湖北省六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题 含解析

这是一份湖北省六校（宜城一中、枣阳一中、曾都一中、襄阳六中、南漳一中、老河口一中）2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题 含解析，共17页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， 若 ，且 为第三象限角，则， 下列命题正确的有等内容，欢迎下载使用。
2024——2025 学年下学期期中考试
高一数学试题
时间：120 分钟 主命题学校：南漳一中
分值：150 分 命题老师：蒋彦祖、韩亮、万梓康
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证
号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效.
一、单选题：（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1. 已知 ，那么 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知条件利用诱导公式即可求解.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：B.
2. 已知向量 ，则与向量 方向相反的单位向量是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据单位向量的定义求与向量 方向相反的单位向量.
【详解】由题设，与向量 方向相反的单位向量是 .
故选：D
3. 已知向量 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量共线定理、数量积及模长的坐标运算依次判断各项的正误.
【详解】A：由题设，不存在实数 ，使 ，故 不共线，错；
B：由 ，错；
C：因为 ，
所以 ，即 ，对；
D： ，错.
故选：C
4. 一船以每小时 15km 的速度向东航行，船在 处看到一个灯塔 在南偏东 ，行驶 小时后，船到达
处看到灯塔在南偏西 ，此时测得船与灯塔的距离为 km，则 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】作出示意图，在 中，得 ，可由三角函数求 的长，进而得到答案.
【详解】由题意知，在 中， ， ，
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，
所以 为直角三角形，又 ，
，故 （小时），
故选：C.
5. 若 ，且 为第三象限角，则 （ ）
A. 7 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】逆用和角余弦公式可得 ，结合已知得 ，再由和角正切公式求 .
【详解】由 ，
所以 ，又 为第三象限角，所以 ，故 ，
所以 .
故选：A
6. 已知函数 的部分图象如图所示，下列说法不正确的是
（ ）
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A. ， B. 函数 的图象关于直线 对称
C. 函数 图象关于 对称 D. 函数 在 上单调递增
【答案】B
【解析】
【分析】由图象求出 的解析式，再利用正弦函数性质逐一分析判断各选项即可得解.
【详解】对于 A，由题意 ， ，则 ，
则 ，
又 在 上，则 ，即 ，
所以 ，则 ，
又 ，所以 ，所以 ，即 ， ，故 A 正确；
对于 B，因为 ，
所以 不是 图象的对称轴，故 B 错误；
对于 C，因为 ，
所以 的图象关于点 对称，故 C 正确；
对于 D，当 时， ，
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所以 在 上单调递增，故 D 正确.
故选：B.
7. 定义两个向量 ， 之间的一种运算： ，其中 是向量 ， 的夹角，则对于非零向
量 ， ，下列结论不一定成立的是（ ）
A. 该运算满足交换律，即
B. 若向量 ， 共线，则
C. 的值等于以 ， 为邻边的平行四边形的面积
D. 对任意向量 ，有
【答案】D
【解析】
【分析】根据新定义逐项计算判断即可.
【详解】对于 A，根据定义， ，故 A 一定成立；
对于 B，若向量 ， 共线，则 或 ，则 ，所以 ，故 B 一定成立；
对于 C，以 ， 为邻边的平行四边形的面积为 ，故 C 一定成立；
对于 D，若 且 与 不共线，则 ，但 ，故 D 不一定成立.
故选：D.
8. 当 时，曲线 与 的交点个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】分别画出 与 在 上的函数图象，根据图象判断即可.
【详解】因为函数 的最小正周期为 ，所以函数 在 上有 1 个周期的图象，
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因为函数 最小正周期为 ，
所以函数 在 上有 3 个周期的图象，
在平面直角坐标系中，作出两函数在 上的图象，如图所示：
由图可知，曲线 与 有 6 个交点.
故选：C.
二、多选题：（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.）
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 函数 的对称中心是 ，
B. 在 中，
C. ， ，则 在 上的投影向量等于
D. 两个非零向量 ， 的夹角是锐角
【答案】BC
【解析】
【分析】根据正切函数的对称中心判断 A；根据三角形的特点及正弦定理判断 B；根据平面向量的数量积的
坐标表示及投影向量的定义求解判断 C；举特例判断 D.
【详解】对于 A，函数 的对称中心是 ， ，故 A 错误；
对于 B，在 中， ，
故 B 正确；
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对于 C，由 ， ，得 ， ，
所以 在 上的投影向量为 ，故 C 正确；
对于 D，当 ， 同向时，满足 ，此时 ， 的夹角为 ，故 D 错误.
故选：BC.
10. 计算下列各式的值，结果为 2 的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用和角的正切公式计算求值判断 A；利用二倍角的正弦公式计算可判断 B；运用两角和的正切公
式计算判断 C；利用辅助角公式二倍角的正弦公式和诱导公式计算可判断 D.
【详解】对于 A，
，故 A 正确；
对于 B， ，故 B 错误；
对于
，故 C 正确；
对于 D，
，故 D 错误.
故选：AD.
11. 如图，在菱形 中， ，延长边 至点 ，使得 .动点 从点 出发，沿
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菱形的边按逆时针方向运动一周回到 点，若 ，则（ ）
A. 当点 在线段 上移动时，
B. 满足 的点 有且只有一个
C. 满足 的点 有两个
D. 最大值为 3
【答案】ACD
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，分类讨论，点 在 、 (不含点 )、 (不含点 )、 (不含点
)上时 的取值，进而逐项进行判断即可.
【详解】建立如图所示的平面坐标系，设菱形 的边长为 1， ，则
，
所以 ，
由 ，得 ，
所以 ，所以 ，
①当点 在 上时， ，且 ，
所以 ，故 A 正确；
②当点 在 (不含点 )上时，则 ，
所以 ，化简 ，
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所以 ，
因为 ，所以 ，即 ；
③当点 在 (不含点 )上时，则 ，且 ，
所以 ，即 ，所以 ；
④当点 在 (不含点 )上时，则 ，
所以 ，化简 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ；
对于 B，由①知，当 时， ，此时点 与点 重合；
由④可知当 时， ， ，此时点 在 的中点处；
其它均不可能，所以这样的点 有两个，故 B 错误；
对于 C，由②知，当 时， ， ，此时点 在 的中点；
由③知，当 时， ， ，此时点 在点 处；
其它均不可能，所以这样 点 有两个，故 C 正确；
对于 D，由①②③④可得，当 ， ，即点 为点 时， 取到最大值 3，故 D 正确.
故选：ACD.
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三、填空题：（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
12. 已知扇形的周长为 9cm，圆心角为 ，则该扇形的面积为___________ .
【答案】
【解析】
【分析】由扇形的弧长及面积公式求解可得答案.
【详解】设扇形的半径为 ，圆心角为 ，弧长为 ，
则由题意可得 ，解得 ，
所以扇形的面积 ，
故答案为： .
13. 在 中， ， ，则角 为____________.
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理得 ，从而 ，由余弦定理得 ，所以 .
【详解】因为 ，由正弦定理得 ，
所以 ，所以 ，
由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
故答案为： .
14. 把函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的函数是奇函数，
则 的值为______________，若函数 在区间 上存在最大值 2，则实数 的取值范围为
_______________.
【答案】 ①. 5 ②.
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【解析】
【 分 析 】 应 用 辅 助 角 公 式 得 ， 结 合 图 象 平 移 及 正 弦 型 函 数 的 奇 偶 性 有
，即可求参数，再由正弦型函数的区间最值有 ，即可得范围.
【详解】由题设 ，
所以 为奇函数，则 ，
所以 ，又 ，故 ，
所以 ，若 ，则 ，
又函数 在区间 上存在最大值 2，则 .
故答案为：5，
四、解答题：（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知向量 ， 满足： ， ， .
（1）求 与 的夹角 的余弦值；
（2）若 ，求实数 的值.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）对 展开可得 ，再由向量夹角的余弦值公式即可求解；
（2）由向量垂直性质可得 ，化简后解方程即可求解实数 的值.
【小问 1 详解】
由题可得 ，
因为 ， ，代入可得 ，
，所以 与 夹角 的余弦值 .
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【小问 2 详解】
因为 ，所以 ，
化简可得 ，
将 ， ， 代入可得 ，解得 或
16. 已知函数 的图象相邻两个零点之间的距离为 .
（1）求函数 的解析式及 的解集；
（2）在 中， 为 的一个内角，若满足 ， ，且 ，求
周长.
【答案】（1） ，解集为 ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据题设有 ，即可得解析式，再由正弦函数的单调性及周期性求不等式解集；
（2）根据已知可得 ，应用余弦定理、三角形面积公式得 、
，进而可得 ，即可得周长.
【小问 1 详解】
由题设 ，则 ，
令 ， ，
所以 ， ，故 解集为 ；
【小问 2 详解】
由题设 ，即 ， ，
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所以 ， ，又 是三角形内角，故 ，
由 ，即 ，
由 ，则 ，所以 ，
易得 ，所以 周长为 .
17. 如图，在 中，已知 ， ， ， 是 的中点， 是 上的点，且
， ， 相交于点 .设 ， ；
（1）若 ，试用向量 ， 表示 ， ；
（2）若 ，求 的面积.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用平面向量的线性运算结合图形关系可得结果；
（2）利用向量垂直的性质和数量积的定义可解得 ，再利用三角形面积公式计算即可.
【小问 1 详解】
由题意， 是 的中点，则 ，
因为 ，所以 ，
则 .
所以， .
【小问 2 详解】
因为 ，所以 .
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因为 ， ，
所以 ，
又因为 ，
所以， ，解得 .
所以， ，则 ，
所以 .
18. 中国数学家华罗庚倡导的“0.618 优选法”在各个领域应用广泛，0.618 就是黄金分割比的近似值，这一
数值也可以表示为 .三倍角公式是把形如 ， 等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等
式，广泛应用于数学、物理、天文等学科.
（1）已知 试证明此三倍角公式；
（2）若角 满足 ，求 的值（已知 ）；
（3）试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值 .
【答案】（1）证明见解析；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）根据两角和余弦公式展开，再利用二倍角公式及平方关系化简可得结论；
（2）由（1）得 ，再通过三角恒等变换化简 ，并结合同角关系求结论；
（3）根据 ，结合（1）及二倍角正弦公式和同角关系化简等式，解方程求得
，由此可得结论.
【小问 1 详解】
由
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，得证；
【小问 2 详解】
由（1）知 ，可得 ，
而 .
【小问 3 详解】
由 ，则 ，
所以 ，则 ，
所以 ，可得 （负值舍），
所以 .
19. 已知函数 .
（1）设 ， 为偶函数，若存在 ，使不等式 成立，
求实数 的取值范围；
（2）已知函数 的图象过点 ，设 ，若对任意的 ，总存在
，使 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由函数为偶函数得 ，结合已知即可得 ，再应用三角恒等变换化简
并确定区间值域，由不等式能成立有 ，即可求范围；
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（2）根据已知得 ，将问题化为 ，结合三角函数、二次函数
的性质求最值，进而列不等式求参数范围.
【小问 1 详解】
由 为偶函数，则 ， ，又 ，则 ，
所以 ，则
，
存在 ，使不等式 成立，则 ，
所以 在 上能成立，而 ，
所以 ；
【小问 2 详解】
由题设 ，且 ，则 ，
所以 ，
而 ，则 ，所以 ，
对任意的 ，总存在 ，使 成立，
所以 ，即 ，
令 ，则 ，故 ，
当 ，则 在 上单调递增，此时 ，可得 ；
当 ，则 在 上单调递减，此时 ，可得 ；
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当 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，此时 ，可得 ；
综上， .
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