2025年高考第三次模拟考试：数学（新高考Ⅰ卷01）（考试版）

这是一份2025年高考第三次模拟考试：数学（新高考Ⅰ卷01）（考试版），共4页。试卷主要包含了已知，则，沿着下面左图纸带宽的三等分线，函数，则等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z在复平面内对应的点的坐标是，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知向量和的夹角为，且，，则（ ）
A．3B．C．D．13
4．“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.已知某运动员在2024年篮球联赛中连续10场的得分数据为：9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，则这组数据的（ ）
A．第85百分位数为18B．众数为12
C．中位数为17D．平均成绩为14
5．已知，则（ ）
A．B．C．2D．3
6．已知焦点在x轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则（ ）
A．1B．C．D．1或
7．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．如图所示，直三棱柱是一块石材，测量得，，，．若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为（ ）
A．，4B．，3C．，4D．，3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．沿着下面左图纸带宽的三等分线（虚线）剪开，不能得到的剪开图是（ ）
A．B．
C．D．
10．函数，则（ ）
A．B．的单调递增区间为
C．最大值为D．有两个零点
11．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则直线的斜率为
B．
C．（为坐标原点）
D．当取最小值时，
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知的展开式中的第2项的系数与第2项二项式系数之和为198，则展开式中的常数项为 ．
13．中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.若茶水原来的温度是，经过分钟后的温度是，满足，其中表示室温，是由物体和空气接触状况而定的常数.在室温恒为的房间中，已知一杯的茶水，测得温度降到50℃需要10分钟，则这杯茶水还需要继续放置 分钟，茶水温度才降至35℃达到最佳饮用口感.
14．对于函数，若存在使，则称点是曲线的“优美点”，已知．若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围.
16．（本小题满分15分）已知定义在上的函数.
(1)若，判断是否存在极小值点，并说明理由；
(2)若存在两个零点，求的取值范围.
17．（本小题满分15分）如图，在三棱台中，平面平面，，，.
(1)证明：；
(2)当直线与平面所成的角最大时，求三棱台的体积.
18．（本小题满分17分）已知椭圆的焦距为，以椭圆短轴一个端点和两个焦点为顶点的三角形是直角三角形，过点的直线分别交椭圆于点，点始终在第一象限且与点关于轴对称，直线分别交轴于点．
(1)求椭圆的方程；
(2)求点的坐标；
(3)证明：．
19．（本小题满分17分）在数轴的坐标原点放置一个机器人，它每过1秒都将以的概率向数轴正方向或负方向移动1个单位长度，机器人每次经过或3时都会向雷达发送一次信息，且雷达会瞬间收到.设事件表示“机器人的前 次移动均未向雷达发送信息”.
(1)求，
(2)已知①②两个结论：①；②设是一列无穷个事件，若存在正数，对于任意的均有，则“中只有有限个事件同时发生”的概率为1.
（i）证明：事件；“雷达会收到信息”的概率为1；
（ii）求机器人首次发送信息时所在位置为3的概率.