以，
因为，
所以有：，，或，（舍），
所以得证.
【小问2详解】
因为是锐角三角形，，所以，
所以，解得，
因为为的平分线，且，
所以，所以，
在中，，，
由正弦定理有：，即，
所以
，
因为，所以，
令，则，，
令，，
根据函数解析式，在上单调递减，
因为，，所以，
所以.
16. 如图，三棱柱的所有棱长都为2，,是的中点，．
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点，得到，证得，再由，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到，结合，证得平面，进而证得平面平面.
（2）连接，证得平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为和向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【小问1详解】
证明：取的中点，连接，
因为是的中点，所以，
又因为三棱柱的所有棱长都是2，
所以四边形为菱形，所以，所以，
因为，且，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
在等边中，因为为的中点，所以，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
【小问2详解】
解：连接，因为三棱柱的所有棱长都为2，且，
可得为等边三角形，且为的中点，所以，
由（1）知：平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
所以两两垂直，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
因为，
设与平面所成的角为，则，
所以与平面所成的角的正弦值为.
17. 高血脂症是指脂肪代谢或者运转异常使人体血液中的血脂含量超过正常范围，表现为血中胆固醇或甘油三酯过高或高密度脂蛋白过低，现代医学称“血脂异常”.高血脂症是常见病、多发病，更是导致心脑血管疾病的元凶.最新的调查显示，中国成人高血脂的患病率为41.1%，大概每五位成人中就有两位是高血脂患者.改善生活方式和药物治疗是最常用的治疗方式，同时适当锻炼可以使血脂水平下降，高血脂发病率降低，控制高血脂的发展.
（1）某社区为鼓励和引导辖区居民积极参加体育健身活动，养成良好的锻炼习惯，开展“低碳万步走，健康在脚下”徒步走活动.下表为开展活动起5个季度社区高血脂患者的血脂情况统计.
已知血脂明显降低（或治愈）人数与季度变量（季度变量依次为）具有线性相关关系，试求出与的经验回归方程，并预测第6季度血脂明显降低（或治愈）者大约有多少人？
（2）社区将参加徒步走活动的队员分成了甲、乙、丙三组去参加徒步走比赛.若比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲组在每轮比赛中获胜的概率均为；乙组在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙组在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和.设进入决赛的组数为，求的分布列与数学期望.
附：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
【答案】（1），378人
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）首先计算和，再代入参考公式，求回归方程，代入，即可求解；
（2）确定的取值，再根据随机变量的意义，结合独立事件概率公式，即可求分布列，最后代入期望公式，即可求解.
【小问1详解】
，.
，
，
所以，
所以，
所以，
当时，，
所以第6季度血脂明显降低（或治愈）者大约有378人.
【小问2详解】
由题知的可能取值为0，1，2，3.
依题意，甲组、乙组、丙组进入决赛的概率分别为，，，
所以，
，
，
.
所以随机变量的分布列为：
所以.
18. 已知函数.
（1）当时，若直线过原点且与曲线相切，求的方程；
（2）若函数在上恰有2个零点，.
①求的取值范围；
②求证：
【答案】（1）；
（2）①；②证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，设切点为，利用导数的几何意义求出，从而得到切线方程；
（2）①问题转化为恰有2个不相等的正实数根，，令，利用导数求出函数的单调性和最值，数形结合得解；②由题可得，，得，利用分析法可将所证明问题转化为，令，令，利用导数求出最值得证.
【小问1详解】
当时，，设直线与曲线相切于点，
因为，所以直线的斜率，
又，故的方程为，
又过原点，所以，所以，
所以，故的方程为，即.
【小问2详解】
①因为在上恰有两个零点，
所以关于的方程有两个不相等的正根，即恰有2个不相等的正实数根，，
令，则与的图象有两个不同的交点.
因，所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
当从0的右侧无限趋近于0时，趋近于；
当无限趋近于时，则趋近于，则图象如图所示，

所以当时，直线与的图象有两个不同交点，
所以实数的取值范围为.
②由①知，，
所以，，
所以，
不妨设，则，
要证，只需证，
因为，所以，所以，
则只需证.
令，则只需证当时，恒成立，
令，
所以，
所以在上单调递增，所以，
所以当时，恒成立，所以原不等式得证.
19. 在平面四边形中，，，将沿AC翻折至，其中P为动点.
（1）设，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上．
（i）证明：平面平面；
（ii）求球O的半径
（2）求二面角的余弦值的最小值.
【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）球O的半径为；
（2）.
【解析】
【分析】（1）（i）由题设求证，即可由线面垂直的判定定理得平面，再由面面垂直判定定理得证；（ii）建立以A为原点空间直角坐标系，
设球心，半径，由列方程组即可计算求解.
（2）过P作于G，在平面中，过G作，设，，以G为原点建立适当空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量,即可由向量夹角公式，通过换元，利用二次函数的性质即可求得.
【小问1详解】
在中，由，得，
所以，且，即，
（i）证明：因为，，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
（ii）以A为原点，分别为x轴和y轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，
则，设球心，半径，
则，
所以，
解得，所以球O的半径为；
小问2详解】
在平面中，过P作于G，在平面中，过G作，
因平面,则平面.
则由（1），
设，以G为原点，分别为x轴和y轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，则点在平面内，
则，
所以，
设平面一个法向量分别为，则，
即，取，则得；
平面的一个法向量为，则，
即，取，则得，
所以，
令，则由得，则，
于是
，
当且仅当即时等号成立，
所以二面角的余弦值的最小值为.
【点睛】方法点睛：求空间二面角常用方法：
（1）定义法：根据定义作出二面角的平面角；
（2）垂面法：作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的两条交线所成的角就是二面角所成角的平面角；
（3）向量坐标法：作几何体的空间直角坐标系，求出二面角的法向量，直接由公式计算即可；
（4）射影面积法：求出斜面面积和它在有关平面的射影的面积，再由射影面积公式计算求解.季度
1
2
3
4
5
血脂明显降低（或治愈）人数/人
100
150
210
270
320
0
1
2
3