2024-2025学年山东省菏泽市鄄城县第一中学高一下学期4月月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省菏泽市鄄城县第一中学高一下学期4月月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=(−2,n)，b=(3,−7)，若a→/\!/b→，则n的值为( )．
A. 143B. 4C. 112D. −4
2.若z=7+i3+4i，则z等于( )．
A. 2B. 5C. 2D. 5
3.在▵ABC中，若AB⋅AC=−4.5，则▵ABC的形状一定是( )．
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形
4.在复平面内，若i是虚数单位，复数z与21+i3关于虚轴对称，则z=( )
A. 1+iB. −1−iC. −1+iD. 1−i
5.已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO=AB+AC，|OA|=|AB|，则向量BA在向量BC上的投影向量为( )
A. 14BCB. 34BCC. −14BCD. − 34BC
6.如图，下边长方体中由上边的平面图形围成的是
A. B.
C. D.
7.若2+2ai1+i=x+yi(a,x,y∈R)，且xy>1，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,− 2)∪( 2,+∞)B. (−∞,−2)∪(2,+∞)
C. ( 2,+∞)D. (2,+∞)
8.ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且(2b−c)csA=acsC,b=2 3，若边BC的中线等于3，则ΔABC的面积为( )
A. 9​3B. 9​32C. 3​3D. 3​32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，▵A′B′C′是水平放置的▵ABC的直观图，A′B′=2,A′C′=B′C′= 5，则在原平面图形▵ABC中，有( )
A. AC=BCB. AB=2C. AC=2 5D. S▵ABC=4 2
10.下列命题中，正确的有( )
A. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
C. 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
D. 有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a+b)：(a+c)：(b+c)=9：10：11，则下列结论正确的是( )
A. sinA：sinB：sinC=4：5：6
B. △ABC是钝角三角形
C. △ABC的最大内角是最小内角的2倍
D. 若c=6，则△ABC外接圆半径为8 77
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2AA1=2，N为A1C1的中点，M为线段AA1上的点.则|MN|+|MB|的最小值为 .
13.▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csC=23，a=3，b=4，则csB= ．
14.如图，在边长为3的正方形ABCD中，DE=2EC，若P为线段BE上的动点，则AP⋅DP的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(1,3)，b=(m,2)，c=(3,4)，且a−3b⊥c．
(1)求实数m的值；
(2)求3b−c；
(3)求向量a与b的夹角 θ ．
16.(本小题15分)
已知a,b,c为ΔABC三个内角A,B,C的对边，且acsC+ 3asinC−b−c=0．
(1)求A；
(2)若a=2，ΔABC的面积为 3，求b,c．
17.(本小题15分)
已知m∈R，复数z=2m+3+(m−1)i．
(1)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围；
(2)若z满足z+3z=n+4i，n∈R，求|n+mi3+4i|的值．
18.(本小题17分)
如图，P是边长为2的正三角形▵ABC所在平面上一点(点A、B、C、P逆时针排列)，且满足CP=CA，记∠CAP=θ．
(1)若θ=π3，求PB的长；
(2)用θ表示PA的长度；
(3)求▵PAB的面积S的取值范围．
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对任意两个向量m=x1,y1,n=x2,y2.作：OM=m，ON=n当m,n不共线时，记以OM，ON为邻边的平行四边形的面积为S(m,n)=x1y2−x2y1;当m,n共线时，规定S(m,n)=0．
(1)分别根据下列已知条件求S(m,n)；
①m=(2,1),n=(−1,2)；
②m=(1,2),n=(2,4)；
(2)若向量p=λm+μnλ,μ∈R,λ2+μ2≠0，求证：S(p,m)+S(p,n)=(|λ|+|μ|)S(m,n)；
(3)记OA=a,OB=b,OC=c，且满足c=λa+μb(λμ>0,λ,μ∈R),a⊥b,|a|=|b|=|c|=1，求S(c,a)+S(c,b)的最大值．
参考答案
1.A
2.C
3.D
4.C
5.A
6.D
7.A
8.C
9.BD
10.BC
11.ACD
12. 10
13.19
14.278
15.【详解】(1)由题意可知a−3b=(1−3m,−3)，
又c=(3,4)，a−3b⊥c可得a−3b⋅c=3(1−3m)−3×4=0，
解得m=−1
(2)由(1)可知b=(−1,2)，
可得3b−c=(−6,2)，
因此3b−c= (−6)2+22=2 10；
(3)易知csa,b=a⋅bab=−1+6 12+32 (−1)2+22=55 2= 22，
又a,b∈0,π，可得a,b=π4．
所以向量a与b的夹角 θ =π4．

16.解：(1)∵在△ABC中，acsC+ 3asinC−b−c=0，
利用正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入上式并约去2R得：
sinAcsC+ 3sinAsinC=sinB+sinC，
而sinB+sinC=sin(A+C)+sinC=sinAcsC+sinCcsA+sinC，
∴sinAcsC+ 3sinAsinC=sinAcsC+sinCcsA+sinC，
∴ 3sinAsinC=sinCcsA+sinC，
∵C为三角形内角，∴0°