2024-2025学年甘肃省白银八中高三（下）质检数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年甘肃省白银八中高三（下）质检数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|lnx>0},B={x|y= 4−x2}，则A∩B=( )
A. (1,2]B. (0,2]C. [0,+∞)D. (1,+∞)
2.若复数z满足(4+2i)z=(3−i)2，则|z|=( )
A. 1B. 2C. 3D. 5
3.已知tan(5π4−α)=−13，则sin2α=( )
A. 45B. −45C. 35D. −35
4.已知向量a=(m+3,2m+1)，b=(m+3,−5)，则“|m|=2”是“a⊥b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，α∩β=n，则下列说法正确的是( )
A. 若m//α，则m//nB. 若m//n，则m//α
C. 若m⊥n，则m⊥βD. 若m⊥β，则m⊥n
6.连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是2”，事件B为“第二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，则( )
A. P(A)=136B. A与C相互独立C. A与C互斥D. B与C互斥
7.设F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，若AF2⊥BF2，|AB|=5a3，则C的离心率为( )
A. 2 55B. 35C. 25D. 55
8.若f(x)=(x−1)3+2(x−1)−lnx2−x+2，数列{an}的前n项和为Sn，且S1=110，2Sn=nan+1，则i=119[f(ai)+f(a20−i)]=( )
A. 76B. 38C. 19D. 0
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中正确的是( )
A. a>b>0，则acb，cb−d
C. 若1≤a≤5，−1≤b≤2，则−1≤a−b≤6
D. 若x>1，则x+1x的最小值是2
10.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l与该抛物线交于M，N两点，且|MN|的最小值为4，O为坐标原点，则( )
A. p=2
B. 存在直线l，使得△OMN的面积为1
C. 对于任意的直线l，都有OM⋅ON=−3
D. 当|MN|=8时，直线l的倾斜角为π6或5π6
11.在数学史上，曾经定义过下列两种三角函数：1−csθ为角θ的正矢，记作versinθ；1−sinθ为角θ的余矢，记作cversinθ.则下列说法正确的是( )
A. 函数y=cversinx−versinx在[π4,π]上单调递减
B. 若 cversin x−1 versin x−1=2，则cversin2x−versin2x=−75
C. 若函数f(x)=versin(2024x−π3)+cversin(2024x+π6)，则f(x)的最大值为2+ 2
D. versin(π2−θ)=cversinθ
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知{an}为等差数列，公差为−2，且a72=a3a9，则前10项和S10= ______．
13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA+bsinB=csinC− 3bsinA，则C= ______．
14.已知三棱锥P−ABC的四个顶点都在球体O的表面上，若BA=2，AC=4，且PA=PB=PC=BC=2 3，则球体O的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=ax−sinx．
(1)若函数f(x)为增函数，求实数a的取值范围；
(2)求证：当x>0时，ex>2sinx．
16.(本小题15分)
在一个不透明的盒子中装有除颜色外其余完全相同的若干个小球，其中有m个白球，m个黑球，2个黑白相间的球，且从盒子中随机摸出1个球，摸到黑白相间的球的概率为15．
(1)从盒子中随机摸出1个球，求在摸出的球上带有黑色的条件下，摸出黑白相间的球的概率；
(2)从盒子中1次随机取出1个球，取出后不放回，共取2次，设取出的黑球数量为X，求X的分布列与期望．
17.(本小题15分)
已知双曲线C：x2a2−y2=1(a>0)的离心率为 52，左、右顶点分别为M，N，过点A(2a,0)的直线l与C的右支交于P，Q两点．
(1)求C的方程；
(2)证明：直线MP与NQ的斜率之比为定值．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD= 2，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC/​/AD，AB⊥AD，AB=BC=1，O为AD中点．
(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值．
(2)求B点到平面PCD的距离．
(3)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q−AC−D的余弦值为 63？若存在，求出PQQD的值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
设正整数n≥3，集合{a1,a2,⋯,an}={1,2,⋯,n}，已知有穷数列A0：a1，a2，⋯，an经过一次M变换后得到数列A1：max{a1,a2}，max{a2,a3}，⋯，max{an−1,an}，max{an,a1}，其中max{a,b}表示a，b中的最大者.记数列A的所有项之和为S(A)．
(1)若A0：1，3，2，4，求S(A1)；
(2)当n=5时，求S(A1)的最大值；
(3)若A1经过一次M变换后得到数列A2，求S(A2)的最大值．
参考答案
1.A
2.D
3.A
4.B
5.D
6.B
7.D
8.A
9.BC
10.AC
11.BD
12.110
13.5π6
14.18π
15.

16.解：(1)由题意可知，2m+m+2=15，
解得m=4，
盒子中带有黑色的球有6个，其中黑白相间的球有2个，
所以在摸出的球上带有黑色的条件下，摸出黑白相间的球的概率p=26=13；
(2)依题意，X的可能值为0，1，2，
则P(X=0)=A62A102=13,P(X=1)=C21A41A61A102=815,P(X=2)=A42A102=215，
所以X的分布列为：
所以E(X)=0×13+1×815+2×215=45．
17.解：(1)由题意可得b=1，
又双曲线的离心率e=ca= 52，且c2=a2+1，解得a=2，c= 5，
故C的方程为x24−y2=1，A(4,0)．
(2)证明：如图，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

M(−2,0)，N(2,0)，而l必过A(4,0)，
而kMP=y1x1+2，kNQ=y2x2−2，故kMPkNQ=y1x1+2y2x2−2，
当l的斜率不存在时，l的方程为x=4，
联立方程组x=4，x24−y2=1，解得x1=4,y1= 3或x2=4,y2=− 3，
故P(4, 3)，Q(4,− 3)，由斜率公式得kMP= 34−(−2)= 36，
kNQ=− 34−2=− 32，故kMPkNQ= 36− 32=−13，
当l的斜率存在时，设l的方程为y=k(x−4)，
而y1=k(x1−4)，y2=k(x2−4)，
故kMPkNQ=y1x1+2y2x2−2=k(x1−4)x1+2×x2−2k(x2−4)=(x1−4)(x2−2)(x1+2)(x2−4)
=(x1−4)(x2−2)(x1+2)(x2−4)=x1x2−2x1−4x2+8x1x2+2x2−4x1−8=x1x2−4(x1+x2)+2x1+8x1x2+2x2−4x1−8，
联立方程组y=k(x−4)x24−y2=1，消去y整理得(1−4k2)x2+32k2x−64k2−4=0，
而l与C的右支交于P，Q两点，故1−4k2≠0，
Δ=(32k2)2−4(1−4k2)(−64k2−4)=192k2+16>0，
由韦达定理得x1+x2=−32k21−4k2，x1x2=−64k2−41−4k2，故x2=−32k21−4k2−x1，
代入到表达式中得到x1x2−4(x1+x2)+2x1+8x1x2+2x2−4x1−8，
=−64k2−41−4k2+128k21−4k2+2x1+8−64k2−41−4k2+2(−32k21−4k2−x1)−4x1−8
=64k2−41−4k2+2x1+8−64k2−41−4k2−64k21−4k2−2x1−4x1−8=64k2−41−4k2+2x1+8−128k2−41−4k2−6x1−8
=64k2−41−4k2+2x1(1−4k2)1−4k2+8(1−4k2)1−4k2−128k2−41−4k2−6x1(1−4k2)1−4k2−8(1−4k2)1−4k2
=64k2−41−4k2+2x1−8x1k21−4k2+8−32k21−4k2−128k2−41−4k2−6x1−24x1k21−4k2−8−32k21−4k2
=64k2−4+2x1−8x1k2+8−32k21−4k2−128k2−4−6x1+24x1k2−8+32k21−4k2
=64k2−4+2x1−8x1k2+8−32k2−128k2−4−6x1+24x1k2−8+32k2
=32k2+2x1(1−4k2)+4−96k2−6x1(1−4k2)−12=32k2+2x1(1−4k2)+4−3[32k2+2x1(1−4k2)+4]=−13，
即此时直线MP与NQ的斜率之比为定值，
综上，直线MP与NQ的斜率之比为定值．
18.解：(1)在△PAD中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD，
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD．
又在直角梯形ABCD中，易得OC⊥AD；
所以以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系．
则P(0,0,1)，A(0,−1,0)，B(1,−1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)；
所以PB=(1,−1,−1)，易证：OA⊥平面POC，
所以OA=(0,−1,0)，平面POC的法向量，
COS=PB⋅OA|PB||OA|= 33
所以PB与平面POC所成角的余弦值为 63 ….(4分)
(2)PB=(1,−1,−1)，设平面PDC的法向量为u=(x,y,z)，
则u⋅CP=−x+y=0u⋅PD=y−z=0，取z=1得u=(1,1,1)
B点到平面PCD的距离d=|BP⋅u||u|= 33….(8分)
(3)假设存在，则设PQ=λPD(0