2025年中考数学第二次模拟考试（广东专用）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）
1．（本题3分）的相反数是（ ）
A．B．2025C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数．
【详解】解：的相反数是，
故选：B．
2．（本题3分）从不同方向看某个立体图形得到的平面图形如图所示，则这个立体图形可能是下面选项中的（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查三视图还原几何体，根据几何体与从不同角度看到的几何图形的关系解答即可．
【详解】解：根据从不同方向看某个立体图形得到的平面图形可知符合的立体图形为D选项，
故选：D．
3．（本题3分）据《央视新闻》2025年1月7日报道：截至2024年末，我国境内有效发明专利量达到475.6万件，继2024年成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，又同比增长．将475.6万用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：将475.6万用科学记数法表示应为．
故选：B．
4．（本题3分）下列计算错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂的除法的运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂的除法的运算法则逐项分析即可判断．
【详解】解：A、，故此选项计算正确，不符合题意；
B、，故此选项计算正确，不符合题意；
C、，故此选项计算正确，不符合题意；
D、，故此选项计算错误，符合题意；
故选：D．
5．（本题3分）小明在2025年春节去看电影，他想在《射雕英雄传：侠之大者》《哪吒：魔童闹海》《封神：战火西岐》《唐探1900》《蛟龙行动》《熊出没：重启未来》这六个电影中选取两个去观看，他选取背面完全相同的六张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中《哪吒》和《熊出没》的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查列表法或画树状图法求简单随机事件的概率，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
先列表共有30种等可能的结果，其中小明抽中《哪吒》和《熊出没》的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把《射雕英雄传：侠之大者》《哪吒：魔童闹海》《封神：战火西岐》《唐探1900》《蛟龙行动》《熊出没：重启未来》这六个电影卡片分别记为A、B、C、D、E、F， 列表如下：
共有30种等可能结果，其中小明抽中《哪吒》和《熊出没》的结果有2种，
∴小明抽中《哪吒》和《熊出没》的概率是．
故选：B．
6．（本题3分）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，先算出，结合两直线平行，内错角相等，得，即可作答．
【详解】解：如图所示：
∵，
∴，
∵光线是平行的，
∴，
故选：A．
7．（本题3分）若是一元二次方程的一个解，则的值为（ ）
A．1B．C． 0 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解，理解并掌握一元二次方程的解的概念及计算是关键．
根据题意，把代入计算即可．
【详解】解：是一元二次方程的一个解，
∴，
解得，，
故选：C ．
8．（本题3分）已知一次函数的图象如图，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．随的增大而减小
D．图形向上平移两个单位长度后，与坐标轴围成的三角形的面积变小
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，利用数形结合法熟练掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键．
根据一次函数的图象与性质判断即可．
【详解】由图象知，﹥，且随的增大而增大，故选项A结论正确，符合题意，C选项错误，不符合题意；
图象与轴交于负半轴，所以，B选项错误，不符合题意；
图形向上平移，与坐标轴围成的三角形的面积会逐渐变小，当过原点后，与坐标轴围成的三角形的面积会逐渐变大，故D选项错误，不符合题意；
故选：A．
9．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，在反比例函数的图象上，对角线平行于轴，坐标原点为的中点，若，则的值为（ ）
A．100B．150C．200D．250
【答案】B
【分析】过点作轴点，由菱形的性质可得，又由轴，是的中点，，可证明，则有，根据反比例函数的意义可得，即可求的值．
【详解】解：过点作轴于点，
是的中点，是菱形，
，
，
轴，O为的中点
∴，
∴，
，
，
∵四边形是菱形，
∴，
，
∵，
，
，
记与轴交于点F，
∵，均垂直轴，
，，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键．
10．（本题3分）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点是的中点，连接，．以点为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等边三角形的性质得出：，，再根据圆内接四边形的性质得出：，进而可得．由垂径定理的推论和圆周角定理的推论可得，进而求出的长，最后根据扇形面积公式即可得出答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是等边三角形，
，
，
，
∵点为弧的中点，
，
∴垂直平分线段，
∴经过点O，，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了扇形的面积，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形的外接圆与外心，熟练掌握扇形的面积，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质是解题的关键．
第一部分（共90分）
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）在“讲好数学故事”的比赛中，个评委老师给小明的打分成绩如下表所示，按照规则：去掉一个最高分，去掉一个最低分，其余评委的平均分即为选手的最后得分．则小明的最后得分是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平均数，掌握平均数的计算公式是解题的关键．
根据题意去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后算平均数即可．
【详解】解：∵去掉一个最高分，去掉一个最低分，
∴小明的最后得分是，
故答案为：．
12．（本题3分）已知，则的值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查因式分解的应用，先把变形为，再把变形为，整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：3．
13．（本题3分）2025年哈尔滨亚洲冬季运动会，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，将于2025年2月7日在哈尔滨市举行．如图，将本次运动会的会徽放入正方形网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，B两点的坐标建立好坐标系，即可确定点的坐标．
【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为，
∴建立坐标系如下：
∴点B的坐标为．
故答案为：
14．（本题3分）如果关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，解分式方程，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．
先求出不等式组的解集为，由于关于x的不等式组有解且多有4个整数解，则，解得，再求出分式方程的解为，从分式有意义的条件和整数解即可求出．
【详解】解：
由①得：，
由②得：，
∴，
∵关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，
∴，
解得：
，
，
解得：，且，即，
当，，，，时，解不是整数，舍；
∴或，
∴满足条件的整数a的值之和为，
故答案为：．
15．（本题3分）如图，平行四边形中，，，对角线，沿折叠，点落在上点处，折痕交于点，连接交于点．则的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键；
根据题意，先求出的长度，再判定四边形是菱形，然后判定和，利用相似三角形的性质求得和的长度，即可求解；
【详解】解：，
，
是平行四边形，
∴，
，
沿折叠，点落在上点处，折痕交于点，
，，
，
平行四边形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
∴，，
∴，
平行四边形中，，
，，
，，
∴，，
，
，
，
，
，
；
故答案为：
三、解答题（共75分）
16．（本题7分）计算：
【答案】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，负整数指数幂的意义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、立方根的意义，特殊角的三角函数值化简，再算加减．
【详解】解：原式
．
17．（本题7分）如图，矩形的中，，．

(1)尺规作图：在边上找一点E，使得沿折叠后点C的对称点恰好落在边上，请画出折痕以及点C的对称点．（保留作图痕迹，不写作法和结论）；
(2)直接写出此时的长_________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查尺规作图——作垂直平分线，矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理等知识点，理解相关图形的性质是解决问题的关键．
（1）在上取一点，使，以，为圆心，大于为半径画弧交于一点，连接该点与点交于，即可求解；
（2）根据矩形的性质及轴对称的性质得，，在中，，则，设，则，在中，，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）在矩形中，，，，
由题意可知，，，
在中，，则，
设，则，
在中，，即：，
解得：，即，
故答案为：．
18．（本题7分）习近平总书记多次谈及学习问题，强调要学以致用、用以促学、学用相长．某数学兴趣小组准备用所学过的数学知识测量学校篮球场上一照明灯灯杆的高度，具体测量过程如下：
测量过程：从灯杆的底部处沿水平方向移动至点处，利用测倾器（高度忽略不计）测得照明灯的仰角，利用皮尺测得．
已知条件：，支架与灯杆的夹角，支架，点均在同一平面内．参考数据：．
解决问题：请你根据数学兴趣小组的测量过程及已知条件，求出这个照明灯灯杆的高度．（结果精确到）
【答案】这个照明灯灯杆的高度的长为14.2米
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意；过点D作于点H，过点A作于点E，由题意易得四边形是矩形，然后可得，，，进而问题可求解．
【详解】解：过点D作于点H，过点A作于点E，如图所示：
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
答：这个照明灯灯杆的高度的长为14.2米．
19．（本题9分）为了了解学生对篮球、乒乓球、足球、排球、羽毛球这种球类运动项目的喜爱情况、我校开展了“我最喜爱的球类运动项目”的随机调查，并将调查结果进行了统计，形成了如下调查报告（不完整）．
结合调查信息，回答下列问题：
(1)参与本次调查的学生人数为________人；
(2)报告的扇形统计图中篮球项目所对应的圆心角度数为________．
(3)估计我校名初中生中最喜爱羽毛球项目的人数为________人；
(4)经调查，最喜爱羽毛球项目的学生中有名女生，若从最喜爱羽毛球项目的学生中随机抽取两名进行访谈，恰好抽取到“一名男生一名女生”的概率为________；
(5)假如你是小组成员，请你根据调查结果向学校提一条合理建议．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)因为喜欢篮球、乒乓球的学生较多，建议学校多配置篮球、乒乓球器材，增加篮球及乒乓球场地等（答案不唯一，合理即可）
【分析】（1）用抽取的乒乓球人数除以其所占的百分比即可求解；
（2）求出被调查的人中最喜爱篮球的人数，再用乘以被调查的人中最喜爱篮球的人数所占的百分比即可求解；
（3）用乘以被调查的人中最喜爱羽毛球的人数所占的百分比即可求解；
（4）列表展示出所有等可能的结果数，再求出符合条件的结果的种数，最后用概率公式求解即可；
（5）建议合理即可．
【详解】（1）解：（人），
故答案为：；
（2）解：被调查的人中最喜爱羽毛球的人数为（人），
被调查的人中最喜爱篮球的人数为（人），
扇形统计图中篮球项目所对应的圆心角度数为，
故答案为：；
（3）解：（人），
故答案为：；
（4）解：设最喜爱羽毛球项目中的名女生为，，剩下名男生为，，，
列表如图所示：
共有种等可能的结果，其中恰好抽取到“一名男生一名女生”的结果数有种，
恰好抽取到“一名男生一名女生” 的概率为，
故答案为：；
（5）解：因为喜欢篮球、乒乓球的学生较多，建议学校多配置篮球、乒乓球器材，增加篮球及乒乓球场地等（答案不唯一，合理即可）．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，用样本估计总体，列表法以及概率公式求概率，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
20．（本题9分）图1是清明上河园中供人们游玩的中国古代的马车，彰显了古代人们的智慧．图2是马车的侧面示意图，为过圆心O的车架，且与交于点B，地面与车轮相切于点D，连接，．
(1)求证：．
(2)小李测出车轮的直径为1米，为米，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)的长度为2米
【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是证明，求出AC的长，从而求出的长．
（1）如图，连接，根据切线的性质得到，即根据圆周角定理得到，即根据等腰三角形的性质得到，求得；
（2）由（1）知，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）解：证明：如图，连接，
与相切于点D，
，，即，
为的直径，
，
即，
，
，
；
（2）解：由（1）知，
又，
，
的直径，，，
，
解得，舍去
答：的长度为2米．
21．（本题9分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，“中国智造”的新能源汽车正引领世界潮流，逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售，根据市场调研知，2辆型汽车和3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车和2辆型汽车的进价共计95万元．
(1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元；
(2)若该4S店计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则该4S店共有几种购进方案？
(3)若该4S店销售1辆型汽车可获利0.7万元，销售1辆型汽车可获利0.4万元，在（2）中的购买方案中，不计其他成本，当购进的新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？
【答案】(1)汽车进价为万元，汽车进价为万元
(2)方案一：购买汽车辆，汽车辆；方案二：购买汽车辆，汽车辆；方案三：购买汽车辆，汽车辆；
(3)购买汽车辆，汽车辆，利润最大，为万元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确找出等量关系是解题的关键．
（1）设汽车进价为万元，汽车进价为万元，列二元一次方程，即可解答；
（2）设购买汽车辆，汽车辆，则可得，根据都为正整数即可解答；
（3）根据题意算出每种方案利润比较即可．
【详解】（1）解：设汽车进价为万元，汽车进价为万元，
根据题意可得，
解得，
答：汽车进价为万元，汽车进价为万元；
（2）解：设购买汽车辆，汽车辆，
则可得，
整理可得，
为正整数，
，且为的倍数，
或或，
则或或，
方案一：购买汽车辆，汽车辆；
方案二：购买汽车辆，汽车辆；
方案三：购买汽车辆，汽车辆；
（3）解：方案一：购买汽车辆，汽车辆，
此时利润为万元；
方案二：购买汽车辆，汽车辆；
此时利润为万元；
方案三：购买汽车辆，汽车辆；
此时利润为万元，
故选择方案三：购买汽车辆，汽车辆，利润最大，为万元．
22．（本题13分）探究发现
（1）如图1，在正方形中，点P、Q分别在边、上，连接、，若，则线段和的数量关系是___________，线段和的数量关系是___________；
类比延伸：
（2）如图2，在正方形中，点是边上的一个动点，连接，作的垂直平分线分别交、于点E、F，过点P作交于点，猜想线段、、的数量关系，并证明；
拓展应用：
（3）在（2）的条件下，若设的长为x，的长为，的长为，测量数据后画出的函数图象如图3所示，其中点是图象的最高点．
①直接写出正方形的边长；
②在点的运动过程中，当时，直接写出线段的长．
【答案】（1），；（2），见解析；（3）①4；②．
【分析】（1）根据正方形的性质可得，，再根据同角的余角相等可得，然后根据证明即可得，；
（2）方法一：易得，根据平行线分线段成比例定理可得，则，再根据证明，则可得，进而可得．
方法二：过点作，易证四边形是矩形，则可得，根据证明，则可得，进而可得．
（3）①由函数图象，得当时，．设正方形的边长为，则，．易得，则，求出a的值即可．
②过点作于点，根据可得，则可得，．设，则，，，．由可得．求出的值，再根据勾股定理求出的长，即可得的长．
【详解】解：（1）如图，设与的交点为O．
∵四边形是正方形，
，，
，
又，
，
，
，
在和中，
，
，
，．
故答案为：，；
（2）．
证法一：如解图1，设交于点，连接交于点．
垂直平分，
，，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
．
证法二：如解图2，过点作，
则，
又∵，,
，
∴四边形是矩形，
∴，
又，
，
，
，
又，
，
∴，
∴；
（3）①如解图3，由函数图象，得当时，，
设正方形的边长为，则，，
，
，
，
，
，
，即，
解得，即正方形的边长为4．
②如解图4，过点作于点，
则，，
，
又，
，
，
，，
设，则，，
，
．
由(2)得，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，函数图象的分析．正确的作出辅助线，并且能综合运用以上知识是解题的关键．
23．（本题14分）如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，对称轴为，且．
(1)直接写出抛物线的解析式为______．
(2)如图1，点D为抛物线顶点，点E是第一象限抛物线上一点，使得，，求E点坐标．
(3)将抛物线关于y轴翻折得到抛物线，如图2，它与x轴负半轴交于点P，与正半轴交于点Q，与y轴正半轴交于点C，直线与抛物线交于M，N两点，且平分，求点P到直线的最大距离．
【答案】(1)
(2)
(3)点P到直线的最大距离
【分析】本题考查二次函数综合体，涉及到待定系数法求解析式，三角函数，二次函数与定点问题，相似三角形的判定与性质等知识点；
（1）先求出，再由，得到，，求出抛物线对称轴为，解得，再根据交点式求解析式即可；
（2）先求出顶点，过作交于，轴于，过作交直线于，则， ，，由可得，再证明得到，代入数值后即可求出，再求出直线解析式，最后联立二次函数解析式解方程即可得到；
（3）先求出抛物线关于y轴翻折得到抛物线解析式为，得到，， ，则，过作轴，过作于，过作轴于，则，即可得到，，再分别设直线解析式为，直线解析式为，与抛物线联立后得到，，代入得到，设直线解析式为，与抛物线联立后得到，代入关系式消元后得到，即可得到直线过定点，最后由垂线段最短可得：点P到直线的距离不超过，据此求解即可．
【详解】（1）解：令，则，
∴，
∴，
∴，，
∴抛物线对称轴为，
∵对称轴为，
∴，解得，
∴，，，
∴，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，
故答案为：．
（2）解：∵，
∴顶点，
如图，过作交于，轴于，过作交直线于，则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，把代入得，解得，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴；
（3）解：∵点关于y轴翻折得到点，
∴抛物线关于y轴翻折得到抛物线解析式为，
令，解得，
∴，，
∴，
∴，
如图，过作轴，过作于，过作轴于，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴设直线解析式为，直线解析式为，
联立，解得或，
∴，
同理，
∴，，
∴，
整理得，
设直线解析式为，
联立，整理得，
∴，
∴，
整理得，
∴，
整理得，
∴直线解析式为，
当时，，即直线过定点，
∴，
∵由垂线段最短可得：点P到直线的距离不超过，
∴点P到直线的最大距离．
第二张 第一张
A
B
C
D
E
F
A
B,A
C,A
D,A
E,A
F,A
B
A,B
C,B
D,B
E,B
F,B
C
A,C
B,C
D,C
E,C
F,C
D
A,D
B,D
C,D
E,D
F,D
E
A,E
B,E
C,E
D,E
F,E
F
A,F
B,F
C,F
D,F
E,F
评委编号
成绩
调查目的
、了解本校初中生最喜爱的球类运动项目
、给学校提出更合理地配置体育运动器材和场地的建议
调查方式
随机抽样调查
调查对象
部分初中生
调查内容
你最喜爱的一个球类运动项目（每位被调查者必须且只能单选）
A．篮球 B．乒乓球 C．足球 D．排球 E．羽毛球
调查结果
建议
…
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