2023-2024学年宁夏石嘴山一中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年宁夏石嘴山一中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若Cn3=Cn4，则n=( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
2.曲线f(x)=ex+x2−2x−5在x=0处的切线的倾斜角是( )
A. 5π6B. 2π3C. π4D. 3π4
3.( x−2)5的展开式中，x2的系数为( )
A. −5B. 5C. −10D. 10
4.若函数f(x)=ax3+3x2−x+1恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是( )
A. (−3,0)B. (0,+∞)
C. (−∞,−3)∪(0,+∞)D. (−3,0)∪(0,+∞)
5.把2个相同的红球、1个黄球、1个蓝球放到A，B，C三个盒子里，每个盒子中至少放1个球，则不同的放法种数为( )
A. 18B. 20C. 21D. 24
6.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列说法中不正确的是( )
A. f(x)一定存在极小值点
B. f(x)一定有最小值
C. 不等式f(x)<0不一定有解
D. f(x)在(−1,0)∪(1,+∞)上一定单调递增
7.若函数h(x)=lnx−12ax2−2x在[1,4]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为( )
A. [−1,+∞)B. (−1,+∞)C. (−∞,−716]D. (−∞,−716)
8.已知函数f(x)=2xlnx−ax2，若对任意的x1，x2∈(0,+∞)，当x1>x2时，都有2x1+f(x2)>2x2+f(x1)，则实数a的取值范围为( )
A. [12e,+∞)B. [1,+∞)C. [1e,+∞)D. [2,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )
A. 已知函数f(x)在R上可导，若f′(1)=2，则△x→0limf(1+2Δx)−f(1)Δx=2
B. (csxx)′=xsinx+csxx2
C. 已知函数f(x)=ln(2x+1)，若f′(x0)=1，则x0=12
D. 设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)=x2+3xf′(2)+lnx，则f′(2)=−94
10.下列说法正确的有( )
A. 某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有12种
B. 某小组有3名男生，4名女生，要从中选取两名同学，不同的选法有42种
C. 两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有6节车厢，两人乘坐车厢的方法共有36种
D. 甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法有82种
11.已知函数y=f(x)在R上可导且f(0)=1，其导函数f′(x)满足f′(x)−f(x)x+1>0，对于函数g(x)=f(x)ex，下列结论正确的是( )
A. 函数g(x)在(−∞,−1)上为增函数B. x=−1是函数g(x)的极小值点
C. 函数g(x)必有2个零点D. e2f(e)>eef(2)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有______种.
13.若函数f(x)=13x3−4x+m在[0,3]上的最小值为4，则m= ______．
14.函数f(x)=12ax2+bx(a>0,b>0)在点(2,f(2))处的切线斜率为2，则8a+bab的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数．
①若x=9，则可以组成多少个能被3整除的三位数？
②若x=0，则可以组成多少个不同的三位数？
(2)已知(x+12 x)n的展开式中的第二项和第三项的系数相等，求n的值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx−ax+3，a∈R．
(1)当a=1时，求函数f(x)的极值；
(2)当a>0时，若对任意x∈(0,+∞)，不等式f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB//CD,CD⊥AD,PC=AB=2CD=2,BC= 2，E是棱PB上一点．
(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；
(2)若E是PB的中点，求平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知曲线f(x)=aex−x+b在x=0处的切线过点(1,a2+2a−1)．
(1)试求a，b满足的关系式；(用a表示b)
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)证明：当a>0时，f(x)>2lna+32．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ax3−bx2+c，其中实数a>0，b∈R，c∈R．
(1)b=3a时，求函数y=f(x)的极值点；
(2)a=1时，x2lnx≥f(x)−2x−c在[3,4]上恒成立，求b的取值范围；
(3)证明：b=3a，且5a答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为若Cn3=Cn4，
则n(n−1)(n−2)3×2×1=n(n−1)(n−2)(n−3)4×3×2×1，
解得n=7．
故选：C．
根据组合数公式可解．
本题考查组合数公式的计算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：曲线f(x)=ex+x2−2x−5，∴f′(x)=ex+2x−2，
故f′(0)=−1，
即对应切线斜率为−1，故曲线f(x)=ex+x2−2x−5在x=0处的切线的倾斜角是3π4．
故选D．
根据导数的几何意义，求出对应切线斜率，进而求出倾斜角即可．
本题考查导数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由题意二项式的展开式的通项公式为Tr+1=C5r( x)5−r(−2)r=C5r⋅(−2)rx5−r2，r=0，1，…，5，
令5−r2=2，解得r=1，
所以x2的系数为C51⋅(−2)=−10．
故选：C．
求出展开式的通项公式，然后令x的指数为2，进而可以求解．
本题查了二项式定理的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：依题意知，f′(x)=3ax2+6x−1 有两个不相等的零点，
故a≠0Δ=36+12a>0，
解得a>−3且a≠0．
故选：D．
由题意得f′(x)=3ax2+6x−1 有两个不相等的零点，列出不等式组求解即可．
本题考查函数的单调性，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，分2种步进行分析：
①先把4个球分成3堆，分法有4种：(红红，黄，蓝)、(红黄，红，蓝)、(红蓝，红，黄)、(红，红，蓝黄)，
②前3种分法，把3堆球放入3个盒子中，各有A33=6种放法，
最后一种分法，把3堆球放入3个盒子中，由于红球是相同的，有3种放法，
所以共有3×6+3=18+3=21种放法．
故选：C．
根据题意，先将先把4个球分成3组，进而将3组放进3个盒子中，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由f′(−1)=0，f′(1)=0可得x=−1，x=1可能为f(x)的极值点，
当x<−1时，f′(x)<0，f(x)为减函数，当−10，f(x)为增函数，故x=−1为极小值点；
当01时，f′(x)>0，f(x)为增函数，故x=1为极小值点，
所以f(x)一定存在极小值点，故A说法正确；
由上分析知极小值分别为f(−1)，f(1)，则f(−1)与f(1)中最小值为f(x)的最小值，故B说法正确；
若f(−1)>0，f(1)>0，则f(x)>0恒成立，不等式f(x)<0无解，故C说法正确；
f(x)在(−1,0)，(1,+∞)上一定单调递增，在(−1,0)∪(1,+∞)上不一定单调递增，故D说法错误．
故选：D．
根据f′(x)图象可得f′(x)的符号，从而可得f(x)的单调区间及极值点，再对选项进行逐一分析判断正误得出答案．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】jie：因为函数h(x)=lnx−12ax2−2x在[1,4]上存在单调递增区间，
所以存在x∈[1,4]，使h′(x)=1x−ax−2>0成立，即存在x∈[1,4]，使a<1x2−2x成立，
令G(x)=1x2−2x，x∈[1,4]，变形得G(x)=(1x−1)2−1，
因为x∈[1,4]，
所以1x∈[14,1]，
所以当1x=14，即x=4时，G(x)max=−716，
所以a<−716．
故选：D．
根据条件得出存在x∈[1,4]，使h′(x)=1x−ax−2>0成立，即存在x∈[1,4]，使a<1x2−2x成立，构造函数G(x)=1x2−2x，x∈[1,4]，求出G(x)的最值即可解决问题．
本题主要考查导数知识的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：不等式2x1+f(x2)>2x2+f(x1)等价于f(x1)−2x1令F(x)=f(x)−2x，x∈(0,+∞)，
根据题意对任意的x1，x2∈(0,+∞)，当x1>x2时，F(x1)所以函数F(x)=f(x)−2x在(0,+∞)上单调递减，
所以F′(x)=f′(x)−2=2lnx−2ax≤0在(0,+∞)上恒成立，
即lnxx≤a在(0,+∞)上恒成立．
令g(x)=lnxx，x∈(0,+∞)，则g′(x)=1−lnxx21，
所以当x∈(0,e)时，g′(x)>0g(x)单调递增，当x∈(e,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以g(x)max=g(e)=1e，所以a≥1e．
故选：C．
构造函数F(x)=f(x)−2x，求导，分离参数求最值即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】CD
【解析】解：对于A，Δx→0limf(1+2Δx)−f(1)Δx=2Δx→0limf(1+2Δx)−f(1)2Δx=2f′(1)=4，故A错误．
对于B，(csxx)′=−xsinx−1×csxx2=−xsinx−csxx2，故B错误．
对于C，f′(x)=12x+1(2x+1)′=22x+1，若f′(x0)=1，则22x0+1=1即x0=12，故C正确．
对于D，f′(x)=2x+3f′(2)+1x，故f′(2)=4+3f′(2)+12，故f′(2)=−94，故D正确．
故选：CD．
根据导数的定义可判断A的正误，根据导数的四则运算可判断BD的正误，根据复合函数的导数的运算规则可判断C的正误．
本题主要考查了导数的定义及函数的求导公式的应用，属于中档题．
10.【答案】AC
【解析】解：对于A，某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，
不同的选法有C121=12种，故A正确；
对于B，某小组有3名男生，4名女生，要从中选取两名同学，
不同的选法有C72=21种，故B错误；
对于C，两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有6节车厢，
两人乘坐车厢的方法共有6×6=36种，故C正确；
对于D，先排列丙、丁、戊有A33种排法，再让甲、乙去插空位，
有A42种排法，则甲乙不相邻的排法有A33A42=72种，故D错误．
故选：AC．
根据排列组合的知识逐项判断可得答案．
本题考查了排列组合的综合应用，属于中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：因为g(x)=f(x)ex，所以g′(x)=f′(x)−f(x)ex，
因为导函数f′(x)满足f′(x)−f(x)x+1>0，
当x>−1时，f′(x)−f(x)>0，则 g′(x)>0，所以 g(x)是增函数；
当x<−1时，f′(x)−f(x)<0，则 g′(x)<0，所以 g(x)是减函数；
故A错误，B正确；
又f(0)=1，则g(0)=f(0)e0=1，
当g(−1)>0时，g(x)没有零点；
当g(−1)=0时，g(x)有一个零点；
当g(−1)<0时，g(x)可能有1个或2个零点，故C错误；
因为函数g(x)在(−1,+∞)上为增函数，
所以g(2)eef(2)，故D正确．
故选：BD．
求导g′(x)=f′(x)−f(x)ex，根据导函数f′(x)满足f′(x)−f(x)x+1>0判断选项AB，再结合f(0)=1，分g(−1)>0，g(−1)=0，g(−1)<0判断选项C；再由函数g(x)在(−1,+∞)上为增函数判断选项D．
本题主要考查导数知识的综合应用，属于中档题．
12.【答案】6
【解析】解：利用隔板法：由题可知使每个小朋友都能分到小球的分法有C42=6种．
故答案为：6．
本题考查组合问题．元素相同问题用隔板法，属基础题．
本题考查排列组合相关知识，属于基础题．
13.【答案】283
【解析】解：f′(x)=x2−4，x∈[0,3]，
当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，
所以f(x)在x∈[0,2)上单调递减，在x∈(2,3]上单调递增，
所以f(2)为f(x)在[0,3]上的极小值，也是最小值，
故13×8−4×2+m=4，解得m=283．
故答案为：283．
求导，得到函数单调性，得到f(2)为f(x)在[0,3]上的极小值和最小值，列出方程，求出答案．
本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，属于基础题．
14.【答案】9
【解析】解：由f(x)=12ax2+bx(a>0,b>0)，
得f′(x)=ax+b，由题意可知f′(2)=2a+b=2，
∴8a+bab=8b+1a=12(8b+1a)(2a+b)=12(10+16ab+ba)≥5+ 16ab⋅ba=9，
当且仅当16ab=ba，又2a+b=2，即a=13，b=43时取等号，
∴8a+bab的最小值是9．
故答案为：9．
由导数的几何意义可知f′(2)=2a+b=2，再利用乘“1”法及基本不等式求最值．
本题考查导数的几何意义及应用，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．
15.【答案】解：(1)①若x=9，则这四个数字为1，2，4，9；
要求被3整除，所以这三个数字为1、2、9或2、4、9；
若三个数字为1、2、9，有A33=6种情况；
若三个数字为2、4、9，有A33=6种情况；
根据分类加法计数原理，一共有6+6=12个能被3整除的三位数．
②若x=0，则这四个数字为1，2，4，0；
百位不能是0，则可以是1、2、4，有3种情况；
因为要求无重复数字，
所以十位可以是除了百位之外的三个数字，有3种情况；
个位可以是除了百位和十位之外的两个数字，有2种情况．
根据分步乘法计数原理，一共有3×3×2=18个三位数．
(2)二项式(x+12 x)n展开式的通项公式Tk+1=Cnk⋅xn−k⋅(12 x)k=Cnk(12)kxn−32k(k=0,1,2,⋯,n)，
因为展开式中第二项和第三项系数相等，得Cn1⋅12=Cn2(12)2，即12n=14⋅n(n−1)2，解得n=5．
【解析】(1)利用两个计数原理：分类加法计数原理和分步乘法计数原理即可求解；
(2)根据二项式定理中二项式的通项公式即可求n．
本题考查的知识点：组合数，二项式的展开式，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=lnx−x+3(x>0)，则f′(x)=1x−1=1−xx，列表
∴函数f(x)的极大值为f(1)=2，无极小值；
(2)首先讨论函数y=f(x)的单调性，f′(x)=1x−a=1−axx(x>0)，
当a>0时，对x∈(0,1a),f′(x)>0，f(x)是增函数，
对x∈(1a,+∞),f′(x)<0，f(x)是减函数，
即：当a>0时，f(x)在(0,1a)是增函数，在(1a,+∞)是减函数．
因为f(x)=lnx−ax+3≤0恒成立，则f(x)的最大值为f(1a)≤0，
∴f(1a)=ln1a−1+3=−lna+2≤0，即lna≥2，故a≥e2．
∴实数a的取值范围为[e2,+∞)．
【解析】(1)将a=1代入，求导列表，根据极值定义即可得解；
(2)研究函数的单调性，求出最大值，则最大值小于等于0即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式恒成立求参数的取值范围，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)因为AB/​/CD，CD⊥AD，PC=AB=2CD=2，BC= 2，
取AB中点M，连接CM，则CM⊥AB，
CM= BC2−BM2=1，CM=12AB，
所以∠ACB=90°，即BC⊥AC，
又PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以PC⊥AC，
又BC∩PC=C，BC，PC⊂平面PBC，
所以AC⊥平面PBC，
又因为AC⊂平面EAC，
所以平面EAC⊥平面PBC．
(2)以CM为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立空间直角坐标系：

因为E是PB的中点，则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,−1,0),P(0,0,2),E(12,−12,1)，
所以CA=(1,1,0),CE=(12,−12,1)，
设平面EAC的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅CA=x+y=0m⋅CE=12x−12y+z=0，
令x=1，则y=−1，z=−1，
所以平面EAC的法向量为m=(1,−1,−1)，
显然，平面PDC的法向量为n=(1,0,0)，
设平面PDC和平面EAC的夹角为α，α为锐角，
则csα=|cs〈m,n〉|=|m⋅n||m||n|=1 3= 33，
所以平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值为 33．
【解析】(1)利用面面垂直的判定定理证明．
(2)利用空间向量的坐标运算，求平面与平面夹角的余弦值．
本题考查直线与平面的位置关系，二面角，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由f(x)=aex−x+b，得f′(x)=aex−1，则f(0)=a+b，f′(0)=a−1，
故曲线f(x)在x=0处的切线方程为y−a−b=(a−1)(x−0)，即y=(a−1)x+a+b，
由题意得a2+2a−1=a−1+a+b，即a2=b，
即a，b满足的关系式为b=a2；
(2)由(1)知f(x)=aex−x+a2，定义域为R，f′(x)=aex−1，
当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在R上单调递减；
当a>0时，由f′(x)=aex−1=0，得x=−lna，
当x<−lna时，f′(x)<0，f(x)在(−∞,−lna)上单调递减；
当x>−lna时，f′(x)>0，f(x)在(−lna,+∞)上单调递增；
综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；
当a>0时，f(x)在(−∞,−lna)上单调递减，在(−lna,+∞)上单调递增；
(3)证明：由(2)得f(x)min=f(−lna)=a(e−lna+a)+lna=1+a2+lna，
要证明f(x)>2lna+32，即证1+a2+lna>2lna+32，即证a2−lna−12>0，
令g(a)=a2−lna−12,(a>0)，则g′(a)=2a−1a=2a2−1a，
令g′(a)<0，则00，则a> 22，
故g(a)在(0, 22)上单调递减，在( 22,+∞)上单调递增，
故g(a)min=g( 22)=( 22)2−12−ln 22=ln 2>0，
即g(a)=a2−lna−12>0恒成立，
即当a>0时，f(x)>2lna+32．
【解析】(1)求出函数的导数，利用导数的几何意义求出曲线的切线方程，即可求得答案；
(2)分类讨论a的取值范围，根据导数与函数单调性的关系，即可得答案；
(3)结合(2)得f(x)min=f(−lna)=a(e−lna+a)+lna=1+a2+lna，故要证明f(x)>2lna+32，即证1+a2+lna>2lna+32，由此构造函数g(a)=a2−lna−12,(a>0)，求出其最小值，说明最小值大于0恒成立，即可证明结论．
本题考查了导数的几何意义的应用、函数单调性的讨论以及不等式的证明，解答的关键是将不等式的证明问题转化为构造新函数，求解函数的最值问题，即可解决，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为b=3a，所以f(x)=ax3−3ax2+c，定义域为：R．
则f′(x)=3ax2−6ax=3ax(x−2)，
因为a>0，所以f′(x)>0⇒x<0或x>2，f′(x)<0⇒0所以f(x)在(−∞,0)，(2,+∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减，
所以0是f(x)的极大值点，2是f(x)的极小值点．
(2)当a=1时，f(x)=x3−bx2+c，
所以x2lnx≥x3−bx2−2x，又因为x∈[3,4]，
所以b≥(x−lnx−2x)max，x∈[3,4]，
令h(x)=x−lnx−2x，x∈[3,4]，
h′(x)=1−1x+2x2=x2−x+2x2=(x−12)2+74x2>0，
所以h(x)在[3,4]上单调递增，
所以h(x)max=h(4)=4−ln4−12=72−ln4，
所以b≥72−ln4．
(3)证明：因为b=3a，所以f(x)=ax3−3ax2+c，则f′(x)=3ax2−6ax，
设切点为(x0,y0)，则f′(x0)=3ax02−6ax0，f(x0)=ax03−3ax02+c，
则切线方程为y−(ax03−3ax02+c)=(3ax02−6ax0)(x−x0)，
即：y=(3ax02−6ax0)x−2ax03+3ax02+c，
将点P(2,a)代入切线方程得：a=−2ax03+9ax02−12ax0+c，
即：2x03−9x02+12x0+1=ca，
令g(x)=2x3−9x2+12x+1，则g′(x)=6x2−18x+12，
g′(x)>0⇒x<1或x>2，g′(x)<0⇒1所以g(x)在(−∞,1)，(2,+∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，
当x=1时，g(x)有极大值为g(1)=2−9+12+1=6，
当x=2时，g(x)有极小值为g(2)=2×8−9×4+24+1=5，
又因为5a0，所以5所以y=ca与y=g(x)有三个不同的交点．
即：方程2x03−9x02+12x0+1=ca有三个不同的根．
所以b=3a且5a【解析】(1)运用导数研究单调性进而求得极值点；
(2)分离参数得b≥(x−lnx−2x)max，x∈[3,4]，运用导数求最值即可；
(3)设出切点坐标及切线方程，根据已知条件可得2x03−9x02+12x0+1=ca，进而将问题转化为研究g(x)=2x3−9x2+12x+1与y=ca交点个数即可．
本题考查了函数的单调性，极值点，最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，考查转化思想，是难题． x
(0,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
−
f(x)
↗
2
↘