2025年中考第二次模拟考试卷：数学（广东省卷）（解析版）

这是一份2025年中考第二次模拟考试卷：数学（广东省卷）（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．在下列四个图案的设计中，没有运用轴对称知识的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接利用轴对称图形的定义得出符合题意的答案．
【详解】
解：A、，是轴对称图形，故此选项错误；
B、，是轴对称图形，故此选项错误；
C、，不是轴对称图形，故此选项正确；
D、，是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题的关键．
2．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．－32与（－3）2B．－（－4）与|－4|C．－（＋5）与＋（－5 ）D．－23与（－2)3
【答案】A
【分析】先进行有理数的运算，再根据相反数的定义判断即可求解．
【详解】解：A. －32=-9，（－3）2=9，是互为相反数，故此选项符合题意；
B. －(－4)=4，|－4|=4，不是互为相反数，故此选项不符合题意；
C. －（＋5）=-5，＋（－5 ）=-5，不是互为相反数，故此选项不符合题意；
D. －23=-8与(－2)3=-8，不是互为相反数，故此选项不符合题意．
故选A．
【点睛】此题主要考查有理数的运算，绝对值，相反数多重符号化简，乘方，相反数，解题的关键是熟知相反数的定义．
3．第九届海峡交易会5月18日在榕城开幕，推出的重点招商项目总投资约450亿元人民币，将450亿元用科学记数法表示为（ ）
A．0.45×1011元B．4.50×109元C．4.5×1010元D．450×108元
【答案】C
【分析】根据单位换算450亿元=45000000000元，再表示成科学记数法即可．
【详解】450亿元=450×108 元=4.5×1010 元．
故选：C．
【点睛】本题考查了科学技术法，即把一个数写成a×10n（1≤a0时，下列运算正确的是（ ）
A．a0=1B．a−1=−aC．a2⋅a3=a6D．(a2)3=a5
【答案】A
【分析】依次计算各个选项，选出正确答案即可．
【详解】A． a>0时，a0=1，故A选项正确；
B．a>0时，a−1=1a，故B选项错误；
C． a2⋅a3=a5，故C选项错误；
D． (a2)3=a6，故D选项错误；
故选A．
【点睛】本题主要考查了零指数幂，负指数幂，同底数幂相乘及幂的乘方．熟练掌握运算法则是解题关键．
5．关于x的方程5+ax=5−a+ax的解是负数，则a的取值范围是（ ）
A．a5C．a>−5D．a1①43x−1≤x②，并把解集表示在数轴上．
【答案】−11 ①43x−1≤x ②
解不等式①得x>−1，
解不等式②得x≤3，
∴不等式组的解集为−11000
(2)当购买数量小于2000千克时，甲果园划算；当购买数量等于2000千克时，两家果园一样；当购买数量大于2000千克时，乙果园划算
【分析】（1）根据题意列出y甲、y乙与x之间的数量关系即可；
（2）根据（1）得出的y甲、y乙与x之间的数量关系，分两种情况进行讨论，第一种是当0≤x≤1000时，列出不等式求解即可，第二种是当x>1000时，分别列出y甲y乙不等式求解即可．
【详解】（1）解：y甲=15×0.9x=13.5x；
当0≤x≤1000时，y乙=15x；
当x>1000时，y乙=1000×15+15×0.8x−1000=12x+3000；
综上所述：y甲=13.5x，y乙=15x0≤x≤100012x+3000x>1000．
（2）解：当0≤x≤1000时，13.5xBD），连接AD、BD、CD．
【特殊化感知】
（1）如图1，若∠ACB=60°，点D在AO延长线上，则AD−BD与CD的数量关系为________；
【一般化探究】
（2）如图2，若∠ACB=60°，点C、D在AB同侧，判断AD−BD与CD的数量关系并说明理由；
【拓展性延伸】
（3）若∠ACB=α，直接写出AD、BD、CD满足的数量关系．（用含α的式子表示）
【答案】（1）AD−BD=CD；（2）AD−BD=CD（3）当D在BC上时，2CD⋅sinα2=AD−BD；当D在AB上时，2CD⋅sinα2=AD+BD
【分析】（1）根据题意得出△ABC是等边三角形，则∠CAB=60°，进而由四边形ACDB是圆内接四边形，设AD,BC交于点E，则BE=CE，设BD=1，则CD=BD=1，分别求得AD,BD，即可求解；
（2）在AD上截取DF=BD，证明△AFB≌△CDBAAS，根据全等三角形的性质即得出结论；
（3）分两种情况讨论，①当D在BC上时，在AD上截取DE=BD，证明△CAB∽△DEB，△ABE∽△CBD，得出AD−BDCD=ABBC，作CF⊥AB于点F，得出AB=2BC⋅sinα2，进而即可得出结论；②当D在AB上时，延长BD至G，使得DG=DA，连接AG，证明△CAB∽△DAG，△CAD∽△BAG，同①可得AB=2AC⋅sinα2，即可求解．
【详解】解：∵CA=CB，∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，则∠CAB=60°
∵⊙O是△ABC的外接圆，
∴AD是∠BAC的角平分线，则∠DAB=30°
∴AD⊥BC
∵四边形ACDB是圆内接四边形，
∴∠CDB=120°
∴∠DCB=∠DBC=30°
设AD,BC交于点E，则BE=CE，
设BD=1，则CD=BD=1
在Rt△BDE中，
∴BE=cs30°⋅BD=32BD=32
∴BC=3，
∵AD是直径，则∠ABD=90°，
在Rt△ABD中，AD=2BD =2
∴AD−BD=2−1=1
∴AD−BD=CD
（2）如图所示，在AD上截取DF=BD，
∵AB=AB
∴∠ADB=∠ACB=60°
∴△DBF是等边三角形，
∴BF=BD，则∠BFD=60°
∴∠AFB=120°
∵四边形ACDB是圆内接四边形，
∴∠CDB=120°
∴∠AFB=∠CDB；
∵CA=CB，∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，则∠CAB=60°
∴AB=BC，
又∵BD=BD
∴∠BCD=∠BAF
在△AFB,△CDB中
∠AFB=∠CDB∠BAF=∠BCDAB=CB
∴△AFB≌△CDBAAS
∴AF=CD，
∴AD−BD=AD−DF=AF=CD
即AD−BD=CD；
（3）解：①如图所示，当D在BC上时，
在AD上截取DE=BD，
∵AB=AB
∴∠ACB=∠ADB
又∵CA=CB,DE=DB
∴△CAB∽△DEB，则∠ABC=∠EBD
∴ABEB=BCBD即ABBC=EBBD
又∵∠ABC=∠EBD
∴∠ABE=∠CBD
∴△ABE∽△CBD
∴AECD=ABBC=BEBD
∵AE=AD−DE=AD−BD
∴AD−BDCD=ABBC
如图所示，作CF⊥AB于点F，
在Rt△BCF中，∠BCF=12∠ACB=12α，
∴BC⋅sinα2=BF
∴AB=2BC⋅sinα2
∴AD−BDCD=2sinα2，即2CD⋅sinα2=AD−BD
②当D在AB上时，如图所示，延长BD至G，使得DG=DA，连接AG，
∵四边形ACDB是圆内接四边形，
∴∠GDA=∠ACB=180°−∠ADB
又∵CA=CB,DG=DA
∴△CAB∽△DAG，则∠CAB=∠DAG
∴ACAD=ABAG即ACAB=ADAG，
又∵∠CAB=∠DAG
∴∠CAD=∠BAG
∴△CAD∽△BAG
∴CDBG=ACAB，
∵BG=BD+DG=BD+AD
同①可得AB=2AC⋅sinα2
∴CDBD+AD=ACAB=AC2AC⋅sinα2
∴2CD⋅sinα2=AD+BD
综上所述，当D在BC上时，2CD⋅sinα2=AD−BD；当D在AB上时，2CD⋅sinα2=AD+BD．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握截长补短的辅助线方法是解题的关键．
23．如图1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx−3a≠0的图象与x轴交于A−1,0、B3,0两点，与y轴相交于点C，抛物线的顶点为D，直线AD交y轴于点E，点P为点D右侧的抛物线上的一点，连接DP．
(1)求二次函数的函数表达式；
(2)若∠PDE=2∠DEC，则点P的坐标为 ；
(3)如图2，延长DP交x轴于点G，若AG=DG．
①求点G的坐标；
②Q为线段AD上一点(不与A、D重合)，N为x轴上一点，其横坐标为n，若∠PQN=∠DAB，则n的最大值为 ．
【答案】(1)y=x2−2x−3
(2)3,0
(3)①G(4,0)；②54
【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到三角形相似、一次函数的图象和性质，证明三角形相似是本题的难点．
（1）由题意得：y=a(x+1)(x−3)=a(x2−2x−3)=ax2+bx−3，即可求解；
（2）证明PD和ED关于DH对称，得到直线PD的表达式为：y=2(x−1)−4，联立PD和抛物线解析式即可求解；
（3）①由AG=DG，则(x+1)2=(x−1)2+16，即可求解；
②证明△NAQ ∽△QDP，则AN：DQ=AQ：PD，即n+1：[−5(m−1)]=5(m+1):209：，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：y=a(x+1)(x−3)=a(x2−2x−3)=ax2+bx−3，
∴−3a=−3，
则a=1，
则抛物线的表达式为：y=x2−2x−3；
（2）解：由抛物线的表达式知y=x2−2x−3=x−12−4，
∴点D1,−4，
设抛物线的对称轴交x轴于点H，
则HD∥y轴，则∠HDE=∠DCE，
而∠PDE=2∠DEC，
则∠PDH=∠EDH，
即PD和ED关于DH对称，
设直线AD的表达式为：y=kx+b，
则−k+b=0k+b=−4，
解得：k=−2b=−2，
∴y=−2x−2，
则直线PD的表达式为：y=2(x−1)−4，
联立上式和抛物线的表达式得：x2−2x−3=2(x−1)−4，
解得：x=1(舍去)或3，
则点P3,0，
故答案为：3,0；
（3）解：①设点G(x,0)，
∵AG=DG，
则(x+1)2=(x−1)2+16，
则x=4，
即点G4,0；
②由点A、D的坐标得，
直线AD的表达式为：y=−2x−2，
同理可得直线DG的表达式为：y=43(x−4)，
联立DG和抛物线的表达式得：
x2−2x−3=43(x−4)，
则x=1(舍去)或73，
则点P(73,−209)，
设点Nn,0，点Q(m,−2m−2)，
由点A、N、D、P、Q的坐标得，
AN=n+1，DQ=5(1−m)，AQ=5(m+1)，PD=209，
由①知，∠BAD=∠BDA，
而∠PQN=∠DAB，
即∠BAD=∠BDA=∠PQN=α，
则∠PCD+∠PQN=∠PCD+α=∠ANQ+∠NAQ=∠ANQ+α，
即∠NAQ=∠PCD，
∵∠BAD=∠BDA，
∴△NAQ∽ △QDP，
则AN:DQ=AQ:PD，
即n+1：[−5(m−1)]=5(m+1):209,
则n=−94m2+54≤54，
即n的最大值为：54，
故答案为：54.
成绩/分
90
92
93
94
95
96
97
98
99
100
人数/名
1
3
2
3
5
5
8
10
●
●