四川省绵阳市梓潼县2025届九年级上学期1月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份四川省绵阳市梓潼县2025届九年级上学期1月期末考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中，只有一个答案符合题目要求。）
1．一个几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是（ ）
A．圆柱B．圆锥C．长方体D．球
2．下列图形中，是中心对称的图形的是（ ）
A． 直角三角形B． 等边三角形
C． 平行四边形D． 正五边形
3．在△ABC中，CA＝CB，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相交B．相离C．相切D．不确定
4．若关于x的一元二次方程（m+2）x2+（2m+1）x+m＝0有解，那么m的取值范围是（ ）
A．m＜B．m＜且m≠﹣2
C．m≤D．m≤且m≠﹣2
5．如图，正五边形ABCDE的外接圆为⊙O，P为劣弧AB上一点，则∠APB＝（ ）
A．136°B．162°C．108°D．144°
6．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+10＝0配方后得到的方程是（ ）
A．（x+8）2＝54B．（x﹣8）2＝54C．（x+4）2＝6D．（x﹣4）2＝6
7．将抛物线y＝x2向右平移3个单位长度得到抛物线（ ）
A．y＝（x+3）2B．y＝（x﹣3）2C．y＝x2+3D．y＝x2﹣3
8．反比例函数与一次函数y＝﹣kx+k在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
9．由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为x，则方程可以列为（ ）
A．5+5x+5x2＝20
B．5（1+x）2＝20
C．5（1+x）3＝20
D．5+5（1+x）+5（1+x）2＝20
10．如图，在半径为6的⊙O内有两条互相垂直的弦AB和CD，AB＝10，CD＝8，垂足为E，则tan∠OEA的值是（ ）
A．B．C．D．
11．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积的比为（ ）
A．3：2B．2：1C．3：1D．4：1
12．如图，一张等腰直角三角形ABC纸片，已知AB＝BC＝20cm，先裁剪出①号长方形BEDF，然后在剩余的大纸片三角形AFD中剪出②号长方形GHMN，且满足HM＝DE，当①号长方形的面积为64cm2时，则②号长方形的面积为（ ）
A．60cm2B．64cm2
C．D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.将答案填写在答题卡相应横线上。）
13．抛物线y＝﹣2x2+4x+m的对称轴是直线 ．
14．在一个不透明的袋中装着4个球，3个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为 ．
15．三角形两边的长分别是8和7，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的一个实数根，则该三角形的周长是 ．
16．已知函数f（x）＝ax2﹣c（a，c为实数），若﹣4≤f（1）≤﹣1，﹣1≤f（2）≤2，则f
（8）的最大值是 ．
17．如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（1，4），B（2，1），O（0，0），如果将△ABO绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△A'B'O，那么点A，B的对应点A'，B'的坐标分别是 ．
18．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，﹣4），则下列结论：①对于任意的x＝m，均有am2+bm+c≥﹣6；②ac＞0；③若点（），（，y2）在抛物线上，则y1＞y2；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1；⑤b﹣6a＝0；其中正确的有 （填序号）．
解答题：（本大题共7个小题，计90分.解答应写出文字说明、证明过程或推理步骤）.
19．（16分）解方程：
（1）x2﹣2x+5＝20；
（2）x（x﹣3）＝2x+5．
20．（12分）如图，某电脑显示器由显示屏（矩形ABCD）和支架组成，显示屏对角线AC中点O固定在支架直杆OP一端处，显示屏可绕点O顺时针或逆时针旋转，已知AB＝36cm，∠BAC＝58°．
（1）求BC长度；
（2）为避免在旋转过程中显示屏与支架平台EF发生磕碰，则支架直杆OP的最小值是 ．
（结果精确到1cm，参考数据：tan58°≈1.60，cs58°≈0.53，sin58°≈0.85）
21．（12分）水果种植大户小芳，为了吸引更多的顾客，组织了观光采摘游活动，每一位来采摘水果的顾客都有一次抽奖机会，在一只不透明的盒子里有A（苹果），B（梨子），C（葡萄），D（葡萄）四张外形完全相同的卡片，抽奖时先随机抽取一张卡片，再从盒子中剩下的3张中随机抽取第二张．
（1）请利用树状图或列表的方法，表示前后两次抽得的卡片所有可能的情况；
（2）如果抽得的两张卡片是同一种水果图片就可获得奖励，那么得到奖励的概率是多少？
22．（12分）如图，已知反比例函数的图象经过点A（2，﹣2），AB⊥y轴于点B，点C为y轴正半轴上一点，连接AC．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）请用无刻度的直尺和圆规，在x轴正半轴上找一点D，使得∠OBD＝∠BAC（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）；
（3）在（2）的条件下，求证：AC＝BD．
23．（12分）某超市以每件10元的价格购进一种文具．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
销售单价x/元
…
12
13
14
…
每天销售数量y/件
…
36
34
32
…
（1）求y与x之间的函数关系式及x的取值范围；
（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
24．（12分）如图，P为⊙O外一点，直线PO交⊙O于点D、E，点A在⊙O上，AC⊥DE于点C，∠ADE＝∠PAE．
（1）求证：PA为⊙O的切线；
（2）若PE＝4，CE＝2，求⊙O的半径；
（3）若AD＝2AE，求的值．
25．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．其中A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4）．
（1）直接写出该抛物线的解析式；
（2）如图（1），在第三象限内抛物线上找点E，使∠OCE＝∠OAD，求点E的坐标；
（3）如图（2），过抛物线对称轴上点P的直线交抛物线于F，G两点，线段FG的中点是M，过点M作y轴的平行线交抛物线于点N．若是一个定值，求点P的坐标．
数学参考答案
1.B 2.C 3.C 4.D 5.D 6.D 7.B 8.A 9.D 10.D 11.C 12.C
13. x＝1 14. 15. 25或21
16. 122 17. （﹣4，1），（﹣1，2）． 18. ①④⑤
19. 解：（1）x2﹣2x+5＝20；
方程变形得x2﹣2x﹣15＝0，
（x﹣5）（x+3）＝0，
x﹣5＝0或x+3＝0，
∴x1＝5，x2＝﹣3；
（2）x（x﹣3）＝2x+5．
方程变形得：x2﹣5x﹣5＝0，
Δ＝25+20＝45＞0，
x＝，
∴x1＝．x2＝，
20.解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝36cm，∠BAC＝58°，
∴BC＝AB•tan58°≈36×1.6＝57.6≈58（cm），
∴BC长度约为58cm；
（2）在Rt△ABC中，AB＝36cm，∠BAC＝58°，
∴AC＝≈≈67.92（cm），
∵点O是AC的中点，
∴OC＝AC＝33.96（cm），
∴当OP＝OC时，旋转过程中显示屏与支架平台EF刚好不发生磕碰，
∴支架直杆OP的最小值约为34cm，
故答案为：34cm．
21.解：（1）画树状图得：
∴前后两次抽得的卡片所有可能的情况有AB，AC，AD，BA，BC，BD，CA，CB，CD，DA，DB，DC共12种；
（2）∵得到奖励的有2种，
∴得到奖励的概率是：＝．
22．解：（1）∵反比例函数的图象经过点A（2，﹣2），
∴﹣2＝，
∴k＝﹣4，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
（2）如图所示，点D即为所求；
（3）∵点A（2，﹣2），AB⊥y轴于点B，
∴AB＝OB＝2，
∵∠BOD＝∠ABC＝90°，∠DBO＝∠BAC，
∴△ABC≌△BOD（ASA），
∴AC＝BD．
23．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函数图象可知：，
解得：，
故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+60；
（2）根据题意得：
（x﹣10）（﹣2x+60）＝192，
解得：x1＝18，x2＝22，
答：销售单价应为18元或22元；
（3）由题意可知：w＝（x﹣10）（﹣2x+60）
＝﹣2x2+80x﹣600
＝﹣2（x﹣20）2+200，
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝20，
∴当x＝20时，w有最大值，W最大＝200．
答：当销售单价为20元时，每天获利最大，最大利润是200元．
24.（1）证明：连接OA，如图，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADE，
∵∠ADE＝∠PAE，
∴∠OAD＝∠PAE．
∵DE是⊙O的直径，
∴∠OAD+∠OAE＝∠DAE＝90°．
∴∠OAE+∠PAE＝90°．
∴AO⊥PA，
又∵OA为⊙O的半径，
∴PA为⊙O的切线；
（2）解：∵AO⊥PA，AC⊥DE，
∴△OAC∽△OPA，
∴，
∴OA2＝OC•OP．
设OA＝x，则OC＝OE﹣CE＝x﹣2，
∴OP＝OE+PE＝x+4，
∴x2＝（x﹣2）（x+4），
解得：x＝4．
∴⊙O的半径为4；
（3）解：∵∠DAE＝90°，AD＝2AE，
∴tan∠ADE＝．
∵∠ADE＝∠PAE，
∴tan∠ADE＝tan∠PAE＝．
∵∠DAE＝90°，AC⊥DE，
∴△ADC∽△EAC，
∴∠ADE＝∠CAE，，
∴tan∠ADE＝tan∠CAE＝．
∵tan∠CAE＝，
∴＝．
设CE＝x，则AC＝2x，CD＝4x，
∴，，
由（2）得，OA2＝OC⋅OP，
即：，
∴，
∴，
∴．
25.解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣4），
∴y＝a（x+1）2﹣4，
把A（﹣3，0）代入y＝a（x+1）2﹣4，
∴a（﹣3+1）2﹣4＝0，
解得：a＝1，
∴y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3，
∴该抛物线的解析式y＝x2+2x﹣3；
（2）过点D作DS⊥x轴于S，延长CE交x轴于G，
∵∠COG＝∠ASD＝90°，∠OCE＝∠OAD，
∴△CGO∽△ADS，
∴＝，即＝，
∴OG＝6，
∴G（﹣6，0），
设直线CG的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线CG的解析式为y＝﹣x﹣3，
与抛物线解析式y＝x2+2x﹣3联立得，
解得：（舍去），，
∴点E的坐标为（﹣，﹣）；
（3）如图（2），分别过点F、G作x、y轴的垂线交于点H，
∵点P在对称轴上，设P（﹣1，m），
设直线FG的解析式为y＝px+q，则﹣p+q＝m，
∴q＝p+m，
∴直线FG的解析式为y＝px+p+m，
与抛物线y＝x2+2x﹣3联立得，
整理得：x2+（2﹣p）x﹣3﹣p﹣m＝0，
∴xF+xG＝p﹣2，xFxG＝﹣3﹣p﹣m，
设M（xM，yM），
∵M是线段FG的中点，
∴xG﹣xM＝xM﹣xF，
∴xM＝＝，
当xM＝时，yM＝p×+p+m＝，
∴M（，），
将x＝代入y＝x2+2x﹣3，得y＝，
∴N（，），
∴MN＝﹣＝，
在Rt△FGH中，FG2＝FH2+GH2＝（yG﹣yF）2+（xG﹣xF）2＝（1+p2）（xG﹣xF）2，
∵（xG﹣xF）2＝（xG+xF）2﹣4xFxG＝（p﹣2）2﹣4（﹣3﹣p﹣m）＝p2+4m+16，
∴FG2＝（1+p2）（p2+4m+16），
令＝t，
∴FG2＝t2MN2，
∴（1+p2）（p2+4m+16）＝t2（）2，
整理得（t2﹣16）p2+（4m+16）t2﹣16＝0，
∵t是定值，
∴t的取值与p无关，
∴t2﹣16＝0，且（4m+16）t2﹣16＝0，
解得：t＝4，m＝﹣，
∴P（﹣1，﹣）．