吉林省长春市二道区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份吉林省长春市二道区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．0.101001001B．
C．D．3.1415926
解：A．0.101001001是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C．是无理数，故本选项符合题意；
D．3.1415926是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．（3分）64的立方根是（ ）
A．8B．4C．D．±8
解：∵43＝64，
∴64的立方根是4．
故选：B．
3．（3分）下列各式中，计算结果等于a8的是（ ）
A．a2•a4B．（a2）4C．a2+a4D．a16÷a2
解：A、a2•a4＝a6，故选项不符合题意；
B、（a2）4＝a8，故选项符合题意；
C、a2和a4不是同类项，不能合并，故选项不符合题意；
D、a16÷a2＝a14，故选项不符合题意．
故选：B．
4．（3分）下面四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．，，B．1.3，1.4，1.5
C．32，42，52D．1，，2
解：A、（）2+（）2≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、（1.3）2+（1.4）2≠（1.5）2，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、（9）2+（16）2≠（15）2，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、12+（）2＝22，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
5．（3分）等腰三角形有两条边长分别为5和10，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．15B．20C．25或20D．25
解：当等腰三角形的腰为5时，三边为5，5，10，5+5＝10，三边关系不成立；
当等腰三角形的腰为10时，三边为5，10，10，三边关系成立，周长为5+10+10＝25．
故选：D．
6．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依
据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．HL
解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：C．
7．（3分）如图，在△ABC中，AC＞BC．按下列步骤用直尺和圆规作图：
第一步：分别以点A和点B为圆心、大于AB一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；
第二步：作直线MN交边AC于点D；
第三步：连结BD．
根据以上信息推断，下列结论错误的是（ ）
A．CB＝BDB．∠A＝∠ABDC．∠ADN＝∠BDND．MN⊥AB
解：由作图可知，MN垂直平分线段AC，
∴DA＝DB，MN⊥AB，
∴∠A＝∠ABD，∠ADN＝∠BDN，
故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意．
故选：A．
8．（3分）如图，小明同学在一次数学活动课上做了如下的一次拼图操作：用两种大小不同的正方形各两个，拼接成一个中间是长方形ABCD的图案．若AB+BC＝6，且这四个正方形的面积和为50，则长方形ABCD的面积是（ ）
A．5B．5.5C．6D．6.5
解：由题意可得2AB2+2BC2＝50，
则AB2+BC2＝25，
∵AB+BC＝6，
∴（AB+BC）2＝36，
∴AB2+2AB•BC+BC2＝36，
则2AB•BC＝11，
那么AB•BC＝5.5，
即长方形ABCD的面积是5.5，
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9．（3分）计算：（ax﹣bx）÷x＝ a﹣b ．
解：（ax﹣bx）÷x
＝ax÷x﹣bx÷x
＝a﹣b，
故答案为：a﹣b．
10．（3分）因式分解：a3﹣a＝ a（a+1）（a﹣1） ．
解：原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1），
故答案为：a（a+1）（a﹣1）
11．（3分）三角形的外角大于该三角形的任一内角是 假 （填“真”或“假”）命题．
解：由三角形的外角的性质可得：三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角，
∴命题是假命题．
故答案为：假．
12．（3分）某学校对300名女生的身高进行了测量，身高在157～162（单位：cm）小组的频率为0.25，则该组的人数为 75 名．
解：由题意得：
300×0.25＝75（名），
∴该组的人数为75名，
故答案为：75．
13．（3分）如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，爬行的最短路程是 2 cm．
解：如图所示：
由于圆柱体的底面周长为20cm，
则AD＝2010cm．
又因为CD＝AB＝4cm，
所以AC2cm．
故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是2cm．
故答案为：2．
14．（3分）如图，在△ABC中，AC＞BC，AD平分∠BAC交边BC于点D，且AD＝AB，延长AD到点E，使得AE＝AC，连结EC、EB．给出下面四个结论：
①∠ABD＝∠ADB；
②△ABE≌△ADC；
③CD＝BD；
④∠CAE＝∠CBE．
上述结论中，正确结论的序号有 ①②④ ．
解：∵AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB，
故①正确，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAB，
在△ABE和△ADC中，
，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
故②正确，
∵△ABE≌△ADC，
∴CD＝BE，
故③错误；
∵△ABE≌△ADC，
∴∠ACD＝∠AEB，
∵∠CAE+∠ACD+∠ADC＝∠CBE+∠AEB+∠BDE＝180°，∠ADC＝∠BDE，
∴∠CAE＝∠CBE，
故④正确，
∴上述结论中，正确结论的序号有：①②④，
故答案为：①②④．
三、解答题：本题共10小题，共78分。
15．（6分）计算：．
解：


．
16．（6分）先化简，再求值：（2a+b）2+（a﹣b）（a+b）﹣5a（a﹣b），其中，．
解：原式＝4a2+4ab+b2+a2﹣b2﹣5a2+5ab
＝（4+1﹣5）a2+（1﹣1）b2+（4+5）ab
＝9ab，
当a1，b1时，原式．
17．（6分）如图，在一块边长为a＝15.2m的正方形空地的四角均留出一块边长b＝2.6m的正方形空地修建花坛，其余的地方种植草坪，问草坪的面积有多大？
解：当a＝15.2，b＝2.6时，
a2﹣4b2
＝（a+2b）（a﹣2b）
＝（15.2+2×2.6）（15.2﹣2×2.6）
＝20.4×10
＝204（m2）．
答：草坪的面积是204m2．
18．（7分）【阅读与思考】我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，而因为，即，于是的整数部分是2．将一个数减去其整数部分，差就是它的小数部分，故可用来表示的小数部分．结合以上材料，回答下列问题：
（1）的整数部分是 3 ；的小数部分是 ；
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．
解：（1）∵，
∴的整数部分是3，
∵，
∴，
∴，即，
∴的整数部分是1，小数部分是，
故答案为：3，；
（2）∵，
∴的整数部分是2，小数部分是，
∴，
∵，
∴的整数部分b＝4，
∴．
19．（7分）如图，已知∠B＝∠E，点C和点F在线段BE上，AC与DF交于点O，AB＝DE，BF＝EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠AOF＝56°，则∠ACE的度数为 152 度．
（1）证明：∵BF＝EC，
∴BF+CF＝EC+CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∴OF＝OC，
∵∠AOF＝56°＝∠ACB＝∠DFE，
∴∠ACB56°＝28°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝152°，
故答案为：152．
20．（7分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、P、Q均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法．
（1）在图①中找一格点C，连结AC、BC，使得△ABC是为以AB为腰的等腰三角形；
（2）在图②的线段PQ上找一点C，连结AC、BC，使得△ABC是为以AB为底的等腰三角形；
（3）在图③的线段PQ上找一点C，连结AC、BC，使得△ABC是为以AB为底的等腰三角形（保留作图痕迹）．
解：（1）如图①，点C即为所求；
（2）如图②，点C即为所求；
（3）如图③，点C即为所求．
21．（8分）近日，冰雪之城长春正在进一步推广普及校园冰雪运动，引领学生参与冰雪活动，激发学生参与冰雪运动的兴趣，提高学生冰雪运动技能水平．某校为了了解学生们对冰雪运动的喜爱程度，随机抽取了八年级若干名学生对“滑雪橇、体验滑雪、速度滑冰、花样滑冰和高山滑雪”五个冰雪项目的喜爱程度进行调查（每人必须选且只选一项最喜欢的冰雪项目，将调查结果绘制成如下的两幅不完整的统计图）．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）参与本次调查的学生有 100 人；
（2）补全条形统计图；
（3）求出扇形统计图中喜欢“花样滑冰”的学生所在扇形的圆心角的度数．
解：（1）30÷30%＝100（人），
故答案为：100；
（2）“体验滑雪”的人数为100﹣30﹣20﹣10﹣5＝35（人），
补全条形统计图：
（3），
答：扇形统计图中喜欢“花样滑冰”的学生所在扇形的圆心角度数为36°．
22．（9分）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，在△ABC中，AC＝7，AB＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
（1）经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法，如图②：
①延长AD到E使得DE＝AD；
②再连结CE，把AB、AC、2AD集中在△ACE中；
③利用三角形的三边关系可得4＜AE＜10，则AD的取值范围是 2＜AD＜5 ．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）利用小明的作图方法，结合图②，写出AB与CE的位置关系并证明．
应用：
（3）如图③在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点．若AE是∠BAD的平分线，则线段AB、AD和DC之间的等量关系为 AD＝AB+DC ．
解：（1）∵4＜AE＜10，AD＝DEAE，
∴2＜AD＜5；
（2）AB∥CE，
理由如下：由题可知 AD＝DE，
∵BD＝CD，∠ADB＝∠CDE，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴∠B＝∠DCE，
∴AB∥CE；
（3）AD＝AB+DC．
理由：如图①中，延长AE，DC交于点F，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠F，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FEC（AAS），
∴CF＝AB，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴∠FAD＝∠F，
∴AD＝DF，
∵DC+CF＝DF，
∴AD＝AB+DC，
故答案为：AD＝AB+DC．
23．（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝4，CD＝2．
【发现并提出问题】
（1）当AD＝3时，AB2﹣AC2＝ 12 ；
当AD＝4时，AB2﹣AC2＝ 12 ；
当AD＝5时，AB2﹣AC2＝ 12 ．
（2）猜想：小明发现不论线段AD的长度是多少，AB2﹣AC2的值始终不变，值为 12 ．
【分析、解决问题】小明的猜想是正确的吗？如果正确请给予证明；如果不正确举出反例．
【运用】当AB﹣AC＝1时，△ABC的周长为 18 ．
解：（1）当AD＝3时，AB2﹣AC2＝12；
当AD＝4时，AB2﹣AC2＝12；
当AD＝5时，AB2﹣AC2＝12．
故答案为：12，12，12；
（2）猜想：小明发现不论线段AD的长度是多少，AB2﹣AC2的值始终不变，值为12，
故答案为：12；
【分析、解决问题】正确．
证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，AB2＝BD2+AD2，
在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2，
∴AB2﹣AC2＝（BD2+AD2）﹣（AD2+CD2）＝BD2﹣CD2＝12；
【运用】由（1）知，AB2﹣AC2＝12，
∴（AB+AC）（AB﹣AC）＝12，
又∵AB﹣AC＝1，
∴AB+AC＝12，
又∵BD＝4，CD＝2，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝AB+AC+BD+CD＝12+4+2＝18，
故答案为：18．
24．（12分）【模型学习】如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过点C，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．
求证：△ACD≌△CBE．
【模型应用】如图②，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝10，BC＝14，AD＝6，直线l经过点D（不与BC重合）．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段DB向点B运动，同时动点Q从点C出发，以每秒4个单位的速度沿折线CD﹣DA向点A运动，其中一个动点到达终点时，整个运动停止．当点P、Q不与点D重合时，分别过点P、Q作PM⊥l于点M，QN⊥l于点N．设运动时间为t秒．
（1）求线段CD的长度；
（2）线段PD的长度为 2t ；当点Q在线段DA上运动时，线段DQ的长度为 4t﹣6 ；（用含t的代数式表示）
（3）当△PMD与△QND全等时，求出t的值．
解：【模型学习】证明：∵AD⊥l，BE⊥l，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠DAC+∠ADC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
∵AC＝BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
【模型应用】
（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
在 Rt△ABD 中，由勾股定理得：，
∴CD＝BC﹣BD＝14﹣8＝6；
（2）∵动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段DB向点B运动，
∴PD＝2t，
∵动点Q从点C出发，以每秒4个单位的速度沿折线CD﹣DA向点A运动，
∴当点Q在线段DA上运动时，线段DQ的长度为4t﹣6，
故答案为：2t；4t﹣6；
（3）当0＜t＜1.5时，△PMD≌△QND，
∴PD＝DQ，
则2t＝6﹣4t，
∴t＝1；
当1.5＜t≤3时，△PMD≌△DNQ，
∴DQ＝PD，
则4t﹣6＝2t，
∴t＝3，
综上所述：t的值为1或3．