2025年高考第三次模拟考试：数学（新高考Ⅰ卷02）（解析版）

这是一份2025年高考第三次模拟考试：数学（新高考Ⅰ卷02）（解析版），共20页。试卷主要包含了已知函数等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解不等式求出集合，再求交集即可.
【详解】因为，
所以.
故选：B．
2．设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若 ，则z在复平面内对应的点位于第（ ）象限
A．一B．二C．三D．四
【答案】A
【分析】由复数的运算性质化简得，则，即答案可求.
【详解】由题意得，
所以，则z在复平面内对应的点位于第一象限，
故选：A.
3．已知向量满足与垂直，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】C
【分析】向量垂直则数量积为零，由此求出，求，利用平方法转化为数量积进行计算．
【详解】由与垂直，得，则，
所以1，
所以当时，的最小值为
故选：C
4．二项式的展开式中，把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法种数为（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】D
【分析】先利用二项式的展开式的通项公式求出有理项的项数，再利用插空法求解.
【详解】二项式的展开式的通项公式为：
，
令，得，所以展开式中的有理项有项，
把展开式中的项重新排列，先把项无理项全排列，
再把项有理项插入形成的个空中，所以有理项互不相邻的排法种数为种.
故选：D.
5．已知圆锥的底面半径为3，圆锥内的最大球的表面积为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由题设得到圆锥内的最大球的直径，再借助圆锥轴截面以及截面图中性质，结合三角函数定义和倍角公式依次求出、和，进而由求出，即可依次求出圆锥的高和母线长，进而由圆锥侧面积公式即可求解.
【详解】由球的表面积公式，即圆锥内的最大球的直径为，
圆锥轴截面如图，则，，
因为，
所以，设，
则，，
则，
在中，，
所以，所以，
所以圆锥的侧面积为．
故选：B．
6．设椭圆的一个焦点为，点为坐标原点，若上存在点使得为等边三角形，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用为等边三角形构造焦点三角形，根据几何关系和椭圆的定义得到的等量关系，即可求得离心率.
【详解】设椭圆的另一焦点为，连接如图所示，
因为为等边三角形，
所以，
所以,又因为,
所以，
由椭圆定义可知，
整理得：.
故选：
7．已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为( ).
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意计算出周期，再由周期求，又因为在区间上单调，
所以列出不等式，计算出，判断即可.
【详解】由题意知，，则，
因为，所以，又因为在区间上单调，
所以，解得，则的最大值为.
故选：B.
8．已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的，，满足，且，，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．关于点对称
D．
【答案】D
【分析】利用赋值法，结合函数的奇偶性与对称性直接判断AB选项，再结合函数的周期性可判断D选项，再根据复合函数求导可判断C选项.
【详解】A选项：由，令，则，
即，A选项错误；
B选项：令，可知，
又不恒为，则，所以函数为奇函数，
令，则，
即，即，
又，
则，
所以，
所以为奇函数，B选项错误；
C选项：由B选项可知，两边同时求导可知，
即函数关于直线对称，
所以函数关于直线对称，C选项错误；
D选项：由B选项可知，即函数的一个周期，
由上述分析和已知条件，，
所以
，D选项正确；
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某农业研究所为了解种植新品种玉米的亩产量情况，从某地区随机抽查100亩种植新品种玉米的亩产量（单位：kg），整理出如下统计表：
已知这100亩的亩产量均在内，根据表中数据，下列结论正确的是（ ）
A．这100亩种植新品种玉米的亩产量的极差介于400kg至600kg之间
B．这100亩种植新品种玉米的亩产量的中位数大于1100kg
C．估计该地区种植新品种玉米的亩产量不低于1000kg的占比为
D．估计该地区种植新品种玉米的亩产量的平均值介于1150kg至1200kg之间
【答案】AC
【分析】 根据极差、中位数、平均数、频率的概念即可判断.
【详解】 由表中数据可知，这100亩种植新品种玉米的亩产量的极差小于等于，大于，故A正确；
由表可知，，所以亩产量的中位数小于1100kg，故B错误；
估计该地区种植新品种玉米亩的产量不低于1000kg的占比为，故C正确；
根据表中数据，亩产量在的有，
估计该地区种植新品种玉米的亩产量的平均数，故D错误.
故选：AC.
10．棱长为2的正方体中，分别是的中点，点在线段上，点在底面内部（包含边界）.则下列说法中，正确的是（ ）
A．当点在棱上移动时，总存在点，使得成立
B．当点在棱上移动时，存在点和，使得成立
C．三棱锥体积的最大值是
D．的最小值是
【答案】ACD
【分析】建立如图所示空间直角坐标系，设，根据和，求出的值，判断AB；点在棱上时，取最大，直接求三棱锥体积，判断C；在平面内作关于的对称点取中点，则必有，故只需三点共线且时，取最小值，求值可判定D.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，
则，
则有，
设，则，
则，
对于A，若，则，
解得，所以当点为的中点时，满足题意，故A正确；
对于B，若，则，且，
，，故B错误；
对于C，点在棱上时，的面积最大，
此时，，故C正确；
对于D，在平面内作关于的对称点，取中点，
连接,则有，三点共线.
由于平面，平面，则，
故只需三点共线且时，取最小值.
由于平面，这样可使平面，
又平面，从而，此时取最小值，
由，,则，
则，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：对于D选项，在平面内作关于的对称点取中点，则有，故只需三点共线且时，取最小值，是解题的关键和难点.
11．数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（ ）
A．曲线由两条抛物线的一部分组成
B．线段的长度与点到直线的距离相等
C．若线段的长度为，则直线的斜率为
D．若，则直线的斜率为
【答案】ABD
【分析】对于选项A，根据题干列出等式即可判断；对于选项B，利用抛物线的定义即可判断，对于选项C，利用焦半径公式列出等式即可判断，对于选项D，由焦半径，又因为可得，即可得到结果.
【详解】
对于A选项，设曲线上任意一点，
由定义可知，满足，
移项，平方可得：，
即，为两条抛物线，故A正确；
对于B选项，和直线分别为抛物线的焦点和准线，由抛物线定义可知，故B正确
对于C选项，设与轴夹角为同时为抛物线和椭圆的焦点，，
，
解得，则，故C错误.
对于D选项，易知为抛物线和的焦点，
前者，后者分别为两个抛物线的较短的焦半径，因此
，由于，
则，因此，所以，故D正确，
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：抛物线的求解，一般利用定义和二级结论直接能够列出等式求解.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．等差数列的前项和为，若，，则 ．
【答案】
【分析】利用等差数列的通项公式和下标和的性质求解即可.
【详解】因为数列是等差数列，，
所以，即，
所以数列的公差，
所以，
故答案为：
13．一组从小到大排列的数据：，若删去前后它们的百分位数相同，则 ．
【答案】
【分析】根据百分位数计算规则得到第百分位数，从而得到方程，解得即可.
【详解】原来有10个数据，，原来第百分位数为，
删去后有9个数据，，则第百分位数，
依题意可得，解得．
故答案为：
14．2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点的距离之积为定值.当时，C上第一象限内的点P满足的面积为，则 .
【答案】
【分析】由题意，得到曲线C的方程，利用三角形面积公式求出，此时点P是曲线C：与以为直径的圆在第一象限内的交点，联立求出点的横坐标，再代入求解即可．
【详解】因为原点在上，
所以上的点到的距离之积为，
设为C上任意一点，
此时，
整理得，
因为的面积，
所以，
所以点是曲线C：与以为直径的圆在第一象限内的交点，
联立，
解得，
所以
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．在锐角中，内角所对的边分别为，，，满足，且.
(1)求证：；
(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，结合整理可得角的关系；
（2）由正弦定理得，又因为为锐角三角形且，结合三角函数值域可求得线段长度的取值范围.
【详解】（1）由题意得，由正弦定理得，
因为，则，即，可得，整理得，
由余弦定理得，整理得，
由正弦定理得，
故，整理得，
又因为为锐角三角形，则，可得，
所以，即.
（2）在中，由正弦定理得，
所以，
因为为锐角三角形，且，所以，解得.
故，所以.
因此线段长度的取值范围.
16．已知函数．
(1)当时，求的单调增区间；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先求得，根据导数的正负求解即可；
（2）首先根据导数得出在单调递减，在单调递增，则，再构造函数说明，再用作差法及基本不等式得出即可证明．
【详解】（1）的定义域为，
当时，，则，解得，
当时，，故在单调递减；
当时，，故在单调递增，
故的单调增区间为．
（2）由，解得，
当时，，故在单调递减；
当时，，故在单调递增；
故，
设，
则，解得，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
所以，即，
所以，当时等号成立，
又，当时等号成立，
故，得证．
17．如图，在三棱台中，，点为棱的中点，，且直线与平面所成的角为.
(1)证明：；
(2)求平面与平面成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，则由等腰梯形和等腰三角形的性质可得，，由线面垂直的判定可得平面，从而可证得；
（2）过点作，垂足为，则可得平面，取上靠近点的四等分点，连接，得，所以分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，
因为，则四边形为等腰梯形，
因为分别为的中点，所以，
因为为的中点，所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以；
（2）过点作，垂足为，
由（1）知，平面平面，
则，又，平面，
所以平面，
则为直线与平面所成的角，即，
因为，
所以，
所以，所以，则为等腰直角三角形，
所以，
在中，，
则由余弦定理得，
则，即，易得，
在中，，，
所以，所以，
取上靠近点的四等分点，连接，则‖，
因为，所以，
则分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
由于，所以，
设平面的法向量为，
由于，
所以，，
令，则，
设平面的法向量为，
由于，
所以，
令，则，
所以，
故平面与平面成角的余弦值为.
18．已知椭圆，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的动点，直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点．
(1)求面积的最大值；
(2)求与面积之比的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先设定直线的方程，并与椭圆方程联立，求得韦达定理形式，分别求的长和点到直线的距离，进而表达的面积，求最大值即可；
（2）分别设直线和的方程，并分别与椭圆方程联立，求得韦达定理形式，分别求出两点的纵坐标，表达与面积之比，求最大值即可.
【详解】（1）设，，
设直线的方程为，
联立方程组，得，
所以，，
则，
点到直线的距离为：，
所以，
令，
则，当即时面积取得最大值，
所以面积的最大值为.
（2）设，，
设直线的方程为，
联立方程组，得，
即
所以，即，
同理可得：，
所以
化简得：，
当时，取得最大值.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求面积的比值，可以选择相同的底边或者角来转化，参数之间的关系可以通过联立圆锥曲线方程，化简求得，通过函数或者不等式来求得最值.
19．（1）某公司为提升员工身体素质，鼓励员工参与“健康帮，活力无限”健身打卡活动．公司统计了开展活动后近5个月员工因健身而使身体指标（如体脂下降、心肺功能提升等）明显改善的人数．统计结果如下：
若身体指标明显改善人数与月份变量（月份变量依次为）具有线性相关关系，请预测第6个月身体指标明显改善的大约有多少人？
（2）公司将参与健身打卡活动的员工分成了X、Y、Z三组进行健身竞赛，其规则：竞赛发起权在任何一组，该组都可向另外两组发起竞赛，首先由X组先发起竞赛，挑战Y组、Z组的概率均为，若X组挑战Y组，则下次竞赛发起权在Y组．若竞赛发起权在Y组，则挑战X组、Z组的概率分别为和；若竞赛发起权在Z组，则挑战X组、Y组的概率分别为 和；
①经过3次挑战赛后，求竞赛发起权在Y组的次数M的分布列与数学期望；
②定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点．经过次竞赛后，竞赛发起权在X组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值．附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
【答案】（1）24人 ；（2）① 分布列见解析；期望为；②证明见解析， ．
【分析】（1）求得线性回归方程即可求解；
（2）①由题意确定的可能取值，再由独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求得概率即可求解；②第n次挑战后挑战权在Y，Z组的概率分别是，时，得到，由题意得到递推公式进而可求解.
【详解】（1）由已知数据经计算可得：
，，
， ，
所以．
所以当时，；
即第6个月身体指标明显改善的大约有24人；
（2）①，
，
，
所以次数M的数学期望．
②第n次挑战后挑战权在Y，Z组的概率分别是，时，则
．
②+③得：，由①得
，，，
，
，其中，
是以为首项，为公比的等比数列，
，，
由聚点数列的定义：，
由指数函数的单调性可知：当时，
所以对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，，
所以数列为“聚点数列”； ．
亩产量
频数
10
20
20
15
5
月份
1
2
3
4
5
身体指标明显改善人数
330
260
200
140
90
M
0
1
2
P