甘肃省兰州市城关区树人中学2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试卷

这是一份甘肃省兰州市城关区树人中学2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）人工智能与5G时代已悄然来临，科技逐渐融入人类生活．下列设计的人工智能图标中，是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）若a＜b＜0，则下列结论正确的是（ ）
A．﹣a＜﹣bB．a+1＞b+1C．﹣a+1＞﹣b+1D．2a＞a+b
3．（3分）下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（a﹣3）（a+2）＝a2﹣a﹣6
B．x2﹣1+y2＝（x+1）（x﹣1）+y2
C．2x2y＝2x•xy
D．a2+2a＝a（a+2）
4．（3分）下列各式从左到右变形一定正确的是（ ）
A．＝B．＝﹣1
C．＝D．＝
5．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
6．（3分）“会飞的饺子皮”刷爆朋友圈，卡塔尔世界杯吉祥物“拉伊卜”刷爆网络！下面是“拉伊卜”的形象图片，在下面的四个图形中，能由左图经过平移得到的图形是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．B．C．D．5
8．（3分）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
9．（3分）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直B．对角线相等
C．对角线互相平分D．对角相等
10．（3分）为了研究特殊的四边形，老师制作了一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，右手握住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察这个变化过程和所得到的四边形，下列说法正确的是（ ）
①四边形ABCD由平行四边形变为矩形；②B、D两点之间的距离不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变．
A．①②B．①④C．①②④D．①③④
11．（3分）如图：A（1，0），B（0，2），若将线段AB平移至A1B1，则5a﹣b的值为（ ）
A．6B．8C．﹣8D．10
12．（3分）如图1，在等边△ABC中，动点P从点A出发，沿三角形的边由A→C→B做匀速运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则△ABC的面积为（ ）
A．4B．8C．8D．16
二、填空题（每小题3分，共12分）：
13．（3分）若式子有意义，则实数x的取值范围是 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AC、AB的中点，点F在线段DE上，AB＝10，BF＝8，AF＝6，BC＝14，线段DF的长度是 ．
15．（3分）关于x的不等式组有且只有3个整数解，则常数k的取值范围是 ．
16．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P，则∠APD的度数为 ；连接CP，线段CP的最小值为 ．
三、解答题（共72分）
17．（4分）分解因式：
（1）a3﹣6a2+9a；
（2）x2（x﹣3）+4（3﹣x）．
18．（4分）已知x2﹣x﹣1＝0，求的值．
19．（4分）解方程：．
20．（4分）解一元一次不等式组，并在数轴上表示其解集．
．
21．（6分）为了筹备第十八届春季越野比赛，学校计划购买甲、乙两种纪念品．已知购买7件甲种纪念品和2件乙种纪念品需用25元，购买5件甲种纪念品和4件乙种纪念品需用23元．
（1）求每件甲种纪念品和每件乙种纪念品各多少元；
（2）若学校购买甲、乙两种纪念品共1000件，总费用不超过2800元，那么最多可以购买甲种纪念品多少件？
22．（6分）列方程解应用题．
某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天改造道路的长度比原来增加了20%，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？
23．（6分）下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：△ABC中BC边上的高线AD．
作法：如图，
①以点B为圆心，BA的长为半径作弧，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E；
②连接AE交BC于点D．
所以线段AD是△ABC中BC边上的高线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵ ＝BA， ＝CA，
∴点B，C分别在线段AE的垂直平分线上（ ）（填推理的依据）．
∴BC垂直平分线段AE．
∴线段AD是△ABC中BC边上的高线．
24．（6分）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知AB＝1000m，AC＝600m，BC＝800m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．
（1）请通过计算说明着火点C是否受洒水影响？
（2）若该飞机的速度为14m/s，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
25．（6分）今年5月20日是第35届中国学生营养日，某初中食堂当日营养午餐如表所示．
（1）午餐的营养素主要来自猪小排、猪肉（瘦）所含的蛋白质和脂肪，每克猪小排、猪肉（瘦）中的蛋白质和脂肪含量如表所示，按配餐要求推算该日午餐猪小排与猪肉（瘦）提供的蛋白质、脂肪质量应分别为31克、27.2克，求该日午餐所需要的猪小排与猪肉（瘦）的质量分别是多少克；
（2）按配餐要求菜品“青椒包菜”中青椒和包菜共150g，已知每克青椒与包菜分别含有0.022g、0.01g的膳食纤维，出于口感考虑，该菜品中青椒质量不超过包菜质量的一半，青椒与包菜的质量分别为多少时，该菜品膳食纤维的含量最高？
26．（8分）综合与实践
问题情境；如图①，D，E分别是△ABC中AB，AC上的两点，且AB＝AC，AD＝AE．
猜想证明：
（1）当∠A＝60°时，将△ADE绕点A逆时针方向旋转一定角度，使点E落在BC上，如图②所示，连接BD，则BD与CE的数量关系是 ，∠DBC的度数是 ．
（2）当∠A＝90°时，将△ADE绕点A逆时针方向旋转一定角度，使点E落在BC上，如图③所示，连接BD，请写出BD与CE的数量关系与位置关系，并说明理由．
问题解决：
（3）当∠A＝90°时，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，使得点C落在ED的延长线上，如图④所示，直接写出AC，CD，CE之间的数量关系．
27．（9分）根据前面已经学过的“距离”我们知道：点到直线的“距离”是直线外一点和直线上各点连接的所有线段中最短的线段（即垂线段）的长度．类似的我们给出两个图形G1＝G2的“距离”定义：如果点P为图形G1上的任意一点，点Q为图形G2上的任意一点，且P、Q两点的“距离”有最小值，那么称这个最小值为图形G1，G2的“距离”，记为d（G1，G2），特别地，当图形G1，G2有公共点时，图形G1，G2的“距离”d（G1，G2）＝0．
（1）如图1，在平面直角坐标系中，△OAB是等边三角形，点B在第一象限，若A（5，0），D（﹣3，0），E（0，4），则d（D，△OAB）＝ ，d（E，△OAB）＝ ；
（2）如图2，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），将一次函数y＝kx+6的图象记为L．
①若d（L，△ABC）＝0，求k的取值范围；
②若k＞0，且d（L，△ABC）＝2，则k的值为 ；
（3）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P（4n，6﹣3n）为平面内一上点，其中n为任意实数，求d（0，P）．
2023-2024学年甘肃省兰州市城关区树人中学八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）人工智能与5G时代已悄然来临，科技逐渐融入人类生活．下列设计的人工智能图标中，是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判断即可得出结论．
【解答】解：A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项符合题意；
B、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故选项符合题意；
C、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故选项不符合题意；
故选：A．
2．（3分）若a＜b＜0，则下列结论正确的是（ ）
A．﹣a＜﹣bB．a+1＞b+1C．﹣a+1＞﹣b+1D．2a＞a+b
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可．
【解答】解：若a＜b，两边同时乘﹣1得﹣a＞﹣b，则A不符合题意；
若a＜b，两边同时加上1得a+1＜b+1，则B不符合题意；
若a＜b，两边同时乘﹣1再同时加上1得﹣a+1＞﹣b+1，则C符合题意；
若a＜b，两边同时加上a得2a＜a+b，则D不符合题意；
故选：C．
3．（3分）下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（a﹣3）（a+2）＝a2﹣a﹣6
B．x2﹣1+y2＝（x+1）（x﹣1）+y2
C．2x2y＝2x•xy
D．a2+2a＝a（a+2）
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：A． （a﹣3）（a+2）＝a2﹣a﹣6，是多项式的乘法运算，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
B．x2﹣1+y2＝（x+1）（x﹣1）+y2，等式的右边不是整式的乘积的形式，故该选项不正确，不符合题意；
C．2x2y＝2x⋅xy，等式的左边不是多项式，故该选项不正确，不符合题意；
D．a2+2a＝a（a+2），是因式分解，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
4．（3分）下列各式从左到右变形一定正确的是（ ）
A．＝B．＝﹣1
C．＝D．＝
【分析】运用分数的基本性质进行逐一变形、辨别．
【解答】解：∵＝或＝，
∴选项A不符合题意；
∵＝﹣＝﹣1，
∴选项B符合题意；
∵，
∴选项C不符合题意；
∵＝＝，
∴选项D不符合题意，
故选：B．
5．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180•（n﹣2）＝3×360，
解得n＝8．
故选：C．
6．（3分）“会飞的饺子皮”刷爆朋友圈，卡塔尔世界杯吉祥物“拉伊卜”刷爆网络！下面是“拉伊卜”的形象图片，在下面的四个图形中，能由左图经过平移得到的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据平移的定义“平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移”．
【解答】解：根据平移的性质可知，平移只改变图形的位置，而图形的形状及大小不变，
所以图形平移后得到的是D选项，
故选：D．
7．（3分）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．B．C．D．5
【分析】先证四边形ABCD是菱形，由勾股定理可求BO，由菱形的面积公式可求解．
【解答】解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O，
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S▱ABCD＝BC•AF＝CD•AE．
又∵AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD，
∴BO＝＝＝2，
∴BD＝4，
∴四边形ABCD的面积＝＝4，
故选：A．
8．（3分）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1＝0，得到x＝1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【解答】解：，
方程两边都乘（x﹣1）得2m﹣1﹣7x＝5（x﹣1），
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣1＝0，
解得x＝1，
当x＝1时，2m﹣1﹣7＝0，
解得m＝4．
故选：A．
9．（3分）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直B．对角线相等
C．对角线互相平分D．对角相等
【分析】根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形所具有的性质，矩形和菱形都具有，故可得出答案．
【解答】解：∵矩形和菱形是平行四边形，
∴C、D是二者都具有的性质，A是菱形具有的性质，
∴对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质．
故选：B．
10．（3分）为了研究特殊的四边形，老师制作了一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，右手握住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察这个变化过程和所得到的四边形，下列说法正确的是（ ）
①四边形ABCD由平行四边形变为矩形；②B、D两点之间的距离不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变．
A．①②B．①④C．①②④D．①③④
【分析】根据在框架变动过程中，四边形的长度不变，BC边上的高、AC、BD的长度不断变化解答即可．
【解答】解：①由有一个角是直角的四边形是矩形可知此时四边形ABCD由平行四边形变为矩形，
故①正确；
②B、D两点之间的距离不断变化，
故②错误；
③由底BC不变，高不断变化可知，四边形ABCD的面积不断变化，
故③错误；
④由四边形的长度不变可知四边形ABCD的周长不变，
故④正确．
所以正确的说法有①④．
故选：B．
11．（3分）如图：A（1，0），B（0，2），若将线段AB平移至A1B1，则5a﹣b的值为（ ）
A．6B．8C．﹣8D．10
【分析】根据图中信息，确定平移的方向和距离，确定a，b的值，再代入代数式求解即可．
【解答】解：∵由图可知：A（1，0），B（0，2），AB平移至A1B1，A1（3，b），B1（a，4），
∵，，
∴线段AB向右平移2个单位，向上平移2个单位平移至A1B1，
∴，，
则b＝2，a＝2，
∴5a﹣b＝5×2﹣2＝8．
故选：B．
12．（3分）如图1，在等边△ABC中，动点P从点A出发，沿三角形的边由A→C→B做匀速运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则△ABC的面积为（ ）
A．4B．8C．8D．16
【分析】根据图2可得：等边三角形的边长为4，根据三角形的特殊角的三角函数求高AD的长，由三角形面积可得结论．
【解答】解：由图2可知：等边三角形的边长为4，
如图3，作高AD，
∴AC＝4，∠C＝60°，
sin60°＝，
AD＝ACsin60°＝4×＝2，
∴y＝BC•AD＝×4×2＝4．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共12分）：
13．（3分）若式子有意义，则实数x的取值范围是 x≠3 ．
【分析】根据分式有意义的条件可得x﹣3≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣3≠0，
解得：x≠3，
故答案为：x≠3．
14．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AC、AB的中点，点F在线段DE上，AB＝10，BF＝8，AF＝6，BC＝14，线段DF的长度是 2 ．
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据勾股定理的逆定理得到∠AFB＝90°，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出FE，进而求出DF．
【解答】解：∵点D、E分别是边AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝×14＝7，
∵AF＝6，BF＝8，AB＝10，
∴AF2+BF2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，
∴AF2+BF2＝AB2，
∴∠AFB＝90°，
∵E是边AB的中点，
∴FE＝AB＝5，
∴DF＝DE﹣FE＝7﹣5＝2，
故答案为：2．
15．（3分）关于x的不等式组有且只有3个整数解，则常数k的取值范围是 ﹣3＜k≤﹣2 ．
【分析】解两个不等式得出其解集，再根据不等式组整数解的情况列出关于k的不等式，解之即可．
【解答】解：解不等式4x﹣3≥2x﹣5，得：x≥﹣1，
解不等式x+2＜k+6，得：x＜k+4，
∵不等式组只有3个整数解，
∴不等式组的整数解为﹣1、0、1，
则1＜k+4≤2，
解得﹣3＜k≤﹣2，
故答案为：﹣3＜k≤﹣2．
16．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P，则∠APD的度数为 90° ；连接CP，线段CP的最小值为 ﹣1 ．
【分析】根据“边角边”证明△ADE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠CDF，然后求出∠APD＝90°，取AD的中点O，连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点P到AD的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，然后根据勾股定理列式求出CO，再求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADE＝∠DCF＝90°，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠DAE＝90°，
∴∠APD＝90°，
取AD的中点O，连接OP，则OP＝AD＝×2＝1（不变），
根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，
在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO＝＝＝，
所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．
故答案为：90°，﹣1．
三、解答题（共72分）
17．（4分）分解因式：
（1）a3﹣6a2+9a；
（2）x2（x﹣3）+4（3﹣x）．
【分析】（1）先提公因式，然后利用完全平方公式法分解因式；
（2）先提公因式，然后利用平方差公式法分解因式．
【解答】解：（1）a3﹣6a2+9a
＝a（a2﹣6a+9）
＝a（a﹣3）2；
（2）x2（x﹣3）+4（3﹣x）
＝x2（x﹣3）﹣4（x﹣3）
＝（x﹣3）（x2﹣4）
＝（x﹣3）（x+2）（x﹣2）．
18．（4分）已知x2﹣x﹣1＝0，求的值．
【分析】利用分式的混合运算法则将化简为，再根据题意得到x2＝x+1，将x2＝x+1代入化简后的式子求解．
【解答】解：
＝
＝，
∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2＝x+1，
∴上式＝．
19．（4分）解方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：12﹣2（x+3）＝x﹣3，
去括号得：12﹣2x﹣6＝x﹣3，
移项合并得：3x＝9，
解得：x＝3，
经检验x＝3是增根，分式方程无解．
20．（4分）解一元一次不等式组，并在数轴上表示其解集．
．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，最后在数轴上用实心点及向右射线表示x≥﹣1，空心点及向左射线表示x＜3即可．
【解答】解：解不等式2x+1≥x，得：x≥﹣1，
解不等式，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
21．（6分）为了筹备第十八届春季越野比赛，学校计划购买甲、乙两种纪念品．已知购买7件甲种纪念品和2件乙种纪念品需用25元，购买5件甲种纪念品和4件乙种纪念品需用23元．
（1）求每件甲种纪念品和每件乙种纪念品各多少元；
（2）若学校购买甲、乙两种纪念品共1000件，总费用不超过2800元，那么最多可以购买甲种纪念品多少件？
【分析】（1）设每件甲种纪念品x元，每件乙种纪念品y元，根据“购买7件甲种纪念品和2件乙种纪念品需用25元，购买5件甲种纪念品和4件乙种纪念品需用23元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m件甲种纪念品，则购买（1000﹣m）件乙种纪念品，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过3800元，可列出关于m的一元一次不等式组，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每件甲种纪念品x元，每件乙种纪念品y元，
根据题意得：，
解得：．
答：每件甲种纪念品3元，每件乙种纪念品2元；
（2）设购买m件甲种纪念品，则购买（1000﹣m）件乙种纪念品，
根据题意得：3m+2（1000﹣m）≤2800，
解得：m≤800，
∴m的最大值为800．
答：最多可以购买甲种纪念品800件．
22．（6分）列方程解应用题．
某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天改造道路的长度比原来增加了20%，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？
【分析】设引进新设备前工程队每天改造道路x米．根据某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20%，结果共用22天完成了任务．列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设引进新设备前工程队每天改造道路x米．
根据题意得：+＝22，
解得 x＝30，
经检验，x＝30是所列方程的解，且符合题意，
答：引进新设备前工程队每天改造道路30米．
23．（6分）下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：△ABC中BC边上的高线AD．
作法：如图，
①以点B为圆心，BA的长为半径作弧，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E；
②连接AE交BC于点D．
所以线段AD是△ABC中BC边上的高线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵ BE ＝BA， EC ＝CA，
∴点B，C分别在线段AE的垂直平分线上（ 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 ）（填推理的依据）．
∴BC垂直平分线段AE．
∴线段AD是△ABC中BC边上的高线．
【分析】（1）根据要求画出图形即可；
（2）根据线段的垂直平分线的判定即可解决问题；
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）理由：连接BE，EC．
∵AB＝BE，EC＝CA，
∴点B，点C分别在线段AE的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上），
∴直线BC垂直平分线段AE，
∴线段AD是△ABC中BC边上的高线．
故答案为：BE，EC，到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
24．（6分）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知AB＝1000m，AC＝600m，BC＝800m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．
（1）请通过计算说明着火点C是否受洒水影响？
（2）若该飞机的速度为14m/s，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
【分析】（1）过点C作CD⊥AB于点D，先根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，利用直角三角形的面积计算出CD的长，与500比较即可得出结论；
（2）当EC＝FC＝500m时求出ED的长，进而得出EF的长，再根据路程、速度、时间之间的关系即可求出时间，从而作出判断．
【解答】解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∵AB＝1000m，AC＝600m，BC＝800m，
∴AC2+BC2＝6002+8002＝10002，AB2＝10002，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴，
即600×800＝1000CD，
解得CD＝480（m），
因为飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响，480＜500，
所以着火点C受洒水影响；
（2）如图，当EC＝FC＝500m时，飞机正好喷到着火点C，
在Rt△CDE中，，
所以EF＝2ED＝280m．
因为飞机的速度为14m/s，
所以280÷14＝20（s），
20秒＞15秒，
答：着火点C能被扑灭．
25．（6分）今年5月20日是第35届中国学生营养日，某初中食堂当日营养午餐如表所示．
（1）午餐的营养素主要来自猪小排、猪肉（瘦）所含的蛋白质和脂肪，每克猪小排、猪肉（瘦）中的蛋白质和脂肪含量如表所示，按配餐要求推算该日午餐猪小排与猪肉（瘦）提供的蛋白质、脂肪质量应分别为31克、27.2克，求该日午餐所需要的猪小排与猪肉（瘦）的质量分别是多少克；
（2）按配餐要求菜品“青椒包菜”中青椒和包菜共150g，已知每克青椒与包菜分别含有0.022g、0.01g的膳食纤维，出于口感考虑，该菜品中青椒质量不超过包菜质量的一半，青椒与包菜的质量分别为多少时，该菜品膳食纤维的含量最高？
【分析】（1）设该日午餐所需要的猪小排的质量是x克，猪肉（瘦）的质量是y克，根据该日午餐猪小排与猪肉（瘦）提供的蛋白质、脂肪质量应分别为31克、27.2克，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该菜品中青椒的质量是m克，则包菜的质量是（150﹣m）克，根据该菜品中青椒质量不超过包菜质量的一半，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设该菜品膳食纤维的含量为w克，利用该菜品膳食纤维的含量＝0.022×该菜品中青椒的质量+0.01×该菜品中包菜的质量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设该日午餐所需要的猪小排的质量是x克，猪肉（瘦）的质量是y克，
根据题意得：，
解得：．
答：该日午餐所需要的猪小排的质量是100克，猪肉（瘦）的质量是70克；
（2）设该菜品中青椒的质量是m克，则包菜的质量是（150﹣m）克，
根据题意得：m≤（150﹣m），
解得：m≤50．
设该菜品膳食纤维的含量为w克，则w＝0.022m+0.01（150﹣m），
即w＝0.012m+1.5，
∵0.012＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝50时，w取得最大值，最大值为0.012×50+1.5＝2.1（克）．
答：该菜品膳食纤维的含量最高为2.1克．
26．（8分）综合与实践
问题情境；如图①，D，E分别是△ABC中AB，AC上的两点，且AB＝AC，AD＝AE．
猜想证明：
（1）当∠A＝60°时，将△ADE绕点A逆时针方向旋转一定角度，使点E落在BC上，如图②所示，连接BD，则BD与CE的数量关系是 BD＝CE ，∠DBC的度数是 120° ．
（2）当∠A＝90°时，将△ADE绕点A逆时针方向旋转一定角度，使点E落在BC上，如图③所示，连接BD，请写出BD与CE的数量关系与位置关系，并说明理由．
问题解决：
（3）当∠A＝90°时，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，使得点C落在ED的延长线上，如图④所示，直接写出AC，CD，CE之间的数量关系．
【分析】（1）根据已知条件得到∠DAC＝∠BAC＝60°，∠ABC＝∠C＝60°，求得∠DAB＝∠CAE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据已知条件得到∠DAC＝∠BAC＝90°，∠ABC＝∠C＝45°，求得∠DAB＝∠CAE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）连接BD，证明△DAB≌△EAC（SAS），根据全等三角形的性质得出BD＝CE，∠BDA＝∠E＝45°，由勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，∠A＝60°，
∴∠DAC＝∠BAC＝60°，∠ABC＝∠C＝60°，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAC﹣∠BAE，
即∠DAB＝∠CAE，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠C＝60°，
∴∠DBC＝120°，
故答案为：BD＝CE，120°；
（2）BD＝CE，BD⊥CE；
理由：∵AB＝AC，AD＝AE，∠A＝90°，
∴∠DAC＝∠BAC＝90°，∠ABC＝∠C＝45°，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAC﹣∠BAE，
即∠DAB＝∠CAE，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠C＝45°，
∴∠DBC＝90°，
∴BD⊥CE；
（3）CE2+CD2＝2AC2．
理由：连接BD，
∵AB＝AC，AD＝AE，∠A＝90°，
∴∠DAC＝∠BAC＝90°，∠ADE＝∠E＝45°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAC﹣∠DAE，
即∠DAB＝∠CAE，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE，∠BDA＝∠E＝45°，
∴∠DBC＝∠BDE＝90°，
∴BD2+CD2＝CE2+CD2＝BC2＝2AC2，
即CE2+CD2＝2AC2．
27．（9分）根据前面已经学过的“距离”我们知道：点到直线的“距离”是直线外一点和直线上各点连接的所有线段中最短的线段（即垂线段）的长度．类似的我们给出两个图形G1＝G2的“距离”定义：如果点P为图形G1上的任意一点，点Q为图形G2上的任意一点，且P、Q两点的“距离”有最小值，那么称这个最小值为图形G1，G2的“距离”，记为d（G1，G2），特别地，当图形G1，G2有公共点时，图形G1，G2的“距离”d（G1，G2）＝0．
（1）如图1，在平面直角坐标系中，△OAB是等边三角形，点B在第一象限，若A（5，0），D（﹣3，0），E（0，4），则d（D，△OAB）＝ 3 ，d（E，△OAB）＝ 2 ；
（2）如图2，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），将一次函数y＝kx+6的图象记为L．
①若d（L，△ABC）＝0，求k的取值范围；
②若k＞0，且d（L，△ABC）＝2，则k的值为 ；
（3）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P（4n，6﹣3n）为平面内一上点，其中n为任意实数，求d（0，P）．
【分析】（1）过E作EH⊥OC于H，由D（﹣3，0），可得d（D，△OAB）＝OD＝3，而E（0，4），∠AOB＝60°，有EH＝OE＝2，故d（E，△OAB）＝EH＝2；
（2）①当图象L经过点B时，知﹣2k+6＝0，k＝3，当图象L经过点C时，2k+6＝0，得k＝﹣3，由一次函数的图象和性质可知，d（L，△ABC）＝0，则k的取值范围为k≥3或k≤﹣3；
②如图，设图象L与y轴交于D，与x轴交于F，作AE⊥L于点E，y＝kx+6中，令x＝0，得（0，6），根据d（L，△ABC）＝2，知DE＝AD，故∠DAE＝30°，从而∠DFO＝30°，即得F（﹣6，0），用待定系数法可得k＝；
（3）令x＝4n，y＝6﹣3n，可得P（4n，6﹣3n）在直线y＝﹣x+6上，设直线y＝﹣x+6与x轴交于点K，与y轴交于点G，过O作OR⊥GK于R，根据2S△GOK＝OG•OK＝GK•OR，可得OR＝＝，故d（O，P）＝．
【解答】解：（1）过E作EH⊥OB于H，如图1：
∵D（﹣3，0），E（0，4），
∴OD＝3，OE＝4，
由题意知，d（D，△OAB）＝OD＝3，
∵∠AOB＝60°，
∴∠EOH＝30°，
∴EH＝OE＝2，
∴d（E，△OAB）＝EH＝2；
故答案为：3，2；
（2）①图象L经过点B或点C时，图象L与△ABC只有一个交点，符合d（L，△ABC）＝0，
当图象L经过点B时，
将B（﹣2，0）代入y＝kx+6，得﹣2k+6＝0，
解得k＝3，
当图象L经过点C时，
将C（2，0）代入y＝kx+6，得2k+6＝0，
解得k＝﹣3，
由一次函数的图象和性质可知，当k＞3或k＜﹣3时，图象L与△ABC有两个交点，满足d（L，△ABC）＝0，
∴k的取值范围为k≥3或k≤﹣3；
②如图，设图象L与y轴交于D，与x轴交于F，作AE⊥L于点E．
y＝kx+6中，令x＝0，得y＝6，
∴D（0，6），
∴AD＝OD﹣OA＝6﹣2＝4，
∵d（L，△ABC）＝2，
∴AE＝2，
∴DE＝＝2，
∴DE＝AD，
∴∠DAE＝30°，
∴∠ADE＝60°，
∴∠DFO＝30°，
∴OF＝OD＝6，
∴F（﹣6，0），
将F（﹣6，0）代入y＝kx+6，得﹣6k+6＝0，
解得k＝；
故答案为：；
（3）令x＝4n，y＝6﹣3n，
则y＝﹣x+6，
∴P（4n，6﹣3n）在直线y＝﹣x+6上，
如图，设直线y＝﹣x+6与x轴交于点K，与y轴交于点G，过O作OR⊥GK于R，
令y＝0，则0＝﹣x+6，
解得x＝8，
令x＝0，则y＝6，
∴K（8，0），G（0，6），
∴OK＝8，OG＝6，
∴GK＝＝10，
∵2S△GOK＝OG•OK＝GK•OR，
∴OR＝＝＝，
∴d（O，P）＝．菜品名称
红烧排骨
三色肉丁
冬瓜鸡蛋
青椒包菜
米饭
水果
食物种类
猪小排
猪肉（瘦）、胡萝卜、玉米粒、青豆
冬瓜、鸡蛋
青椒、包菜
梗米（标一）
苹果
营养率
食物类别
猪小排
猪肉（瘦）
蛋白质（克）
0.17
0.2
脂肪（克）
0.23
0.06
菜品名称
红烧排骨
三色肉丁
冬瓜鸡蛋
青椒包菜
米饭
水果
食物种类
猪小排
猪肉（瘦）、胡萝卜、玉米粒、青豆
冬瓜、鸡蛋
青椒、包菜
梗米（标一）
苹果
营养率
食物类别
猪小排
猪肉（瘦）
蛋白质（克）
0.17
0.2
脂肪（克）
0.23
0.06